16. April 2025

Neu: OpenAI o3 und o4-mini

Unsere bislang intelligentesten und leistungsfähigsten Modelle mit vollständigem Zugriff auf Tools

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Update vom 10. Juni 2025: OpenAI o3‑pro ist jetzt für Pro-Nutzer in ChatGPT sowie über unsere API verfügbar. Wie OpenAI o1‑pro basiert auch o3‑pro auf unserem intelligentesten Modell OpenAI o3. Es wurde so konzipiert, dass es länger nachdenkt und zuverlässigere Antworten liefert. Die vollständigen Details findest du in unseren Versionshinweisen⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet).

Heute veröffentlichen wir OpenAI o3 und o4-mini, die neuesten Modelle unserer o-Reihe, die darauf trainiert sind, vor dem Antworten länger nachzudenken. Das sind die bisher leistungsstärksten Modelle von uns – ein Quantensprung für ChatGPT, der neugierigen Benutzern und Benutzerinnen ebenso zugutekommt wie fortgeschrittenen Forschern und Forscherinnen. Erstmals können unsere Reasoning-Modelle eigenständig alle Tools in ChatGPT nutzen und kombinieren – darunter Websuche, Dateianalyse und Datenverarbeitung mit Python, tiefgreifendes visuelles Verständnis und sogar die Bildgenerierung. Entscheidend ist: Diese Modelle wurden darauf trainiert, genau zu erkennen, wann und wie sie welche Tools einsetzen – um in der Regel innerhalb einer Minute durchdachte, präzise Antworten im passenden Format zu liefern und so auch komplexe Aufgaben zu lösen. Dadurch können sie vielschichtige Fragen noch gezielter bearbeiten – ein weiterer Schritt hin zu einem ChatGPT, das Aufgaben eigenständig in deinem Sinne ausführt. Die Kombination aus fortschrittlichem Reasoning und uneingeschränktem Tool-Zugang führt zu deutlich besseren Ergebnissen – sowohl bei akademischen Benchmarks als auch bei praktischen Aufgaben. Das setzt einen neuen Standard für Intelligenz und Nützlichkeit.

Das ist neu

OpenAI o3 ist unser bisher leistungsstärkstes Reasoning-Modell. Es setzt neue Maßstäbe in Bereichen wie Programmierung, Mathematik, Wissenschaft, visueller Wahrnehmung, und mehr. Es erreicht neue Bestwerte bei Benchmarks wie Codeforces, SWE-bench (ohne modellspezifisches Gerüst) und MMMU. Es eignet sich ideal für komplexe Anfragen, die eine vielschichtige Analyse erfordern und deren Antworten nicht auf der Hand liegen. Besonders stark ist es bei visuellen Aufgaben – etwa bei der Analyse von Bildern, Diagrammen und Grafiken. In unabhängigen Bewertungen macht o3 bei anspruchsvollen, praxisnahen Aufgaben 20 Prozent weniger gravierende Fehler als OpenAI o1 – und überzeugt besonders in Bereichen wie Programmierung, Business/Consulting und kreativer Ideenfindung. Frühe Tester hoben die analytische Stärke von o3 als Denkpartner hervor, insbesondere seine Fähigkeit, neuartige Hypothesen zu entwickeln und kritisch zu prüfen, etwa in den Bereichen Biologie, Mathematik und Ingenieurwesen.

OpenAI o4-mini ist ein kompakteres Modell, das auf schnelles und kosteneffizientes Reasoning ausgelegt ist – mit beeindruckender Leistung gemessen an Größe und Kosten, besonders in den Bereichen Mathematik, Programmierung und visuelle Aufgaben. Es ist das bestbewertete Modell auf den AIME-Benchmarks 2024 und 2025. Auch wenn der Zugang zu einem Computer die AIME-Prüfung deutlich erleichtert, ist bemerkenswert: Mit Zugriff auf einen Python-Interpreter erreicht o4-mini bei AIME 2025 eine pass@1-Rate von 99,5 % (und 100 % consensus@8). Auch wenn diese Ergebnisse nicht mit der Leistung von Modellen ohne Tool-Zugang vergleichbar sind, zeigen sie eindrucksvoll, wie effektiv o4-mini verfügbare Tools nutzt. o3 erzielt bei AIME 2025 mit Tool-Einsatz ähnliche Verbesserungen (98,4 % pass@1, 100 % consensus@8).

In Expertenbewertungen übertrifft o4-mini auch seinen Vorgänger o3‑mini – nicht nur bei Nicht-STEM-Aufgaben, sondern auch in Bereichen wie Data Science. Dank seiner Effizienz erlaubt o4-mini deutlich höhere Nutzungslimits als o3 und ist damit eine leistungsstarke Option für große Anfragevolumen, bei denen Reasoning gefragt ist. Externe Experten bewerteten beide Modelle als deutlich verbessert im Befolgen von Anweisungen – mit nützlicheren, nachvollziehbareren Antworten als ihre Vorgänger. Grund dafür sind die gesteigerte Intelligenz und die Einbindung von Webquellen. Im Vergleich zu früheren Generationen wirken beide Modelle deutlich natürlicher und dialogorientierter, insbesondere, weil sie auf Erinnerungen und vergangene Gespräche zurückgreifen, um Antworten persönlicher und relevanter zu gestalten.

Multimodal

Programmieren

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Anweisungsbefolgung und eigenständige Tool-Nutzung

Alle Modelle wurden unter Bedingungen mit hohem „Reasoning-Einsatz“ bewertet, vergleichbar mit Varianten wie „o4-mini-high“ in ChatGPT.

Weiterentwicklung des Reinforcement Learnings in großem Maßstab

Während der Entwicklung von OpenAI o3 haben wir festgestellt, dass groß angelegtes Reinforcement Learning denselben Trend zeigt wie das Pretraining der GPT‑Reihe:Mehr Rechenleistung bedeutet bessere Leistung. Indem wir den Skalierungspfad diesmal im Reinforcement Learning erneut verfolgt haben, konnten wir den Trainingsaufwand und das Reasoning zur Inferenzzeit um eine weitere Größenordnung steigern – und sehen weiterhin deutliche Leistungszuwächse. Das bestätigt: Je mehr Denkzeit wir den Modellen geben, desto besser werden ihre Ergebnisse. Bei gleicher Latenz und denselben Kosten wie OpenAI o1 bietet o3 in ChatGPT eine deutlich höhere Leistung. Und wir haben bestätigt: Gibt man dem Modell mehr Denkzeit, steigt seine Performance weiter an.

Beide Modelle wurden zudem per Reinforcement Learning im Umgang mit Tools trainiert – nicht nur in der Anwendung, sondern auch darin, zu erkennen, wann der Einsatz sinnvoll ist. Weil sie Tools gezielt anhand des gewünschten Ergebnisses einsetzen können, sind die Modelle besonders leistungsfähig in offenen Szenarien, vor allem bei visuellem Reasoning und mehrstufigen Workflows. Diese Verbesserung zeigt sich sowohl in akademischen Benchmarks als auch bei praktischen Aufgaben, was auch erste Tester bestätigen.

Denken anhand von Bildern

Erstmals können diese Modelle Bilder direkt in ihre Denkvorgänge einbeziehen. Sie betrachten ein Bild nicht nur, sie denken damit. Damit erschließen sie eine neue Form der Problemlösung, die visuelles und sprachliches Denken kombiniert – sichtbar in ihrer Spitzenleistung auf multimodalen Benchmarks.

Nutzer können ein Foto eines Whiteboards, eines Lehrbuchdiagramms oder einer handgezeichneten Skizze hochladen – das Modell kann es interpretieren, selbst wenn das Bild unscharf, spiegelverkehrt oder von geringer Qualität ist. Durch den Einsatz von Tools können die Modelle Bilder flexibel verarbeiten – sie rotieren, vergrößern oder transformieren sie direkt im Rahmen ihres Denkprozesses.

Diese Modelle erzielen branchenführende Genauigkeit bei Aufgaben der visuellen Wahrnehmung und ermöglichen die Lösung von Fragen, die zuvor nicht zu bewältigen waren. Schau dir den Visual Reasoning Research Blog⁠⁠ an, um mehr zu erfahren.

In Richtung agentischer Tool-Nutzung

OpenAI o3 und o4-mini haben vollen Zugriff auf alle Tools in ChatGPT und können über die API auch eigene Funktionen per Funktionsaufruf nutzen. Diese Modelle wurden darauf trainiert, Probleme strategisch zu lösen. Sie entscheiden selbst, wann und wie sie Tools einsetzen, um durchdachte Antworten im passenden Format schnell zu liefern – in der Regel in weniger als einer Minute.

Zum Beispiel könnte ein Nutzer fragen: „Wie wird der Energieverbrauch in Kalifornien im Sommer im Vergleich zum Vorjahr ausfallen?“ Das Modell kann öffentliche Energiedaten im Web recherchieren, Python-Code schreiben, um eine Prognose zu erstellen, ein Diagramm oder Bild generieren und die Schlüsselfaktoren der Vorhersage erläutern, und dabei mehrere Tools nahtlos miteinander verknüpfen. Dank ihres Reasonings können die Modelle flexibel auf neue Informationen reagieren und ihren Ansatz bei Bedarf anpassen. Sie können beispielsweise mehrfach im Web suchen – mit Unterstützung von Suchanbietern –, die Ergebnisse prüfen und bei Bedarf gezielt neue Suchanfragen stellen, um weitere Informationen zu erhalten.

Dieser flexible, strategische Ansatz ermöglicht es den Modellen, Aufgaben zu lösen, die aktuelles Wissen jenseits des Trainingsstands erfordern – inklusive erweitertem Reasoning, Quellensynthese und Ausgabe über verschiedene Modalitäten hinweg.

Alle Beispiele wurden mit OpenAI o3 durchgeführt.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Hat 55 Sekunden lang über den Aufbau des Polynoms nachgedacht

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Gedacht für 1 Minute und 19 Sekunden

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

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OpenAI o3 liefert die richtige Antwort ohne Websuche, während o1 keine korrekte Antwort geben kann.

Fortschritte im kosteneffizienten Reasoning

Kosten vs. Leistung: o3‑mini und o4-mini

AIME-Auswertungen für OpenAI o3-mini und o4-mini

GPQA-Auswertungen für OpenAI o3-mini und o4-mini

Kosten vs. Leistung: o1 und o3

OpenAI o3 und o4-mini sind die intelligentesten Modelle, die wir je veröffentlicht haben – und oft auch effizienter als ihre Vorgänger OpenAI o1 und o3‑mini. Beispielsweise verschiebt sich bei der AIME-Mathematikprüfung 2025 die Kosten-Leistungs-Grenze von o3 klar gegenüber o1. Ebenso verbessert sich die von o4-mini gegenüber o3‑mini. Ganz allgemein rechnen wir damit, dass o3 und o4-mini in den meisten praktischen Anwendungsfällen nicht nur intelligenter, sondern auch kostengünstiger sind als o1 bzw. o3‑mini.

Sicherheit

Mit jeder Weiterentwicklung der Modellfähigkeiten müssen auch die Sicherheitsmaßnahmen entsprechend mitwachsen. Für OpenAI o3 und o4-mini haben wir unsere Sicherheitstrainingsdaten vollständig überarbeitet – mit neuen Ablehnung-Prompts in sensiblen Bereichen wie biologische Bedrohungen (Biorisiken), Malware-Erstellung und Jailbreaks. Die aktualisierten Daten haben dazu geführt, dass o3 und o4-mini in unseren internen Ablehnung-Benchmarks (z. B. Anweisungshierarchie⁠, Jailbreaks) starke Ergebnisse erzielen. Neben der hohen Verlässlichkeit bei Modellablehnungen haben wir auch systemseitige Schutzmechanismen entwickelt, um gefährliche Prompts in Bereichen mit erhöhtem Risiko frühzeitig zu erkennen. Ähnlich wie bei unserer früheren Arbeit zur Bildgenerierung⁠ haben wir ein Reasoning-LLM-Monitoring-System trainiert, das auf verständlichen, von Menschen verfassten Sicherheitsvorgaben basiert. Bei der Anwendung auf Biorisiken markierte das Monitoring-System rund 99 % der Gespräche in unserer Human-Red-Teaming-Kampagne erfolgreich.

Wir haben beide Modelle mit unserem bislang strengsten Sicherheitsprogramm auf Herz und Nieren geprüft. Gemäß unserem aktualisierten Preparedness Framework⁠ haben wir o3 und o4-mini in den drei darin erfassten Kompetenzbereichen bewertet: biologische und chemische Risiken, Cybersicherheit sowie KI-Selbstverbesserung. Auf Basis der Evaluationsergebnisse haben wir festgestellt, dass sowohl o3 als auch o4-mini in allen drei Kategorien unterhalb der „High“-Schwelle des Frameworks liegen. Die ausführlichen Ergebnisse dieser Bewertungen haben wir in der begleitenden Systemkarte⁠ veröffentlicht.

Codex CLI: Fortschrittliches Reasoning direkt im Terminal

Wir stellen außerdem ein neues Experiment vor: Codex CLI – ein schlanker Programmier-Agent, der direkt im Terminal ausgeführt werden kann. Dieser Agent läuft direkt auf deinem Computer und ist darauf ausgelegt, die Reasoning-Fähigkeiten von Modellen wie o3 und o4-mini optimal zu nutzen – mit geplanter Unterstützung für weitere API-Modelle wie GPT‑4.1⁠.

Multimodales Reasoning steht dir direkt in der Befehlszeile zur Verfügung, indem du dem Modell Screenshots oder einfache Skizzen übergibst und ihm gleichzeitig lokalen Zugriff auf deinen Code ermöglichst. Wir sehen es als eine minimale Schnittstelle, um unsere Modelle direkt mit Benutzern und ihren Computern zu verbinden. Codex CLI ist ab sofort vollständig Open Source unter github.com/openai/codex⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet).

Parallel dazu starten wir eine Initiative im Wert von 1 Mio. USD zur Unterstützung von Projekten, die Codex CLI und OpenAI-Modelle nutzen. Wir prüfen und vergeben Förderungen in Tranchen von jeweils 25.000 USD in Form von API-Guthaben. Vorschläge können hier eingereicht werden..

Zugriff

Ab heute sehen Nutzer von ChatGPT Plus, Pro und Team die Modelle o3, o4-mini und o4-mini-high in der Modellauswahl – sie ersetzen o1, o3‑mini und o3‑mini‑high. Benutzer von ChatGPT Enterprise und Edu erhalten in einer Woche Zugriff. Wer ChatGPT kostenlos nutzt, kann o4-mini testen, indem vor dem Absenden der Anfrage im Composer die Option „Denken“ ausgewählt wird. Die Nutzungslimits bleiben in allen Plänen unverändert gegenüber den bisherigen Modellen.

Wir planen, OpenAI o3‑pro in wenigen Wochen mit vollständiger Tool-Unterstützung zu veröffentlichen. Vorerst haben Pro-Benutzer weiterhin Zugriff auf o1‑pro.

Sowohl o3 als auch o4-mini sind ab heute auch für Entwicklerinnen über die Chatabschlüsse API und die Reaktionen-API verfügbar (einige Entwickler müssen ihre Organisation verifizieren⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet), um Zugriff auf diese Modelle zu erhalten). Für bessere Leistung unterstützt die Reaktionen-API Reasoning-Zusammenfassungen, das Beibehalten von Reasoning-Tokens rund um Funktionsaufrufe, und bald werden auch integrierte Tools wie Websuche, Dateisuche und der Code-Interpreter direkt im Reasoning des Modells unterstützt. Starte jetzt mit unserer Dokumentation⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet), und halte nach weiteren Updates Ausschau.

Was steht als Nächstes an?

Die heutigen Updates zeigen, wohin sich unsere Modelle entwickeln: Die spezialisierten Reasoning-Fähigkeiten der o‑Reihe nähern sich den natürlichen Gesprächsfähigkeiten und der Tool-Nutzung der GPT‑Reihe an. Durch die Bündelung dieser Stärken werden unsere zukünftigen Modelle nahtlose, natürliche Gespräche mit proaktiver Tool-Nutzung und fortschrittlicher Problemlösung unterstützen.

Update vom 16. April: Die Ergebnisse von o3 für Charxiv-r und Mathvista wurden aktualisiert, um eine Änderung im System-Prompt zu berücksichtigen, die in der ursprünglichen Auswertung nicht enthalten war.

Livestream-Wiedergabe

Autor

OpenAI

Fußnoten

* Die tau-bench-Auswertungen basieren auf dem Durchschnitt von fünf Durchläufen, um die Varianz zu reduzieren, und wurden ohne den Einsatz eigener Tools oder spezieller Prompts durchgeführt. Wir haben festgestellt, dass tau-bench-Rollouts im Einzelhandel anfälliger für Fehler zwischen Nutzer und Modell sind. Die Werte für den schattierten Balken wurden mit GPT-4.1 als Benutzermodell ermittelt, da es Anweisungen deutlich besser befolgt als GPT-4o.

* SWE-bench verwendet eine maximale Kontextlänge von 256k, was die Lösungsrate von o4-mini um etwa 3 % verbessert und die von o3 um weniger als 1 % beeinflusst. Wir schließen außerdem 23 Beispiele aus, die auf unserer internen Infrastruktur nicht ausführbar sind.

** Mit aktiviertem Browsing kann das Modell manchmal exakte Antworten online finden, etwa durch das Lesen von Blogbeiträgen mit Beispielaufgaben aus einem Datensatz. Um Bedenken hinsichtlich möglicher Manipulationen beim Browsen zu begegnen, setzen wir auf zwei Strategien:

Sperrung von Domains, bei denen wir in der Vergangenheit beobachtet haben, dass das Modell dort beim Browsen „geschummelt“ hat.
Einsatz eines Reasoning-Modells als Monitor, das bei jedem Versuch alle Tokens prüft, um verdächtiges Verhalten zu erkennen. Verdächtiges Verhalten ist definiert als „eine Seite, Datei oder ein Ausschnitt, dessen Hauptzweck darin besteht, die exakte Antwort auf genau diese Frage bereitzustellen – z. B. ein offizieller Lösungsschlüssel, ein geleakter Lösungscode oder eine Diskussion, die die fertige Antwort wörtlich zitiert“. Unbedenkliches Verhalten ist definiert als „jede verlässliche Quelle, die auch eine gewissenhafte Person zurate ziehen würde (z. B. Dokumentationen, Handbücher, wissenschaftliche Publikationen oder seriöse Artikel), selbst wenn sie zufällig die richtige Antwort enthält“. Alle Versuche, die vom Monitor als verdächtig eingestuft wurden, gelten als falsch. Die meisten Beispiele, die bei dieser Prüfung durchfielen, betrafen Aufgaben, deren exakte Lösung auf mehreren Internetseiten zu finden war – jedoch ohne Bezug zu HLE.

Abschließend ist zu beachten, dass unsere Evaluierungen mit Browsing möglicherweise nicht vollständig reproduzierbar über die OpenAI API sind. Grund dafür sind Unterschiede bei den verwendeten Suchmaschinen-Backends zwischen ChatGPT und der OpenAI API. Diese Ergebnisse sollen die ChatGPT-Nutzererfahrung möglichst realistisch abbilden. Je nach Auslastung kann sich die Suchkonfiguration jedoch im Laufe der Zeit ändern.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. 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