Dhjetë përparime në matematikë dhe informatikë teorike

Synojmë t’u japim shkencëtarëve dhe matematikanëve mjete që përshpejtojnë zbulimet. Prandaj, së fundmi prezantuam ChatGPT për studiuesit akademikë⁠, një nismë që u ofron 100 000 shkencëtarëve dhe matematikanëve qasje falas në modelet tona më të mira ChatGPT. Gjithashtu, gjatë zhvillimit vazhdojmë t’i vlerësojmë modelet tona përmes problemeve të hapura kërkimore.

Në maj publikuam një kundërshembull të gjeneruar nga IA-ja⁠ për hamendësimin e distancës njësi të Erdős-it, të zbuluar gjatë vlerësimit të një modeli ende të papublikuar. Kjo punë ka frymëzuar tashmë zhvillime të mëtejshme në matematikë dhe në informatikën teorike¹. Sot po paraqesim dhjetë rezultate të përzgjedhura, secili prej të cilëve zgjidh ose sjell përparim të konsiderueshëm në një problem të hapur prej kohësh. Këto probleme përfshijnë gjeometrinë me shumë përmasa, teorinë e kodeve, kompleksitetin e qarqeve aritmetike, teorinë e grupeve, algjebrat e operatorëve, kompleksitetin kuantik, kriptografinë e rrjetave dhe kombinatorikën ekstremale. Të gjitha këto probleme kanë rëndësi të madhe për bashkësitë përkatëse matematikore, ndërsa disa prej tyre janë me interes të gjerë për matematikën në tërësi.

Paraqesim rezultate të reja për problemet e mëposhtme. Rezultatet u arritën nga një version i brendshëm i Astra-s, modelit tonë të ardhshëm madhor. Numri i përgjithshëm i tokenëve të nevojshëm për të gjetur zgjidhjet e këtyre problemeve do të kushtonte rreth 2 000 dollarë me tarifat e Sol API. Më pas, njerëzit i përgatitën këto argumente si dorëshkrime me ndihmën e të njëjtit model. Më pas, modeli e formalizoi secilin argument në një certifikatë Lean⁠(hapet në një dritare të re). Për secilën zgjidhje po publikojmë edhe rrëfimin e një modeli për procesin e tij të të menduarit.

1. Paketimi i sferave në shumë përmasa. Kufij të rinj të sipërm për dendësinë e paketimit të sferave deri në pragun Cohn–Elkies.
2. Kodet binare dhe sferike: Kufij të përmirësuar në mënyrë eksponenciale për madhësinë maksimale të kodeve binare në çfarëdo distance minimale të përcaktuar, me rezultate të ngjashme për kodet sferike në shumë përmasa.
3. Grupet josofike. Një konstrukt që vërteton ekzistencën e grupeve josofike, duke trajtuar një pyetje të hapur qendrore në teorinë e grupeve.
4. Hamendësimi i ngurtësisë i Connes-it. Rrëzimi i një hamendësimi të kahershëm se disa grupe përcaktohen në mënyrë unike nga algjebrat e tyre von Neumann.
5. Kompleksiteti i qarqeve aritmetike. Kufij të rinj të poshtëm për llogaritjen e permanentit me qarqe dhe formula aritmetike, përfshirë një kufi të poshtëm të rendit n⁴/log n për formulat aritmetike.
6. Përsëritja paralele kuantike. Një teoremë e përsëritjes paralele eksponenciale për lojërat e përgjithshme kuantike me dy lojtarë, që zgjeron një parim themelor të teorisë klasike të kompleksitetit.
7. Problemi i vektorit më të afërt. Vështirësi përafrimi me faktor polinomial për problemin e vektorit më të afërt, një çështje themelore e rrjetave që lidhet me kriptografinë postkuantike.
8. Hamendësimi i vëllimit i Ehrhart-it. Përcaktimi, në çdo përmasë, i vëllimit maksimal të mundshëm të një trupi konveks, centroidi i të cilit është e vetmja pikë e brendshme e rrjetës.
9. Numrat shumëngjyrësh Ramsey. Një kufi i poshtëm supereksponencial për numrat Ramsey shumëngjyrësh të trekëndëshave, që zgjidh problemin 183 të Erdős-it.
10. Hamendësimet për numrat ekstremalë. Rezultate për hamendësimet e kompaktësisë dhe degjenerimit në teorinë ekstremale të grafeve, që zgjidhin problemet 146 dhe 180 të Erdős-it.

Shfaqja e sistemeve të afta për të dhënë kontribut në kërkimin matematikor ngre pyetje të cilave një kompani teknologjike nuk mund t’u përgjigjet e vetme. Ka shumë pikëpamje për rolin e IA-së në matematikë dhe ne kemi respekt e mirëkuptim të thellë për ata që shqetësohen për ndikimin e saj, përfshirë nënshkruesit e Deklaratës së Leidenit për IA-në dhe matematikën⁠(hapet në një dritare të re). Besojmë se autorësia duhet të pasqyrojë me ndershmëri mënyrën se si u prodhua një rezultat: pretendimi i autorësisë njerëzore për një provë të gjeneruar tërësisht nga një sistem IA-je do të keqparaqiste si kontributin e sistemit, ashtu edhe natyrën e punës së mirëfilltë intelektuale njerëzore. Ne ndihmuam në përgatitjen e dorëshkrimeve dhe formalizimin e provave në Lean dhe mbajmë përgjegjësi për saktësinë e tyre, ndërsa argumentet matematikore u gjeneruan nga sistemi ynë. Shpresojmë që bashkësia matematikore t’i shqyrtojë thellësisht këto rezultate, t’i vendosë në kontekst dhe t’u japë jetë ideve pas tyre përmes kërkimeve dhe zbulimeve të reja.

Ndërsa sistemet e IA-së shndërrohen në bashkëpunëtorë kërkimorë më të sofistikuar, sigurimi i qasjes së gjerë është thelbësor për t’i mbështetur shkencëtarët dhe matematikanët teksa orientohen dhe përcaktojnë të ardhmen e disiplinave të tyre gjatë kësaj epoke transformuese.