16 april 2025

Maak kennis met OpenAI o3 en o4-mini

Onze slimste en krachtigste modellen tot nu toe met volledige toegang tot tools

Bezig met laden...

Update op 10 juni 2025: OpenAI o3‑pro is nu beschikbaar voor Pro-gebruikers in ChatGPT en in onze API.. Net als OpenAI o1‑pro is o3‑pro een versie van ons meest intelligente model, OpenAI o3, ontworpen om langer na te denken en de meest betrouwbare reacties te geven. Alle informatie is te vinden in onze release notes⁠(opent in een nieuw venster).

Vandaag introduceren we OpenAI o3 en o4-mini, de nieuwste modellen in onze o-serie die getraind zijn om langer na te denken voordat ze reageren. Dit zijn de slimste modellen die we tot nu toe hebben uitgebracht, die een stap voorwaarts betekenen in de mogelijkheden van ChatGPT voor iedereen, van nieuwsgierige gebruikers tot gevorderde onderzoekers. Voor het eerst kunnen onze redeneringsmodellen als agent elk hulpmiddel binnen ChatGPT gebruiken en combineren, waaronder zoeken op het web, analyseren van geüploade bestanden en andere gegevens met Python, diepgaand redeneren over visuele invoer en zelfs het genereren van afbeeldingen. Cruciaal is dat deze modellen getraind zijn om te redeneren over wanneer en hoe ze tools moeten gebruiken om gedetailleerde en doordachte antwoorden te produceren in de juiste uitvoerformaten, meestal in minder dan een minuut, om complexere problemen op te lossen. Hierdoor kunnen ze veelzijdige vragen effectiever aanpakken, een stap in de richting van een meer agentgerichte ChatGPT die zelfstandig taken namens jou kan uitvoeren. De gecombineerde kracht van state-of-the-art redeneren met volledige toegang tot tools vertaalt zich in aanzienlijk betere prestaties bij academische benchmarks, evenals bij praktijktaken en zet een nieuwe standaard in zowel intelligentie als bruikbaarheid.

Wat er is gewijzigd

OpenAI o3 is ons krachtigste redeneermodel dat de grenzen verlegt op het gebied van programmeren, wiskunde, wetenschap, visuele waarneming en nog veel meer. Het zet een nieuwe SOTA neer op benchmarks waaronder Codeforces, SWE-bench (zonder een aangepaste modelspecifieke steiger te bouwen) en MMMU. Het is ideaal voor complexe zoekopdrachten die een veelzijdige analyse vereisen en waarvan de antwoorden misschien niet direct voor de hand liggen. Het presteert vooral sterk bij visuele taken zoals het analyseren van afbeeldingen, grafieken en diagrammen. In evaluaties door externe experts maakt o3 20 procent minder grote fouten dan OpenAI o1 bij moeilijke taken in de praktijk en blinkt vooral uit op gebieden als programmeren, zakendoen/consultancy en creatief denken. Vroege testers benadrukten de analytische nauwkeurigheid als denkpartner en benadrukten het vermogen om nieuwe hypotheses te genereren en kritisch te evalueren, vooral binnen de context van biologie, wiskunde en techniek.

OpenAI o4-mini is een kleiner model dat is geoptimaliseerd voor snel en kostenefficiënt redeneren. Het levert opmerkelijke prestaties voor zijn grootte en kosten, met name in wiskunde, programmering en visuele taken. Het is het best presterende benchmarkmodel voor AIME 2024 en 2025. Hoewel toegang tot een computer de moeilijkheidsgraad van het AIME-examen aanzienlijk vermindert, vonden we het ook opmerkelijk dat o4-mini 99,5% pass@1 (100% consensus@8) haalt op AIME 2025 wanneer het toegang krijgt tot een Python-tolk. Hoewel deze resultaten niet vergeleken moeten worden met de prestaties van modellen zonder toegang tot hulpmiddelen, zijn ze één voorbeeld van hoe effectief o4-mini gebruik maakt van beschikbare hulpmiddelen; o3 laat vergelijkbare verbeteringen zien op AIME 2025 door het gebruik van hulpmiddelen (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

In evaluaties door experts presteert o4-mini ook beter dan zijn voorganger, o3‑mini, op non-STEM taken en domeinen zoals gegevenswetenschap. Dankzij de efficiëntie ondersteunt o4-mini aanzienlijk hogere gebruikslimieten dan o3, waardoor het een sterke optie voor hoge volumes en hoge doorvoer is voor vragen die baat hebben bij redeneren. Externe deskundige beoordelaars beoordeelden beide modellen als beter in het volgen van instructies en bruikbaardere, controleerbare antwoorden dan hun voorgangers, dankzij verbeterde intelligentie en het opnemen van webbronnen. Vergeleken met eerdere versies van onze redeneermodellen zouden deze twee modellen ook natuurlijker en als gesprekken moeten aanvoelen, vooral omdat ze het geheugen en eerdere gesprekken gebruiken om reacties persoonlijker en relevanter te maken.

Multimodaal

Programmeren

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Het volgen van instructies en het gebruik van autonome tools

Alle modellen worden geëvalueerd bij hoge 'redeneerinspanning'-instellingen, vergelijkbaar met varianten zoals 'o4-mini-high' in ChatGPT.

Het voortschrijden van schaalvergroting bij versterkend leren

Tijdens de gehele ontwikkeling van OpenAI o3 hebben we gezien dat versterkend leren op grote schaal hetzelfde patroon vertoont van 'meer rekenkracht = betere prestaties' als bij de training vooraf van de GPT‑serie. Door het opschaaltraject opnieuw te volgen, dit keer in RL, hebben we een extra grootteorde doorgevoerd in zowel het rekenwerk voor de training als het redeneren tijdens de inferentietijd, en toch zien we nog steeds duidelijke prestatieverbeteringen. Daarmee wordt aangetoond dat de prestaties van het model verbeteren hoe langer ze mogen nadenken. Bij gelijkblijvende latentie en kosten met OpenAI o1, levert o3 hogere prestaties in ChatGPT en we hebben gevalideerd dat als we het langer laten nadenken, de prestaties blijven stijgen.

We hebben beide modellen ook getraind om tools te gebruiken door middel van versterkend leren, waarbij we ze niet alleen hebben geleerd hoe ze tools moeten gebruiken, maar ook om te beredeneren wanneer ze deze moeten gebruiken. Hun vermogen om tools in te zetten op basis van de gewenste resultaten, maakt ze bekwamer in situaties met een open einde, vooral als het gaat om visueel redeneren en workflows die uit meerdere stappen bestaan. Deze verbetering wordt weerspiegeld in zowel academische benchmarks als echte taken, zoals gerapporteerd door de eerste testers.

Denken met afbeeldingen

Voor het eerst kunnen deze modellen afbeeldingen rechtstreeks integreren in hun Chain of Thought. Ze zien niet alleen een afbeelding, ze denken er ook mee. Dit ontsluit een nieuwe klasse van probleemoplossing die visuele en tekstuele redenering combineert, wat tot uiting komt in hun state-of-the-art prestaties in multimodale benchmarks.

Mensen kunnen een foto uploaden van een whiteboard, een tekstboekschema of een handgetekende schets en het model kan deze interpreteren, zelfs als de afbeelding wazig, omgekeerd of van lage kwaliteit is. Met het gebruik van tools kunnen de modellen beelden direct bewerken — zoals roteren, inzoomen of transformeren — als onderdeel van hun redeneerproces.

Deze modellen leveren de beste nauwkeurigheid op visuele waarnemingstaken, waardoor ze vragen kunnen oplossen die voorheen buiten bereik lagen. Bekijk de blog over onderzoek naar visueel redeneren⁠ voor meer info.

Op weg naar gebruik van autonome tools

OpenAI o3 en o4-mini hebben volledige toegang tot tools binnen ChatGPT, maar ook tot je eigen aangepaste tools via functie aanroepen in de API. Deze modellen zijn getraind om te redeneren over hoe ze problemen moeten oplossen, om te kiezen wanneer en hoe ze tools moeten gebruiken om snel gedetailleerde en doordachte antwoorden in de juiste uitvoerformaten te produceren - meestal in minder dan een minuut.

Een gebruiker kan bijvoorbeeld vragen: 'Hoe zal het zomerenergieverbruik in Californië zich verhouden tot vorig jaar'? Het model kan op het web zoeken naar gegevens van openbare nutsbedrijven, Python-code schrijven om een voorspelling op te stellen, een grafiek of afbeelding genereren en de belangrijkste factoren achter de voorspelling uitleggen, waarbij meerdere tool-aanroepen aan elkaar worden gekoppeld. Door te redeneren kunnen de modellen naar behoefte reageren op informatie die ze tegenkomen. Ze kunnen bijvoorbeeld meerdere keren op het web zoeken met behulp van zoekproviders, resultaten bekijken en nieuwe zoekopdrachten proberen als ze meer informatie nodig hebben.

Dankzij deze flexibele, strategische aanpak kunnen de modellen taken uitvoeren waarvoor toegang tot actuele informatie nodig is die verder gaat dan de ingebouwde kennis van het model, uitgebreid redeneren, synthese en het genereren van uitvoer over verschillende modaliteiten heen.

Alle voorbeelden werden uitgevoerd met OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Redeneerde 55 seconden over polynoomconstructies

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Dacht 1 minuut en 19 seconden na

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 geeft het juiste antwoord zonder gebruik te maken van zoekfuncties, terwijl o1 er niet in slaagt een correct antwoord te geven.

Bevorderen van kostenefficiënt redeneren

Kosten versus prestaties: o3‑mini en o4-mini

OpenAI o3-mini en o4-mini AIME-evaluaties

OpenAI o3-mini en o4-mini GPQA-evaluaties

Kosten versus prestaties: o1 en o3

OpenAI o3 en o4-mini zijn de meest intelligente modellen die we ooit hebben uitgebracht en ze zijn ook vaak efficiënter dan hun voorgangers, OpenAI o1 en o3‑mini. In de AIME-wiskundewedstrijd van 2025 bijvoorbeeld, is de kosten-prestatiegrens voor o3 strikt beter dan die voor o1, en evenzo is de grens voor o4-mini strikt beter dan die voor o3‑mini. Meer in het algemeen verwachten we dat o3 en o4-mini voor het meeste gebruik in de praktijk zowel slimmer als goedkoper zullen zijn dan respectievelijk o1 en o3‑mini.

Veiligheid

Elke verbetering in de capaciteiten van het model vereist evenredige verbeteringen op het gebied van veiligheid. Voor OpenAI o3 en o4-mini hebben we onze trainingsdata op het vlak van veiligheid volledig opnieuw opgebouwd, met toevoeging van nieuwe weigeringsprompts op gebieden als biologische dreigingen (biorisico), het genereren van malware en jailbreaks. Deze vernieuwde gegevens hebben ertoe geleid dat o3 en o4-mini sterk presteren op onze interne benchmarks voor weigering (bijv. instructiehiërarchie⁠, jailbreaks). Naast sterke prestaties voor modelweigeringen, hebben we ook beperkingen op systeemniveau ontwikkeld voor het signaleren van gevaarlijke prompts die risicogebieden dicht naderen. Net als eerder bij beeldgeneratie⁠ hebben we een redenerende LLM-monitor getraind die werkt op basis van door mensen geschreven en interpreteerbare veiligheidsspecificaties. Toen we dit op biologische risico's toepasten, signaleerde dit systeem met goed gevolg ongeveer 99% van de gesprekken in onze red-teaming-campagne met mensen.

Beide modellen hebben we met ons meest rigoureuze veiligheidsprogramma tot nu toe aan uitvoerige stresstesten onderworpen. In overeenstemming met ons bijgewerkte Preparedness Framework⁠⁠ hebben we de o3- en o4-mini geëvalueerd op de drie gevolgde capaciteitsgebieden die onder het framework vallen: biologisch en chemisch, cyberbeveiliging en AI-zelfverbetering. Op basis van de resultaten van deze evaluaties hebben we vastgesteld dat zowel o3 als o4-mini in alle drie categorieën onder de drempel voor 'Hoog' van het framework blijven. We hebben de gedetailleerde resultaten van deze evaluaties gepubliceerd in de bijgevoegde systeemkaart.⁠

Codex CLI: grensverleggend redeneren in de terminal

We delen ook een nieuw experiment: Codex CLI, een lichtgewicht programmeeragent die je vanaf je terminal voor je kunt laten werken. Het werkt direct op je computer en is ontworpen om het redeneervermogen van modellen zoals o3 en o4-mini te maximaliseren, met aankomende ondersteuning voor aanvullende API-modellen zoals GPT‑4.1⁠⁠.

Je kunt van de voordelen van multimodaal redeneren vanaf de commandoregel profiteren door schermafbeeldingen of laagwaardige schetsen door te geven aan het model, gecombineerd met lokale toegang tot je code. We zien het als een eenvoudige interface die modellen verbindt met gebruikers en hun computers. Codex CLI is vanaf vandaag volledig open-source beschikbaar op github.com/openai/codex⁠⁠(opent in een nieuw venster).

Tegelijkertijd lanceren we een initiatief van 1 miljoen dollar om projecten te ondersteunen die gebruikmaken van Codex CLI en OpenAI-modellen. We evalueren en accepteren subsidieaanvragen in stappen van 25.000 Amerikaanse dollar in de vorm van API-credits. Voorstellen kunnen hierworden ingediend.

Toegang

Gebruikers van ChatGPT Plus, Pro en Team zien in de modelkiezer vanaf vandaag o3, o4-mini en o4-mini-high, ter vervanging van o1, o3‑mini en o3‑mini‑high. ChatGPT Enterprise- en Edu-gebruikers krijgen binnen een week toegang. Gratis gebruikers kunnen o4-mini uitproberen door 'Think' te selecteren in de composer voordat ze hun vraag indienen. De tariefgrenzen blijven voor alle plannen ongewijzigd ten opzichte van de vorige reeks modellen.

We verwachten OpenAI o3‑pro over een paar weken uit te brengen met volledige ondersteuning voor tools. Voorlopig hebben Pro-gebruikers nog steeds toegang tot o1‑pro.

Zowel o3 als o4-mini zijn vanaf vandaag ook beschikbaar voor ontwikkelaars via de Chat Completions API en de Responses API (sommige ontwikkelaars moeten de identiteit van hun organisatie aantonen⁠(opent in een nieuw venster) om toegang te krijgen tot deze modellen). De Responses API ondersteunt redeneersamenvattingen en het vermogen om redeneertokens te behoudenrond functieoproepen voor betere prestaties. Binnenkort wordt binnen het redeneerproces van het model ook ondersteuning geboden voor ingebouwde tools zoals zoeken op internet, zoeken in bestanden en de Code-interpreter. Bekijk onze documentatie⁠(opent in een nieuw venster) om aan de slag te gaan en blijf op de hoogte voor nieuwe updates.

Nieuwe ontwikkelingen op komst

De updates van vandaag weerspiegelen de richting die onze modellen opgaan: we convergeren de gespecialiseerde redeneermogelijkheden van de o-serie met meer van de natuurlijke gespreksvaardigheden van en het gebruik van tools in de GPT‑serie. Door deze sterke punten te verenigen, kunnen onze toekomstige modellen naadloze, natuurlijke gesprekken voeren bij een proactief gebruik van tools en geavanceerde probleemoplossing.

Update 16 april: de resultaten voor o3 op Charxiv-r en Mathvista zijn bijgewerkt om een wijziging in de systeemprompt te weerspiegelen die niet was meegenomen in de oorspronkelijke evaluatie.

Herhaling van livestream

Auteur

OpenAI

Voetnoten

* De tau-bench-evaluatiecijfers zijn gemiddeld over 5 runs om de variantie te verminderen, en worden uitgevoerd zonder aangepaste tools of prompts. We ontdekten dat detailhandelimplementaties van tau-bench vatbaarder zijn voor fouten in het gebruikersmodel. Cijfers voor gearceerde balk zijn uitgevoerd met GPT-4.1 als gebruikersmodel, omdat deze significant beter is dan GPT-4o in de volgende instructies.

* SWE-bench gebruikt 256k maximale contextlengte, wat de oplossnelheid voor o4-mini met ongeveer 3% verbetert en de oplossnelheid van o3 met <1% beïnvloedt. We sluiten ook 23 steekproeven uit die niet uitvoerbaar zijn op onze interne infrastructuur.

** Als bladeren is ingeschakeld, kan het model soms online exacte antwoorden vinden, bijvoorbeeld door blog-posts met voorbeeldproblemen uit een dataset te lezen. We beperken zorgen over valsspelen door het model tijdens het browsen met twee strategieën:

Geblokkeerde domeinen waar we het model in het verleden hebben zien valsspelen.
Gebruikte een redeneermodel als monitor om alle tokens in elke poging te onderzoeken om verdacht gedrag te identificeren. Verdacht gedrag wordt gedefinieerd als 'een pagina, bestand of fragment waarvan het belangrijkste doel is om het exacte antwoord op deze specifieke vraag te geven - bijvoorbeeld een officiële beoordelingssleutel, uitgelekte 'oplossingen' of een discussie waarin het voltooide antwoord letterlijk wordt geciteerd'. Goedaardig gedrag wordt gedefinieerd als 'Elke gezaghebbende bron die een ijverig mens zou kunnen raadplegen (documentatie, handleidingen, wetenschappelijke artikelen, gerenommeerde artikelen), zelfs als deze toevallig het juiste antwoord bevat'. Alle pogingen waarbij de monitor de uitrol verdacht vond, worden als onjuist geteld. De meeste voorbeelden die niet door deze controle kwamen, waren problemen waarvan de exacte oplossing beschikbaar was op meerdere internetbronnen die niet gerelateerd waren aan HLE.

Tot slot kunnen onze evaluaties met browsen mogelijk niet perfect worden gereproduceerd in de OpenAI-API vanwege een verschil in zoekmachinebackends tussen ChatGPT en de OpenAI-API. Deze resultaten zijn bedoeld om representatief te zijn voor de ChatGPT-gebruikerservaring, maar afhankelijk van de vraag kan de zoekconfiguratie na verloop van tijd veranderen.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang