数学と理論計算機科学における10の進展

私たちは、科学者や数学者の発見を加速するツールを提供し、その力を引き出したいと考えています。そのため先日、10万人の科学者と数学者に最高性能の ChatGPT モデルを無料で提供する取り組み「学術研究者向け ChatGPT⁠」を発表しました。また、開発中のモデルを未解決の研究課題で評価する取り組みも続けています。

5月には、未公開モデルの評価中に発見された、エルデシュ氏の単位距離予想に対するAI が生成した反証⁠を公開しました。この成果はすでに、数学と理論計算機科学のさらなる進展につながっています¹。本日は、長年の未解決問題を解決、または大きく前進させた10件の成果を紹介します。対象分野は、高次元幾何学、符号理論、算術回路計算量、群論、作用素環、量子計算量、格子暗号、極値組合せ論に及びます。いずれも各数学分野の研究コミュニティにとって重要な問題であり、そのうち複数は数学全体に幅広く関わるものです。

以下の問題について、新たな成果を示します。これらの成果は、次期主要モデル Astra の社内版によって得られました。これらの問題の解法を見つけるために必要だった総トークン数は、Sol API の料金で約2,000ドル相当です。その後、人間が同じモデルを使って、これらの論証を論文原稿にまとめました。さらに、モデルが各論証をLean ⁠（新しいウィンドウで開く）で形式化し、検証可能な証明として記述しました。各解法について、モデル自身が思考過程を説明した記録も公開します。

1. 高次元球充填球充填密度について、コーン–エルキーズ限界に至る新たな上界
2. 二元符号と球面符号：任意に指定した最小距離における二元符号の最大サイズについて、指数関数的に改善された上界。高次元球面符号についても同様の成果
3. 非ソフィック群非ソフィック群の存在を示す構成により、群論の中心的な未解決問題に回答
4. コンヌの剛性予想特定の群がそのフォン・ノイマン環によって一意に決定されるという、長年の予想への反証
5. 算術回路計算量算術回路と算術式によるパーマネントの計算について、n⁴/log n オーダーの算術式下界を含む新たな下界
6. 量子並列反復一般的な2人量子ゲームに対する指数関数的並列反復定理。古典計算量理論の基礎原理を拡張
7. 最近ベクトル問題耐量子暗号に関連する格子理論の基礎問題である最近ベクトル問題について、多項式因子での近似困難性を証明
8. エルハート氏の体積予想重心だけが内部格子点となる凸体について、各次元で可能な最大体積を決定
9. 多色ラムゼー数多色三角形ラムゼー数の超指数関数的な下界を示し、エルデシュ氏の問題183を解決
10. 極値数予想極値グラフ理論におけるコンパクト性予想と退化性予想に関する成果により、エルデシュ氏の問題146と180を解決

数学研究に貢献できるシステムの登場により、テクノロジー企業だけでは答えられない問題が生じています。数学における AI の役割にはさまざまな見解があります。私たちは、「AI と数学に関するライデン宣言」⁠（新しいウィンドウで開く）の署名者をはじめ、その影響を懸念する方々の考えを深く理解し、尊重しています。成果がどのように生み出されたかを、帰属表示に正直に反映すべきだと考えています。AI システムが全面的に生成した証明を人間の著作物とすることは、システムの貢献と、真に人間が行う知的作業の本質の両方を不正確に伝えることになります。私たちは論文原稿の作成と Lean による証明の形式化を支援し、その正しさに責任を負います。一方、数学的な論証自体は私たちのシステムが生成しました。数学コミュニティがこれらの成果を深く検討し、適切な文脈に位置づけ、その背後にある着想を新たな研究と発見へと発展させることを願っています。

AI システムがより高度な研究協働者へと進化するなか、広く利用できる環境を確保することは、この変革期に科学者や数学者が各分野の未来を見定め、形づくるうえで不可欠です。