Dwar il-Problema tal-Premju tal-Millenju ta’ Navier–Stokes

Qed naqsmu soluzzjoni għall-problema tal-eżistenza u r-regolarità ta’ Navier–Stokes, waħda mill-Problemi tal-Premju tal-Millenju. Din il-prova, prodotta minn sistema interna ta’ OpenAI, turi li d-dinamika tal-ekwazzjonijiet ta’ Navier–Stokes għall-moviment tal-fluwidi tista’ tiżviluppa singularità fi żmien finit. Qed naqsmu kemm dokument li jispjega l-prova kif ukoll formalizzazzjoni f’Lean.

Il-Problemi tal-Premju tal-Millenju⁠(jinfetaħ f’tieqa ġdida) jirrappreżentaw wħud mill-aktar mistoqsijiet profondi fil-fruntiera tal-matematika. Il-kwistjoni dwar jekk moviment lixx ta’ fluwidu tridimensjonali jistax jikkollassa ilha madwar 90 sena mingħajr soluzzjoni.

Għan ewlieni ta’ xogħolna huwa li nagħtu lix-xjenzati s-setgħa jmexxu ’l quddiem ir-riċerka u t-teknoloġija għall-ġid tal-umanità kollha. Biex insolvu l-problema ta’ Navier–Stokes, użajna mudell intern ferm aktar kapaċi minn GPT‑6 Astra. Nemmnu li huwa importanti li ninfurmaw lid-dinja dwar il-pass tal-progress fl-IA u x’għandha tistenna mill-mudelli li ġejjin.

L-ekwazzjonijiet ta’ Navier–Stokes jużaw it-tieni liġi tal-moviment ta’ Newton (“F=ma”) biex jiddeskrivu kif jiċċaqalqu l-fluwidi. Punt importanti hu li jittrattaw fluwidu bħala mezz kontinwu minflok isegwu molekuli individwali. Dawn l-ekwazzjonijiet jintużaw fid-disinn tal-inġenji tal-ajru, fit-tbassir tat-temp u fl-istudju tal-fluss tad-demm.

Mistoqsija fundamentali li għadha miftuħa dwar dawn l-ekwazzjonijiet dinamiċi hija jekk l-approssimazzjoni kontinwa tal-fluwidu tistax tikkollassa. B’mod speċifiku, l-ekwazzjonijiet ta’ Navier–Stokes għal fluwidu tridimensjonali inkompressibbli b’densità kostanti jistgħu jiżviluppaw “singularità”, anke jekk il-moviment jibda b’mod lixx? Hawnhekk, singularità tfisser li d-dinamika twassal biex il-veloċitajiet fil-fluwidu jiżdiedu bla limitu fi żmien finit. Singularità jkollha tiżviluppa minkejja l-preżenza tal-viskożità, li għandha t-tendenza twitti l-moviment. Minħabba li fluwidu reali ma jistax jiċċaqlaq b’veloċità infinita, dan jindika falliment fil-mod kif l-ekwazzjonijiet jimmudellaw il-fluwidu. Biex wieħed ikompli jimmudella s-sistema, imbagħad ikun jeħtieġ isegwi l-imġiba ta’ kull partikula individwalment.

L-ekwazzjonijiet imorru lura għax-xogħol tas-seklu dsatax ta’ Claude-Louis Navier u George Gabriel Stokes. Fl-1934, Jean Leray wera li s-soluzzjonijiet jeżistu f’sens ġeneralizzat, iżda jekk dejjem jibqgħux lixxi saret mistoqsija ċentrali mingħajr tweġiba. Fl-2000, il-Clay Mathematics Institute semma l-problema tal-eżistenza u r-regolarità ta’ Navier–Stokes bħala waħda mis-seba’ Problemi tal-Premju tal-Millenju.

Is-sistema tagħna pproduċiet prova analitika u formalizzazzjoni f’Lean li fluwidu inizjalment lixx u wieqaf jista’ jiżviluppa singularità fi żmien finit. Tiġi applikata forza lixxa lill-fluwidu u l-enerġija tiegħu tibqa’ finita tul id-dinamika kollha, mill-kwiet sal-formazzjoni tas-singularità. Dan isolvi l-problema tal-Premju tal-Millenju ta’ Navier–Stokes billi jistabbilixxi l-istqarrija “C” (u wkoll “D”) fil-formulazzjoni uffiċjali tal-Premju tal-Millenju⁠(jinfetaħ f’tieqa ġdida).

Is-soluzzjoni hija vortiċi, tidwira ta’ fluwidu li ddur, li tidħol ’il ġewwa b’mod spirali u titwal dejjem aktar, bħall-ispagetti. Dan ir-reġjun ċentrali jiċkien waqt li jaċċellera b’tali mod li l-enerġija tiegħu tibqa’ finita, kif jeħtieġu l-liġijiet tal-fiżika. L-isfida teknika hija li l-ekwazzjonijiet jiżviluppaw il-kollass permezz tal-moviment tal-fluwidu nnifsu u mhux, pereżempju, billi ndaħħlu forza infinita artifiċjalment. F’termini aktar matematiċi, it-termini fl-ekwazzjonijiet ta’ Navier–Stokes li jiddeskrivu l-moviment—l-aċċellerazzjoni, il-gradjenti tal-pressjoni, it-trasferiment tal-momentum u l-viskożità—iridu jsiru kbar iżda fl-istess ħin jikkanċellaw lil xulxin b’mod preċiż. Dan il-bilanċ dettaljat iħalli forza esterna lixxa anke waqt li l-veloċità tal-fluwidu tiżdied bla limitu.

Mit-28 ta’ Awwissu ilna nħarrġu mudell intern ġdid li wera prestazzjoni bla preċedent fil-parametri referenzjarji tagħna, inkluż fil-matematika. It-taħriġ ta’ dan il-mudell għadu għaddej u l-prestazzjoni tiegħu qed tkompli titjieb.

Nhar it-Tlieta, l-1 ta’ Settembru, smajna xnigħat li kienu ġew solvuti żewġ Problemi tal-Premju tal-Millenju. Ispirati minn dawn ix-xnigħat u mill-qabża fil-prestazzjoni tal-mudell intern tagħna, bdejna sforz biex nevalwawh fuq il-Problemi tal-Premju tal-Millenju kollha li għadhom miftuħa u fuq ftit problemi oħra b’impatt għoli.

Użajna sistema ta’ aġenti kkoordinati mħaddma mill-mudell intern tagħna. L-aġenti kellhom aċċess għal għodod bħall-kapaċità li jaqraw verżjoni tal-internet maħżuna fil-cache u li jħaddmu kodiċi. L-aġenti tqassmu fi gruppi li setgħu jikkomunikaw bejniethom fi ħdan il-grupp. Il-gruppi kienu jvarjaw fid-daqs u l-grupp li pproduċa r-riżoluzzjoni ta’ Navier–Stokes kien jinvolvi madwar 10,000 aġent jaħdmu fl-istess ħin. Tul il-ħin kollu żammejna l-istess salvagwardji stretti li napplikaw għall-evalwazzjonijiet kollha tal-mudelli l-aktar avvanzati tagħna, inklużi l-monitoraġġ u l-iżolament.

Għal kull problema, tajna lil gruppi differenti ta’ aġenti b'varjanti differenti tad-deskrizzjoni tal-problema, biex inkopru l-varjanti kollha tagħha. Għall-problema ta’ Navier–Stokes, issuġġerejna l-verżjonijiet “A” u “B” (forom speċifiċi tal-problema ta’ Navier–Stokes li jwasslu għal prova) u l-verżjonijiet “C” u “D” (li jwasslu għal konfutazzjoni) lil gruppi separati ta’ aġenti.

Minbarra l-Problemi sħaħ tal-Premju tal-Millenju, tlabna lis-sistema b’diversi aġenti tagħna tipprova sett ta’ problemi “eħfef”. Waħda minnhom kienet mistoqsija simili dwar singularità għal-limitu tal-problema ta’ Navier–Stokes meta jitneħħa t-terminu tal-viskożità. Din hija magħrufa bħala l-problema tar-regolarità għall-ekwazzjonijiet ta’ Euler u l-aġenti tagħna ssorprendewna billi solvewha. Il-varjant speċifiku li solvew kien il-verżjoni mingħajr forza, fejn ma tiġi applikata ebda forza esterna lill-fluwidu. Kważi 100 aġent ħadmu flimkien għal madwar 50 siegħa biex jipproduċu l-konfutazzjoni tagħna tar-regolarità ta’ Euler¹.

Malli rajna s-soluzzjoni ta’ Euler, ħsibna li Navier–Stokes kienet l-aktar problema promettenti biex naħdmu fuqha. Għalhekk, iddeċidejna li niddedikaw ir-riżorsi tagħna għal Navier–Stokes. Biex nagħmlu dan, ċaqlaqna aġenti mill-Problemi l-oħra tal-Millenju u tajniehom ir-riżoluzzjoni ta’ Euler bħala prompt. Meta matul il-ħidma saret disponibbli verżjoni mħarrġa aktar tal-mudell intern tagħna, aġġornajna l-aġenti tagħna għal dak il-mudell.

Ħeġġiġna gruppi differenti ta’ aġenti jesploraw firxa wiesgħa ta’ approċċi. Wara xi żmien, skambjajna l-ideat bejn il-gruppi ta’ aġenti billi użajna Codex biex niġbru l-aktar għarfien utli minn kull grupp ta' aġenti. Dawn il-prompts ta’ segwitu bnew fuq ir-riżultati intermedji tal-aġenti stess. Il-grupp li sab is-soluzzjoni għal Navier–Stokes ġie ggwidat b’dan il-mod.

L-aġenti waslu għar-riżoluzzjoni tagħhom is-Sibt, il-5 ta’ Settembru, madwar 88 siegħa wara li bdew jaħdmu l-ewwel aġenti. Il-formalizzazzjoni u l-verifika f’Lean ħadu 17-il siegħa oħra permezz ta’ GPT‑6 Astra.

Fil-problemi kollha li ppruvaw, l-aġenti bagħtu 4.9 miljun messaġġ u użaw madwar 300 biljun token tal-output. Fil-proċess biex isolvu l-problema ta’ Navier–Stokes, l-aġenti bagħtu 2.7 miljun messaġġ u użaw madwar 130 biljun token tal-output.

L-isforz tagħna beda fl-1 ta’ Settembru wara li smajna xnigħa li aktar tard indunajna li kienet relatata ma’ Levent Alpöge, impjegat ta’ Anthropic u Tristan Buckmaster, professur tal-matematika f’NYU.² Wara li lestejna l-proġett sħiħ u l-verifika f’Lean (fis-6 ta’ Settembru) u billi mix-xnigħa emminna li huma wkoll kellhom soluzzjoni għal Navier–Stokes, ikkuntattjajniehom biex noffru li nippubblikaw ir-riżultat tagħna fl-istess ħin u nirrikonoxxu l-prijorità tagħhom f’avviż konġunt. F’dak il-punt sirna nafu li, bl-użu ta’ mudell intern ta’ Anthropic, kienu pproduċew riżoluzzjoni għall-problema ta’ Euler b’forza. F’dawn id-diskussjonijiet offrejnielhom aċċess għall-prompts kollha li użajna u, aktar tard, għall-prova. Nirrikonoxxu l-prijorità ta’ xogħolhom fuq Euler b’forza u nifirħulhom għall-kisba matematika notevoli tagħhom.

Aħna (ir-riċerkaturi u l-aġenti) ma rajna xejn minn xogħolhom bi kwalunkwe mezz qabel ippubblikawh—b’mod partikolari, ma ġiet aċċessata ebda dejta speċifika tal-utenti biex tissolva din il-problema.

Wara investigazzjoni, ikkonfermajna li l-prompts ta’ Buckmaster f’Codex matul ix-xahrejn ta’ qabel dan l-avviż u d-dokument tat-8 ta’ Settembru 2026 ma setgħu influwenzaw is-sistema bl-ebda mod, lanqas permezz tat-taħriġ. Il-mudell intern ta’ OpenAI użat għal dan ir-riżultat ġie żviluppat permezz ta’ apprendiment ta' tisħiħ fuq skala kbira, mibni fuq mudell imħarreġ minn qabel. Il-provi tagħna huma wkoll differenti b’mod sinifikanti. Fil-każ ta’ Euler, Alpöge u Buckmaster urew riżultat b’forza esterna, filwaqt li s-sistema ta’ OpenAI uriet riżultat mingħajr forza esterna.

L-għan tagħna bil-pubblikazzjoni ta’ dan ir-riżultat huwa li nirrapportaw il-progress sostanzjali tal-mudelli tal-IA tagħna. M’għandniex l-intenzjoni nitolbu l-Premju tal-Millenju għal dan ir-riżultat.

Dan it-tragward jirrappreżenta ħidma sostanzjali minn matematiċi u riċerkaturi tal-IA. Madankollu, dan mhuwiex il-qofol, iżda stampa ta’ mument fil-progress tal-iżvilupp tal-IA.

Nemmnu li issa dħalna fil-perjodu li jmiss tal-progress tal-IA⁠ u r-riżultati tal-lum jipprovdu aktar evidenza ta’ dan. Qed niffukaw fuq li nifhmu dan il-mudell u nużaw dak li nitgħallmu biex jgħinna niggwidaw u nikkontrollaw il-pass li bih insegwu aktar avvanzi fil-kapaċitajiet. Wieħed mill-għanijiet ewlenin⁠ tagħna huwa li nibnu sistemi tal-IA li jistgħu jiġu ggwidati, jinżammu responsabbli u jkunu konnessi man-nies. Dan jista’ jeħtieġ deċiżjonijiet aktar meqjusa dwar il-pass tal-progress, hekk kif inkomplu bil-missjoni tagħna li niżguraw li l-AGI tkun ta’ ġid għall-umanità kollha.