Mbi problemin Navier–Stokes të çmimit të mijëvjeçarit

Po publikojmë një zgjidhje të problemit Navier–Stokes të ekzistencës dhe rregullsisë, një prej problemeve të çmimit të mijëvjeçarit. Kjo provë, e hartuar nga një sistem i brendshëm i OpenAI, tregon se dinamika e ekuacioneve Navier–Stokes për lëvizjen e fluideve mund të krijojë një singularitet në kohë të fundme. Po publikojmë si materialin shpjegues të provës, ashtu edhe formalizimin e saj në Lean.

Problemet e çmimit të mijëvjeçarit⁠(hapet në një dritare të re) përfaqësojnë disa nga çështjet më të thella në kufijtë e matematikës bashkëkohore. Çështja nëse lëvizja e rregullt tredimensionale e një fluidi mund ta humbasë rregullsinë ka mbetur e pazgjidhur për afro 90 vjet.

Një nga synimet kryesore të punës sonë është të fuqizojmë shkencëtarët që të çojnë përpara kërkimin shkencor dhe teknologjinë në dobi të mbarë njerëzimit. Për të zgjidhur problemin Navier–Stokes, përdorëm një model të brendshëm që është dukshëm më i aftë se GPT‑6 Astra. Besojmë se është e rëndësishme ta informojmë botën për ritmin e përparimit të IA-së dhe për atë që mund të pritet nga modelet e ardhshme.

Ekuacionet Navier–Stokes përdorin ligjin e dytë të Njutonit për lëvizjen ("F=ma") për të përshkruar mënyrën se si lëvizin fluidet. Është e rëndësishme që ato e trajtojnë fluidin si një mjedis të vazhdueshëm, në vend që të gjurmojnë molekulat individuale. Këto ekuacione përdoren në projektimin e avionëve, parashikimin e motit dhe studimin e rrjedhjes së gjakut.

Një çështje themelore ende e hapur për këto ekuacione dinamike është nëse përafrimi i fluidit si mjedis i vazhdueshëm mund të dështojë. Konkretisht, a mund të zhvillojnë një "singularitet" ekuacionet Navier–Stokes për një fluid tredimensional, të pangjeshshëm dhe me dendësi konstante, edhe kur lëvizja fillon në mënyrë të rregullt? Këtu, singulariteti nënkupton që dinamika bën që shpejtësia e fluidit të rritet pa kufi brenda një kohe të fundme. Një singularitet do të duhej të zhvillohej pavarësisht pranisë së viskozitetit, i cili priret ta zbusë lëvizjen. Meqenëse një fluid real nuk mund të lëvizë me shpejtësi të pafundme, kjo do të tregonte se mënyra se si ekuacionet e modelojnë fluidin nuk funksionon më. Për të vazhduar modelimin e sistemit, më pas do të duhej të gjurmohej veçmas sjellja e çdo grimce.

Ekuacionet e kanë zanafillën në punimet e shekullit XIX të Claude-Louis Navier dhe George Gabriel Stokes. Në vitin 1934, Jean Leray vërtetoi se zgjidhjet ekzistojnë në një kuptim të përgjithësuar, por çështja nëse ato mbeten gjithmonë të rregullta u bë një nga problemet kryesore të pazgjidhura. Në vitin 2000, Instituti i Matematikës Clay e përfshiu problemin Navier–Stokes të ekzistencës dhe rregullsisë ndër shtatë problemet e çmimit të mijëvjeçarit.

Sistemi ynë hartoi një provë analitike dhe një formalizim në Lean, të cilat vërtetojnë se një fluid, fillimisht i rregullt dhe në prehje, mund të zhvillojë një singularitet në kohë të fundme. Mbi fluidin ushtrohet një forcë e rregullt dhe energjia e tij mbetet e fundme gjatë gjithë dinamikës, nga gjendja e prehjes deri në formimin e singularitetit. Kjo e zgjidh problemin Navier–Stokes të çmimit të mijëvjeçarit duke vërtetuar pohimin "C" (si edhe "D") në formulimin zyrtar të problemit të çmimit të mijëvjeçarit⁠(hapet në një dritare të re).

Zgjidhja është një vorbull, një shtjellë fluidi që rrotullohet, spiralon drejt qendrës dhe zgjatet gjithnjë e më shumë, si spageti. Kjo zonë qendrore tkurret ndërsa shpejtësia e saj rritet në mënyrë të tillë që energjia të mbetet e fundme, siç kërkohet nga ligjet e fizikës. Sfida teknike qëndron në faktin se ekuacionet duhet ta shkaktojnë dështimin nëpërmjet vetë lëvizjes së fluidit dhe jo, për shembull, duke vendosur artificialisht një forcë të pafundme. Në terma më matematikorë, madhësitë në ekuacionet Navier–Stokes që përshkruajnë lëvizjen—përshpejtimi, gradientët e presionit, transferimi i impulsit, viskoziteti—duhet njëkohësisht të bëhen të mëdha dhe të anulojnë njëra-tjetrën me përpikëri. Ky ekuilibër i saktë bën që forca e jashtme të mbetet e rregullt, edhe ndërsa shpejtësia e fluidit rritet pa kufi.

Që nga 28 gushti po trajnojmë një model të ri të brendshëm, i cili ka shfaqur rezultate të paprecedenta në testet tona krahasuese, përfshirë ato në matematikë. Trajnimi i këtij modeli është ende në vazhdim dhe performanca e tij vazhdon të përmirësohet.

Të martën, më 1 shtator, dëgjuam zëra se ishin zgjidhur dy nga problemet e çmimit të mijëvjeçarit. Të frymëzuar nga këta zëra dhe nga kapërcimi i ndjeshëm në performancën e modelit tonë të brendshëm, ndërmorëm një nismë për ta vlerësuar atë në të gjitha problemet ende të pazgjidhura të çmimit të mijëvjeçarit, si dhe në disa probleme të tjera me ndikim të madh.

Përdorëm një sistem agjentësh të bashkërenduar, të mundësuar nga modeli ynë i brendshëm. Agjentët kishin në dispozicion mjete që u mundësonin, ndër të tjera, të lexonin nga një version i internetit i ruajtur në memorien e përkohshme dhe të ekzekutonin kod. Ata u ndanë në grupe dhe mund të komunikonin me njëri-tjetrin brenda grupit. Grupet ndryshonin për nga madhësia, ndërsa grupi që zgjidhi problemin Navier–Stokes përfshinte afërsisht 10 000 agjentë që punonin njëkohësisht. Në çdo moment zbatuam të njëjtat masa të rrepta mbrojtëse që përdorim në të gjitha vlerësimet e modeleve tona më të përparuara, përfshirë monitorimin dhe izolimin.

Për çdo problem, grupeve të ndryshme të agjentëve u dhamë udhëzime që përmbanin variante të ndryshme të formulimit të tij, duke mbuluar kështu të gjitha variantet e problemit. Për problemin Navier–Stokes, grupeve të veçanta të agjentëve u parashtruam versionet "A" dhe "B" (forma të posaçme të problemit Navier–Stokes që do të çonin në vërtetimin e pohimit) dhe versionet "C" dhe "D" (që do të çonin në rrëzimin e tij).

Përveç problemeve të çmimit të mijëvjeçarit në formën e tyre të plotë, i kërkuam sistemit tonë me shumë agjentë të përpiqej të zgjidhte një grup problemesh "më të lehta". Një prej tyre ishte një çështje e ngjashme mbi zhvillimin e një singulariteti në rastin kufitar të problemit Navier–Stokes, kur hiqet termi i viskozitetit. Kjo njihet si çështja e rregullsisë për ekuacionet e Euler dhe agjentët tanë na befasuan duke e zgjidhur atë. Varianti konkret që zgjidhën ishte versioni pa forcë të jashtme, ku mbi fluidin nuk ushtrohet asnjë forcë e jashtme. Afro 100 agjentë punuan së bashku për rreth 50 orë për të hartuar provën tonë që rrëzon rregullsinë e ekuacioneve të Euler¹.

Pasi pamë zgjidhjen për ekuacionet e Euler, menduam se problemi Navier–Stokes ishte më premtuesi për t’u shqyrtuar. Prandaj vendosëm t’ia kushtonim atij burimet tona. Për këtë qëllim, i zhvendosëm agjentët nga puna me problemet e tjera të çmimit të mijëvjeçarit dhe u dhamë si pjesë të udhëzimeve zgjidhjen për ekuacionet e Euler. Kur, gjatë kësaj pune, u bë i disponueshëm një version i trajnuar më tej i modelit tonë të brendshëm, i përditësuam agjentët që të përdornin atë model.

I nxitëm grupe të ndryshme agjentësh të shqyrtonin një larmi qasjesh. Pas njëfarë kohe, mundësuam shkëmbimin e ideve mes grupeve duke përdorur Codex për të bashkuar gjetjet më të dobishme të secilit grup. Këto udhëzime pasuese u mbështetën në rezultatet e ndërmjetme të vetë agjentëve. Në këtë mënyrë u udhëzua edhe grupi që gjeti zgjidhjen e problemit Navier–Stokes.

Agjentët arritën në zgjidhjen e tyre të shtunën, më 5 shtator, rreth 88 orë pasi u aktivizuan agjentët e parë. Formalizimi në Lean dhe verifikimi nëpërmjet GPT‑6 Astra kërkuan edhe 17 orë të tjera.

Në të gjitha problemet që u përpoqën të zgjidhnin, agjentët dërguan 4,9 milionë mesazhe dhe përdorën rreth 300 miliardë tokenë dalës. Gjatë procesit të zgjidhjes së problemit Navier–Stokes, agjentët dërguan 2,7 milionë mesazhe dhe përdorën afërsisht 130 miliardë tokenë dalës.

Puna jonë nisi më 1 shtator, pasi dëgjuam një zë që më vonë kuptuam se lidhej me Levent Alpöge, një punonjës të Anthropic, dhe Tristan Buckmaster, profesor matematike në NYU.² Pas përfundimit të plotë të projektit dhe verifikimit në Lean (më 6 shtator), duke besuar nga ky zë se edhe ata kishin një zgjidhje të problemit Navier–Stokes, i kontaktuam për t’u propozuar publikimin e njëkohshëm të rezultatit tonë dhe njohjen e përparësisë së punës së tyre në një njoftim të përbashkët. Atëherë mësuam se, duke përdorur një model të brendshëm të Anthropic, ata kishin gjetur një zgjidhje të problemit të Euler me forcë të jashtme. Gjatë këtyre diskutimeve, u ofruam mundësinë të shihnin të gjitha udhëzimet që kishim përdorur dhe, më vonë, edhe provën. Ne e njohim përparësinë e punës së tyre për problemin e Euler me forcë të jashtme dhe i përgëzojmë për arritjen e tyre të jashtëzakonshme matematikore.

Ne (studiuesit dhe agjentët) nuk pamë në asnjë mënyrë asnjë pjesë të punës së tyre derisa ata e publikuan—në veçanti, nuk u qasëm në asnjë të dhënë specifike të përdoruesve për të zgjidhur këtë problem.

Pas një hetimi, kemi konfirmuar se udhëzimet që Buckmaster i dha Codex gjatë dy muajve përpara këtij njoftimi dhe punimit të 8 shtatorit 2026 nuk mund të kenë ndikuar në asnjë mënyrë te sistemi, përfshirë nëpërmjet trajnimit. Modeli i brendshëm i OpenAI që u përdor për këtë rezultat u zhvillua nëpërmjet të nxënit me përforcim në shkallë të gjerë, mbi bazën e një modeli të paratrajnuar më parë. Edhe provat tona ndryshojnë ndjeshëm. Në rastin e Euler, Alpöge dhe Buckmaster vërtetuan një rezultat me forcë të jashtme, ndërsa sistemi i OpenAI vërtetoi një rezultat pa forcë të jashtme.

Synimi ynë me publikimin e këtij rezultati është të bëjmë të ditur përparimin e ndjeshëm të modeleve tona të IA-së. Nuk synojmë të pretendojmë çmimin e mijëvjeçarit për këtë rezultat.

Kjo arritje e rëndësishme është rezultat i një pune të konsiderueshme nga matematikanët dhe studiuesit e IA-së. Megjithatë, ajo nuk përfaqëson pikën përfundimtare, por vetëm një pasqyrë të përparimit në zhvillimin e IA-së në këtë moment.

Besojmë se tani kemi hyrë në periudhën e ardhshme të përparimit të AI-së⁠ dhe rezultatet e sotme japin dëshmi të mëtejshme për këtë. Po përqendrohemi në të kuptuarit e këtij modeli dhe në përdorimin e njohurive të fituara për të na ndihmuar të udhëheqim dhe të përcaktojmë ritmin e përparimeve të mëtejshme në aftësi. Një nga synimet tona kryesore⁠ është të ndërtojmë sisteme të IA-së që janë të drejtueshme, të përgjegjshme dhe të lidhura me njerëzit. Kjo mund të kërkojë vendime më të kujdesshme për ritmin e përparimit, ndërsa vazhdojmë misionin tonë për të siguruar që AGI-ja t’i sjellë dobi mbarë njerëzimit.