Tien doorbraken in de wiskunde en theoretische informatica

We willen wetenschappers en wiskundigen voorzien van hulpmiddelen die ontdekkingen versnellen. Daarom hebben we onlangs ChatGPT voor academische onderzoekers⁠ aangekondigd, een initiatief dat 100.000 wetenschappers en wiskundigen gratis toegang biedt tot onze beste ChatGPT‑modellen. Daarnaast blijven we onze modellen tijdens de ontwikkeling evalueren aan de hand van open onderzoeksvraagstukken.

In mei deelden we een door AI gegenereerde weerlegging⁠ van het eenheidsafstandsvermoeden van Erdős, ontdekt tijdens de evaluatie van een nog niet uitgebracht model. Dit werk heeft al tot verdere ontwikkelingen in de wiskunde en theoretische informatica geleid¹. Vandaag delen we tien resultaten die elk een al lang bestaand open probleem oplossen of aanzienlijke vooruitgang opleveren. Deze problemen bestrijken hoogdimensionale meetkunde, coderingstheorie, de complexiteit van rekenkundige schakelingen, groepentheorie, operatoralgebra's, kwantumcomplexiteit, roostercryptografie en extremale combinatoriek. Al deze problemen zijn van groot belang voor hun respectieve wiskundige vakgebieden, en meerdere zijn relevant voor de wiskunde als geheel.

We presenteren nieuwe resultaten voor de volgende problemen. De resultaten zijn behaald door een interne versie van Astra, ons volgende belangrijke model. Het totale aantal tokens dat nodig was om oplossingen voor deze problemen te vinden, zou tegen de API-tarieven van Sol ongeveer $ 2.000 kosten. Vervolgens verwerkten mensen deze argumenten met hetzelfde model tot manuscripten. Daarna formaliseerde het model elk argument in een Lean-certificaat⁠(opent in een nieuw venster). Voor elke oplossing publiceren we ook een door een model opgestelde toelichting op het denkproces.

1. Bolstapeling in hoge dimensies. Nieuwe bovengrenzen voor de dichtheid van bolstapelingen, tot aan de Cohn-Elkies-grens.
2. Binaire en sferische codes: Exponentieel verbeterde grenzen voor de maximale omvang van binaire codes bij elke voorgeschreven minimale afstand, met vergelijkbare resultaten voor hoogdimensionale sferische codes.
3. Niet-sofische groepen. Een constructie die het bestaan van niet-sofische groepen aantoont en daarmee een centrale open vraag in de groepentheorie beantwoordt.
4. Connes' rigiditeitsvermoeden. Weerlegging van een al lang bestaand vermoeden dat bepaalde groepen eenduidig worden bepaald door hun von Neumann-algebra's.
5. Complexiteit van rekenkundige schakelingen. Nieuwe ondergrenzen voor het berekenen van de permanent met rekenkundige schakelingen en formules, waaronder een ondergrens van orde n⁴/log n voor rekenkundige formules.
6. Kwantumparallelle herhaling. Een exponentiële parallelle-herhalingsstelling voor algemene kwantumspellen met twee spelers, die een fundamenteel principe uit de klassieke complexiteitstheorie uitbreidt.
7. Probleem van de dichtstbijzijnde vector. Benaderingsmoeilijkheid met een polynomiale factor voor het probleem van de dichtstbijzijnde vector, een fundamenteel roostervraagstuk dat verband houdt met postkwantumcryptografie.
8. Ehrharts volumevermoeden. In elke dimensie bepalen wat het maximaal mogelijke volume is van een convex lichaam waarvan het zwaartepunt het enige inwendige roosterpunt is.
9. Meerkleurige Ramseygetallen. Een superexponentiële ondergrens voor meerkleurige driehoeks-Ramseygetallen, waarmee Erdős-probleem 183 wordt opgelost.
10. Vermoedens over extremale getallen. Resultaten over de compactheids- en degeneratievermoedens in de extremale grafentheorie, waarmee Erdős-problemen 146 en 180 worden opgelost.

De opkomst van systemen die aan wiskundig onderzoek kunnen bijdragen, roept vragen op die een technologiebedrijf niet alleen kan beantwoorden. Er bestaan veel opvattingen over de rol van AI in de wiskunde. We hebben veel respect en begrip voor degenen die zich zorgen maken over de gevolgen ervan, onder wie de ondertekenaars van de Verklaring van Leiden over AI en wiskunde⁠(opent in een nieuw venster). Wij vinden dat de auteursvermelding eerlijk moet weergeven hoe een resultaat tot stand is gekomen: een bewijs dat volledig door een AI-systeem is gegenereerd aan mensen toeschrijven, zou zowel de bijdrage van het systeem als de aard van werkelijk menselijk intellectueel werk verkeerd voorstellen. We hebben geholpen de manuscripten op te stellen en de bewijzen in Lean te formaliseren, en we nemen de verantwoordelijkheid voor de juistheid ervan. De wiskundige argumenten zelf zijn echter door ons systeem gegenereerd. We hopen dat de wiskundige gemeenschap zich grondig in deze resultaten verdiept, ze in hun context plaatst en de achterliggende ideeën via nieuw onderzoek en nieuwe ontdekkingen verder tot leven brengt.

Nu AI-systemen zich ontwikkelen tot geavanceerdere onderzoekspartners, is brede toegang essentieel om wetenschappers en wiskundigen te ondersteunen bij het verkennen en vormgeven van de toekomst van hun vakgebied in dit tijdperk van ingrijpende verandering.