16. april 2025

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Nalaganje …

Posodobitev 10. junija 2025: OpenAI o3–pro je zdaj na voljo Pro uporabnikom v ChatGPT, kot tudi v našem API-ju. Tako kot OpenAI o1–pro je tudi o3–pro različica našega najinteligentnejšega modela, OpenAI o3, zasnovanega za daljše premišljanje in zagotavljanje najbolj zanesljivih odgovorov. Celotne podrobnosti so na voljo v naših opombah ob izdaji⁠(odpre se v novem oknu).

Danes predstavljamo OpenAI o3 in o4-mini, najnovejša modela v naši seriji o, ki sta usposobljena za daljše premišljanje pred odzivanjem. To so najpametnejši modeli, ki smo jih do zdaj izdali, in predstavljajo prelomnico v zmožnostih ChatGPT za vse, od radovednih uporabnikov do naprednih raziskovalcev. Prvič lahko naši modeli sklepanja agentno uporabljajo in združujejo vsa orodja znotraj ChatGPT – to vključuje iskanje po spletu, analizo naloženih datotek in drugih podatkov s Pythonom, globoko razmišljanje o vizualnih vnosih in celo ustvarjanje slik. Ključno je, da so ti modeli usposobljeni za utemeljevanje, kdaj in kako uporabiti orodja za ustvarjanje podrobnih in premišljenih odgovorov v ustreznih izhodnih formatih, običajno v manj kot minuti, za reševanje bolj zapletenih problemov. To jim omogoča učinkovitejše reševanje večplastnih vprašanj, kar je korak k bolj agentnemu ChatGPT‑ju, ki lahko samostojno izvaja naloge v vašem imenu. Združena moč najsodobnejšega sklepanja s popolnim dostopom do orodij se odraža v bistveno močnejši uspešnosti pri akademskih merilih in nalogah iz resničnega sveta, kar postavlja nov standard tako v inteligenci kot v uporabnosti.

Kaj se je spremenilo

OpenAI o3 je naš najmočnejši model sklepanja, ki premika meje na področju programiranja, matematike, znanosti, vizualnega zaznavanja in še več. Postavlja nov vrhunski rezultat na primerjalnih testih, vključno s Codeforces, SWE-bench (brez gradnje prilagojenega modelno specifičnega ogrodja) in MMMU. Idealen je za kompleksna vprašanja, ki zahtevajo večplastno analizo in katerih odgovori morda niso takoj očitni. Še posebej močno deluje pri vizualnih nalogah, kot so analiza slik, grafikonov in grafik. V ocenah zunanjih strokovnjakov o3 naredi 20 odstotkov manj večjih napak kot OpenAI o1 pri zahtevnih, resničnih nalogah – še posebej izstopa na področjih, kot so programiranje, poslovno svetovanje in ustvarjalno oblikovanje idej. Zgodnji preizkuševalci so poudarili njegovo analitično strogost kot miselnega partnerja in izpostavili njegovo sposobnost ustvariti in kritično vrednotiti nove hipoteze – zlasti v kontekstih biologije, matematike in inženiringa.

OpenAI o4-mini je manjši model, optimiziran za hitro in stroškovno učinkovito razmišljanje – dosega izjemno zmogljivost glede na svojo velikost in stroške, zlasti na področju matematike, kodiranja in vizualnih nalog. Je najbolje delujoči model, ocenjen na AIME 2024 in 2025. Čeprav dostop do računalnika bistveno zmanjša težavnost izpita AIME, smo opazili tudi, da o4-mini doseže 99,5 % pri prvem poskusu (100 % konsenz pri 8 poskusih) na AIME 2025, ko ima dostop do interpreterja Python. Čeprav teh rezultatov ne bi smeli primerjati z zmogljivostjo modelov brez dostopa do orodij, so primer, kako učinkovito o4-mini izkorišča razpoložljiva orodja; o3 kaže podobne izboljšave na AIME 2025 pri uporabi orodij (98,4 % pri prvem poskusu, 100 % konsenz pri 8 poskusih).

V strokovnih ocenah o4-mini prekaša svojega predhodnika, o3‑mini, tudi pri nalogah, ki niso povezane s STEM, kot tudi na domenah, kot je podatkovna znanost. Zaradi svoje učinkovitosti o4-mini podpira bistveno višje omejitve uporabe kot o3, zaradi česar je močna možnost za vprašanja, ki imajo koristi od sklepanja, z veliko količino in visoko zmogljivostjo. Zunanji strokovni ocenjevalci so oba modela ocenili kot modela, ki kažeta izboljšano sledenje navodilom in bolj uporabne, preverljive odgovore kot njuna predhodnika, zahvaljujoč izboljšani inteligenci in vključitvi spletnih virov. V primerjavi s prejšnjimi različicami naših modelov sklepanja bi morala ta dva modela delovati bolj naravno in pogovorno, še posebej, ker se sklicujeta na pomnilnik in pretekle pogovore, da bi bili odgovori bolj osebni in ustrezni.

Multimodalnost

Programiranje

Pri vseh ocenjevanjih po merilu SWE-bench je bil uporabljen stalni podsklop preverjenih nalog (n=477), ki so bile potrjene na naši notranji infrastrukturi.

Upoštevanje navodil in uporaba agentskih orodij

Vsi modeli so ocenjeni pri visokih nastavitvah »prizadevanja pri sklepanju« – podobno kot različice, kot je »o4-mini-high« v ChatGPT.

Nadaljevanje širjenja okrepljenega učenja

Skozi razvoj OpenAI o3 smo opazili, da okrepljeno učenje v velikem obsegu kaže enak trend »več računalniške moči = boljša zmogljivost«, kot smo ga opazili pri predhodnem usposabljanju serije GPT. Z vnovičnim sledenjem poti skaliranja – tokrat v RL – smo dosegli dodaten velikostni red tako pri računalniški moči za usposabljanje kot pri sklepanju v času razmišljanja, vendar še vedno opažamo jasne izboljšave v zmogljivosti, kar potrjuje, da se zmogljivost modelov še naprej izboljšuje, bolj ko jim je dovoljeno razmišljati. Pri enaki zakasnitvi in stroških kot OpenAI o1, o3 zagotavlja višjo zmogljivost v ChatGPT – in potrdili smo, da če mu dovolimo, da razmišlja dlje, se zmogljivost še naprej povečuje.

Oba modela smo s pomočjo okrepljenega učenja usposobili tudi za uporabo orodij– naučili smo ju ne le, kako uporabljati orodja, temveč tudi, kako utemeljiti, kdaj jih uporabiti. Njihova sposobnost uporabe orodij na podlagi želenih rezultatov jih naredi bolj sposobne v odprtih situacijah – še posebej tistih, ki vključujejo vizualno sklepanje in večstopenjske delovne tokove. Ta izboljšava se odraža tako v akademskih merilih kot v resničnih nalogah, kot so poročali zgodnji preizkuševalci.

Razmišljanje s slikami

Ti modeli lahko prvič vključijo slike neposredno v svojo miselno verigo. Ne vidijo samo slike – z njo premislijo. To odpira nov razred reševanja problemov, ki združuje vizualno in besedilno sklepanje, kar se odraža v njihovi najsodobnejši zmogljivosti na multimodalnih merilih uspešnosti.

Ljudje lahko naložijo fotografijo bele table, diagram iz učbenika ali ročno narisano skico, model pa jo lahko interpretira – tudi če je slika zamegljena, obrnjena ali nizke kakovosti. Z uporabo orodij lahko modeli sproti manipulirajo s slikami – vrtijo, povečujejo ali preoblikujejo jih kot del svojega razmišljanja.

Ti modeli zagotavljajo najboljšo natančnost v svojem razredu pri nalogah vizualnega zaznavanja, kar jim omogoča reševanje vprašanj, ki so bila prej nedosegljiva. Za več informacij si oglejte raziskovalni blog o vizualnem sklepanju⁠.

Proti uporabi orodij z agentno sposobnostjo

OpenAI o3 in o4-mini imata popoln dostop do orodij znotraj ChatGPT, kot tudi do vaših lastnih orodij prek funkcijskih klicev v API. Ti modeli so usposobljeni tako, da utemeljujejo reševanje težav, pri čemer se odločajo, kdaj in kako uporabiti orodja za hitro pripravo podrobnih in premišljenih odgovorov v ustreznih izhodnih formatih – običajno v manj kot minuti.

Na primer, uporabnik lahko vpraša: »Kako se bo poletna poraba energije v Kaliforniji primerjala z lanskoletno?« Model lahko išče podatke o javnih storitvah na spletu, napiše Python kodo za izdelavo napovedi, ustvari graf ali sliko ter pojasni ključne dejavnike napovedi, pri čemer povezuje več klicev orodij. Razmišljanje modelom omogoča, da se po potrebi odzovejo in prilagodijo informacijam, s katerimi se srečujejo. Na primer, večkrat lahko iščejo po spletu s pomočjo ponudnikov iskanja, pregledajo rezultate in preizkusijo nova iskanja, če potrebujejo več informacij.

Ta prilagodljiv, strateški pristop omogoča modelom, da se lotijo nalog, ki zahtevajo dostop do ažurnih informacij, ki presegajo vgrajeno znanje modela, razširjeno sklepanje, sintezo in generiranje izhodov med različnimi modalnostmi.

Vsi primeri so bili dokončani z OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

O konstrukciji polinomov je razmišljal 55 sekund

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Razmišljal je 1 min 19 s

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 pravilno dobi odgovor brez uporabe iskanja, medtem ko o1 ne uspe dostaviti pravilnega odgovora.

Napredek stroškovno učinkovitega sklepanja

Stroški v primerjavi z zmogljivostjo: o3‑mini in o4-mini

Vrednotenja OpenAI o3-mini in o4-mini AIME

Vrednotenja OpenAI o3-mini in o4-mini GPQA

Stroški v primerjavi z zmogljivostjo: o1 in o3

OpenAI o3 in o4-mini sta najinteligentnejša modela, kar smo jih kdaj izdali, in sta pogosto tudi učinkovitejša od svojih predhodnikov, OpenAI o1 in o3‑mini. Na primer, na matematičnem tekmovanju AIME leta 2025 se meja stroškovne učinkovitosti za o3 strogo izboljša v primerjavi z o1, podobno pa se meja za o4-mini strogo izboljša v primerjavi z o3‑mini. Na splošno pričakujemo, da bosta o3 in o4-mini za večino uporabe v resničnem svetu pametnejša in cenejša od o1 in o3‑mini.

Varnost

Vsaka izboljšava zmogljivosti modela zahteva sorazmerne izboljšave varnosti. Za OpenAI o3 in o4-mini smo popolnoma prenovili podatke o varnostnem usposabljanju in dodali nove pozive k zavrnitvi na področjih, kot so biološke grožnje (biorisk), ustvarjanje zlonamerne programske opreme in vdori jailbreak. Ti osveženi podatki so omogočili, da sta o3 in o4-mini dosegla visoko uspešnost pri naših internih merilih zavrnitve (npr. hierarhija navodil⁠, vdori jailbreak). Poleg močne učinkovitosti pri zavrnitvah modelov smo razvili tudi sistemske ukrepe za označevanje nevarnih pozivov na področjih tveganja na najnaprednejših področjih. Podobno kot pri našem prejšnjem delu v generiranju slik⁠, smo usposobili nadzor LLM za sklepanje, ki deluje na podlagi varnostnih specifikacij, ki jih je napisal človek in jih je mogoče interpretirati. Ko je bil ta nadzor uporabljen za biotveganje, je uspešno označil ~99 % pogovorov v naši kampanji človeških poskusov napada.

Oba modela smo preizkusili z našim doslej najstrožjim varnostnim programom. V skladu z našim posodobljenim Okvirom pripravljenosti⁠ smo ocenili o3 in o4-mini na treh spremljanih področjih zmogljivosti, ki jih zajema okvir: biološke in kemične zmogljivosti, kibernetska varnost in samoizboljševanje z umetno inteligenco. Na podlagi rezultatov teh ocen smo ugotovili, da sta tako o3 kot o4‑mini v vseh treh kategorijah ostala pod »visokim« pragom Okvira. Podrobne rezultate teh vrednotenj smo objavili v pripadajoči sistemski kartici⁠.⁠

Codex CLI: napredno sklepanje v terminalu

Prav tako delimo nov eksperiment: Codex CLI, lahek kodirni agent, ki ga lahko zaženete iz vašega terminala. Deluje neposredno na vašem računalniku in je zasnovan tako, da maksimira sposobnosti sklepanja modelov, kot sta o3 in o4-mini, s prihajajočo podporo za dodatne API modele, kot je GPT‑4.1⁠.

Prednosti multimodalnega sklepanja lahko pridobite iz ukazne vrstice, tako da modelu posredujete posnetke zaslona ali skice nizke ločljivosti, skupaj z lokalnim dostopom do vaše kode. Upoštevamo ga kot minimalni vmesnik za povezavo naših modelov z uporabniki in njihovimi računalniki. Codex CLI je v celoti odprtokoden na github.com/openai/codex⁠(odpre se v novem oknu) in na voljo že danes.

Poleg tega začenjamo pobudo v vrednosti 1 milijona dolarjev za podpiranje projektov, ki uporabljajo Codex CLI in modele OpenAI. Aplikacije za nepovratna sredstva bomo ocenjevali in sprejemali v korakih po 25.000 USD v obliki API kreditov. Predloge lahko pošljete tukaj.

Dostop

Uporabniki ChatGPT Plus, Pro in Team bodo od danes naprej v izbirniku modelov videli o3, o4-mini in o4-mini-high, ki bodo nadomestili o1, o3‑mini in o3‑mini‑high. Uporabniki ChatGPT Enterprise in Edu bodo pridobili dostop čez en teden. Brezplačni uporabniki lahko preizkusijo o4-mini tako, da v skladatelju pred oddajo poizvedbe izberejo možnost »Think« (Premisli). Omejitve hitrosti v vseh načrtih ostajajo nespremenjene v primerjavi s prejšnjim naborom modelov.

Pričakujemo, da bomo OpenAI o3‑pro izdali v nekaj tednih, ki bo popolnoma podpiral orodja. Za zdaj lahko uporabniki Pro še vedno dostopajo do o1‑pro.

Tako o3 kot o4-mini sta danes na voljo razvijalcem prek Chat Completions API-ja in Responses API-ja (nekateri razvijalci bodo morali preveriti svoje organizacije⁠(odpre se v novem oknu), da bodo dostopali do teh modelov). Responses API podpira povzetke sklepanja, možnost ohranjanja žetonov sklepanja okoli funkcijskih klicev za boljšo zmogljivost in bo kmalu podpiral vgrajena orodja, kot so spletno iskanje, iskanje datotek in Tolmač kode (Code Interpreter) znotraj sklepanja modela. Za začetek raziščite našo dokumentacijo⁠(odpre se v novem oknu) in spremljajte nadaljnje posodobitve.

Kaj sledi

Današnje posodobitve odražajo smer, v katero se naši modeli razvijajo: združujemo specializirane sposobnosti sklepanja serije o z naravnimi pogovornimi sposobnostmi in uporabo orodij serije GPT. Z združitvijo teh prednosti bodo naši prihodnji modeli podpirali nemotene in naravne pogovore, hkrati pa omogočali proaktivno uporabo orodij in napredno reševanje problemov.

Posodobitev 28. julija 2025: Podatkovni niz SWE-Lancer in rezultati so bili posodobljeni na dan 17. julija 2025, na voljo na: https://github.com/openai/preparedness⁠(odpre se v novem oknu) in v naših sistemskih karticah. Ta posodobitev odpravlja več težav, ki so vplivale na rezultate zaslužka, in odstrani zahtevo po internetni povezljivosti med izvajanjem, s čimer odpravlja glavni vir variabilnosti v zmogljivosti modela.

Posodobitev 16. aprila 2025: rezultati za o3 na Charxiv-r in Mathvista so bili posodobljeni, da odražajo spremembo sistemskega poziva, ki v prvotni oceni ni bila prisotna.

Ponovitev prenosa v živo

Avtor

OpenAI

Opombe

* Vrednosti vrednotenj tau-bench so povprečene čez 5 izvedb, da se zmanjša varianca, in izvajajo se brez kakršnih koli prilagojenih orodij ali pozivov. Ugotovili smo, da so uvedbe tau-bench v maloprodaji bolj nagnjene k napakam uporabniškega modela. Številke za osenčeno vrstico so izvedene z uporabniškim modelom GPT-4.1, ker je bistveno boljši od GPT-4o pri sledenju navodilom.

* SWE-bench uporablja največjo dolžino konteksta 256k, kar izboljša stopnjo reševanja za o4-mini za približno 3 % in vpliva na stopnjo reševanja za o3 za manj kot 1 %. Prav tako izključujemo 23 vzorcev, ki jih ni mogoče zagnati na naši interni infrastrukturi.

** Ko omogočite brskanje, lahko model včasih najde natančne odgovore na spletu, na primer z branjem objav v blogu z vzorčnimi težavami iz nabora podatkov. Za tveganje, da bo model med brskanjem goljufal, izvajamo blažilne ukrepe z dvema strategijama:

Blokirali smo domene, pri katerih smo v preteklosti opazili, da model goljufa.
Uporabili smo model sklepanja kot nadzor za pregled vseh žetonov v vsakem poskusu, da bi prepoznali sumljivo vedenje. Sumljivo vedenje je opredeljeno kot »stran, datoteka ali delček, katerega glavni namen je zagotoviti točen odgovor na to specifično vprašanje – npr. uradni ključ za ocenjevanje, razkriti povzetek “rešitev” ali razprava, ki dobesedno navaja končni odgovor.« Dobrohotno vedenje je opredeljeno kot »kakršen koli avtoritativen vir, ki bi ga vesten človek lahko preveril (dokumentacija, priročniki, znanstveni članki, ugledni članki), tudi če slučajno vsebuje pravilen odgovor.« Vsi poskusi, pri katerih je monitor ocenil uvajanje kot sumljivo, se štejejo za napačne. Večina vzorcev, ki jih je ta pregled zavrnil, so bili problemi, katerih točna rešitev je bila na voljo na več internetnih virih nepovezanih s HLE.

Nazadnje, naše ocene brskanja morda niso popolnoma ponovljive v OpenAI API-ju zaradi razlik v ozadju iskalnikov med ChatGPT in OpenAI API-jem. Ti rezultati so namenjeni predstavljanju izkušnje uporabnika ChatGPT, vendar se lahko glede na povpraševanje konfiguracija iskanja sčasoma spremeni.

Avtorji prispevkov

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang