16 avril 2025

Découvrez OpenAI o3 et o4-mini

Nos modèles les plus intelligents et compétents à ce jour, capables d’utiliser des outils sans restriction

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Mise à jour du 10 juin 2025 : OpenAI o3‑pro est désormais accessible aux utilisateurs Pro de ChatGPT, ainsi que via notre API. Comme l’était OpenAI o1‑pro, o3‑pro est une déclinaison de notre modèle le plus intelligent du moment, OpenAI o3, capable de réfléchir plus longtemps et de fournir des réponses plus fiables. Pour en savoir plus, reportez-vous à nos notes de version⁠(ouverture dans une nouvelle fenêtre).

Nous annonçons la disponibilité d’OpenAI o3 et o4-mini, les dernières évolutions de nos modèles de la série o, entraînés pour réfléchir plus longuement avant de fournir une réponse. Il s’agit des modèles les plus intelligents que nous proposons à ce jour, et ils constituent une avancée notable des capacités de ChatGPT pour tous, des simples utilisateurs curieux aux chercheurs de haut niveau. Pour la première fois, nos modèles de raisonnement peuvent exploiter et combiner par l’intermédiaire d’un agent chaque outil disponible dans ChatGPT : recherche sur le Web, analyse de fichiers chargés et d’autres données via Python, raisonnement approfondi sur des saisies visuelles et même génération d’images. Une des caractéristiques essentielles de ces modèles réside dans leur capacité à déterminer quand et comment utiliser ces outils pour générer au bon format et généralement en moins d’une minute des réponses détaillées et réfléchies à des problèmes complexes. Ils sont ainsi en mesure de traiter des questions à plusieurs niveaux, ce qui constitue une nouvelle étape vers une évolution agentique de ChatGPT, qui devient capable d’exécuter n’importe quelle tâche de manière autonome en votre nom. L’association d’un raisonnement de pointe et d’un accès complet aux outils génère des performances bien supérieures sur les évaluations académiques comme sur les cas d’usage réels, et marque une nouvelle référence à la fois en termes d’intelligence et d’utilité.

Ce qui a changé

OpenAI o3 est notre modèle de raisonnement le plus puissant. Il dépasse les performances atteintes jusque-là dans les domaines du codage, des mathématiques, de la science, de la perception visuelle et bien d’autres. Il constitue ainsi une nouvelle référence sur diverses évaluations, notamment Codeforces, SWE-bench (sans infrastructure spécifique) et MMMU. Il offre une solution idéale pour les demandes complexes imposant une analyse sur plusieurs niveaux et dont les réponses ne sont pas forcément évidentes. Il se montre particulièrement efficace sur les tâches visuelles, comme l’analyse d’images, de tableaux et de graphiques. Dans les évaluations conduites par des experts externes et portant sur des cas d’usage réels complexes, o3 fait 20 % d’erreurs importantes en moins qu’OpenAI o1, avec une compétence maximale dans des domaines comme la programmation, les conseils aux entreprises et la recherche d’idées créatives. Ses premiers testeurs ont mis en avant la rigueur de ses analyses dans le cadre d’échanges d’idées et sa capacité à générer et évaluer de manière critique des hypothèses inédites, notamment dans les domaines de la biologie, des mathématiques et de l’ingénierie.

OpenAI o4-mini est un petit modèle optimisé pour raisonner de manière rapide et économique. Ses rapports performance/taille et performance/coût sont remarquables, notamment sur les tâches visuelles et les tâches liées aux mathématiques et de codage. Il s’agit du modèle le plus performant évalué sur les éditions 2024 et 2025 de la compétition AIME. Bien que l’accès à un ordinateur réduise de manière non négligeable la difficulté d’AIME, nous estimons significatif qu’o4-mini atteigne un taux de réussite de 99,5 % au premier essai (et de 100 % dès lors qu’un consensus est obtenu sur 8 propositions de solution) sur l’édition 2025 de cette compétition lorsqu’il a accès à un interpréteur Python. Ces résultats ne doivent pas être comparés aux performances des modèles n’ayant pas accès à des outils, mais ils illustrent l’efficacité avec laquelle o4-mini exploite les outils à sa disposition. Dans les mêmes conditions, o3 présente des améliorations du même ordre sur l’édition 2025 d’AIME (98,4 % de réussite au premier essai, et 100 % dès lors qu’un consensus est obtenu sur 8 propositions de solution).

Lors d’évaluations réalisées par des experts, o4-mini s’est aussi montré plus performant que son prédécesseur (o3‑mini) sur des tâches hors STEM et des domaines comme la data science. Grâce à son efficience, o4-mini permet de rehausser les limites d’utilisation appliquées pour o3, ce qui en fait une option solide et utilisable à grande échelle pour les questions nécessitant un raisonnement. Des évaluateurs experts externes ont jugé que les deux modèles suivaient plus efficacement les instructions et proposaient des réponses plus utiles et vérifiables que leurs prédécesseurs grâce à l’amélioration de leur intelligence et à la prise en charge de sources Web. Par rapport aux versions précédentes de nos modèles de raisonnement, ces deux modèles se montrent aussi plus naturels et conversationnels, notamment car ils font appel à des souvenirs et des conversations passées pour rendre leurs réponses plus personnalisées et pertinentes.

Multimodal

Codage

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Respect des instructions et utilisation agentique d’outils

Tous les modèles sont évalués sur des paramètres de raisonnement élevé, ce qui les met sur un pied d’égalité avec les variantes de type « o4-mini-high » dans ChatGPT.

Montée en puissance de l’apprentissage par renforcement à grande échelle

Tout au long du développement d’OpenAI o3, nous avons constaté que l’apprentissage par renforcement à grande échelle suit une tendance déjà observée lors du pré-entraînement des modèles de la série GPT, à savoir que la hausse des performances est directement liée à la hausse des ressources de calcul. En reprenant cette logique d’augmentation d’échelle, cette fois dans le cadre de l’apprentissage par renforcement, nous avons accru d’un ordre de grandeur supplémentaire à la fois la puissance de calcul pour l’entraînement et les capacités de raisonnement à l’inférence, avec toujours des gains nets de performance. Ces résultats confirment que plus les modèles ont de temps pour réfléchir, plus leurs performances augmentent. À latence et coût équivalents, o3 présente de meilleures performances qu’OpenAI o1 dans ChatGPT, et nous pouvons confirmer qu’en le laissant réfléchir plus longtemps, ses performances ne cessent d’augmenter.

Nous avons également entraîné les deux modèles à utiliser des outils selon un processus d’apprentissage par renforcement. Nous leur avons appris comment utiliser les outils, mais aussi à réfléchir pour déterminer dans quelles situations les utiliser. Leur capacité à déployer des outils en fonction des résultats attendus les rend encore plus compétents dans les situations ouvertes, en particulier celles qui impliquent un raisonnement visuel et des processus en plusieurs étapes. Cette amélioration se retrouve à la fois dans les évaluations académiques et dans les retours des premiers testeurs sur des cas d’usage réels.

Réfléchir de façon imagée

Pour la première fois, ces modèles peuvent intégrer des images directement dans leur chaîne de pensée. Ils ne se contentent pas de voir une image, ils l’intègrent dans leur réflexion. Cette nouvelle capacité révolutionne la résolution de problèmes en mêlant raisonnement visuel et textuel. Elle explique ainsi leurs performances d’exception sur les évaluations multimodales.

Les utilisateurs peuvent charger une photo d’un tableau blanc, d’un schéma dans un manuel ou d’un dessin, et les modèles sauront l’interpréter, même si l’image est floue, à l’envers ou de mauvaise qualité. À l’aide d’outils, ils peuvent la manipuler à la volée pour la faire pivoter, la zoomer ou la transformer pendant leur raisonnement.

Ces modèles offrent une précision exemplaire sur les tâches de perception visuelle, ce qui leur permet de répondre à des questions hors de leur portée jusqu’à présent. Consultez notre article de recherche consacré au raisonnement visuel⁠ pour en savoir plus.

Vers l’utilisation agentique d’outils

OpenAI o3 et o4-mini disposent d’un accès complet aux outils inclus dans ChatGPT, mais ils peuvent aussi accéder à vos propres outils via un appel de fonction proposé dans l’API. Ces modèles ont été entraînés à réfléchir à la résolution des problèmes, et à déterminer quand et comment utiliser ces outils pour générer au bon format et généralement en moins d’une minute des réponses détaillées et réfléchies.

Imaginons que l’utilisateur lui pose la question suivante : « Comment va évoluer la consommation d’énergie en Californie par rapport à l’année dernière ?» Le modèle pourra chercher sur le Web les données des fournisseurs d’électricité, écrire un code Python permettant d’établir une prévision, générer un graphique ou une image, et expliquer les principaux facteurs pris en compte dans ses prévisions. Ce processus implique des appels à plusieurs outils en chaîne. Le raisonnement permet aux modèles de réagir et de changer de direction si les informations qu’ils trouvent le justifient. Par exemple, ils peuvent effectuer plusieurs recherches Web à l’aide de moteurs de recherche, analyser les résultats, et essayer de nouvelles recherches s’ils ont besoin de davantage d’informations.

Cette approche flexible et stratégique permet aux modèles de gérer des tâches qui demandent un accès à des informations plus récentes que celles dont ils disposent, un raisonnement étendu, la synthèse d’informations et la génération de sorties dans diverses modalités.

Tous les exemples ci-dessous ont été réalisés avec OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Raisonnement sur la création d’un polynôme pendant 55 secondes

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Réflexion durant 1 min et 19 s

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 donne la bonne réponse sans faire appel à la recherche, tandis que o1 échoue.

Raisonnement économique

Rapport coût/performances : comparaison entre o3‑mini et o4-mini

Évaluations AIME d’OpenAI o3-mini et o4-mini

Évaluations GPQA d’OpenAI o3-mini et o4-mini

Rapport coût/performance d’o1 et o3

OpenAI o3 et o4-mini sont nos modèles les plus intelligents, et ils sont aussi souvent plus efficients que leurs prédécesseurs, OpenAI o1 et o3‑mini. Par exemple, sur l’édition 2025 de la compétition de mathématiques AIME, le meilleur rapport coût/performance observé pour o3 est supérieur à celui d’o1. o4-mini offre lui aussi une amélioration nette sur o3‑mini. De manière plus générale, nous anticipons que sur la plupart des cas d’usage réels, o3 et o4-mini seront plus intelligents et plus économiques qu’o1 et o3‑mini (respectivement).

Sécurité

Chaque amélioration des capacités des modèles impose des améliorations appropriées de leur sécurité. Pour OpenAI o3 et o4-mini, nous avons réinitialisé nos données d’entraînement de sécurité, en ajoutant de nouveaux refus de prompts dans les domaines tels que les menaces biologiques, la génération de malwares et les jailbreaks. Cette actualisation des données a permis à o3 et o4-mini d’obtenir des performances solides dans nos évaluations des refus internes (p. ex., hiérarchie des instructions⁠, jailbreaks). Nous avons également élaboré des mesures au niveau du système qui permettent de signaler des prompts dangereux dans les zones de risque frontière. Comme ce que nous avons déjà fait pour la génération d’images⁠, nous avons entraîné un LLM de raisonnement à réaliser une surveillance qui repose sur des spécifications de sécurité écrites par des êtres humains et interprétables. Cet outil de surveillance a signalé 99 % des conversations liées aux risques biologiques de notre équipe rouge.

Nous avons soumis les deux modèles au programme de sécurité le plus strict dont nous disposons à ce jour. Nous avons évalué o3 et o4-mini sur les trois domaines suivis par notre nouveau Cadre de préparation⁠ : armes biologiques et chimiques, cybersécurité et auto-amélioration de l’IA. Nous avons conclu des résultats de ces évaluations que les modèles o3 et o4-mini restent en-deçà du seuil « Élevé » de notre cadre dans les trois catégories. Les résultats détaillés de ces évaluations sont publiés dans la fiche système⁠ qui accompagne les modèles.

Codex CLI : un raisonnement de pointe dans le terminal

Nous vous présentons également notre nouvelle expérience, Codex CLI, un agent de codage léger que vous pouvez exécuter depuis votre terminal. Il s’exécute en local sur votre ordinateur et est pensé pour maximiser les capacités de raisonnement des modèles comme o3 et o4-mini, et bientôt de nouveaux modèles accessibles via l’API, comme GPT‑4.1⁠.

Il donne accès au raisonnement multimodal des modèles depuis une ligne de commande en vous permettant de leur transférer des captures d’écran ou esquisses basse fidélité et de leur donner accès à votre code local. Nous voyons cet agent comme une interface minimaliste permettant de connecter nos modèles aux utilisateurs et à leurs ordinateurs. L’intégralité du code de Codex CLI est disponible sous licence open-source sur github.com/openai/codex⁠(ouverture dans une nouvelle fenêtre) dès aujourd’hui.

En parallèle, nous lançons une initiative dotée de 1 million de dollars visant à soutenir des projets faisant appel à Codex CLI et aux modèles OpenAI. Nous évaluerons les projets et les soutiendrons par des crédits d’API d’une valeur de 25 000 $. Vous pouvez nous faire parvenir vos soumissions ici.

Accès

Les utilisateurs de ChatGPT Plus, Pro et Team pourront accéder à o3, o4-mini et o4-mini-high depuis le sélecteur de modèle dès aujourd’hui. o1, o3‑mini et o3‑mini‑high ne seront quant à eux plus disponibles. Les utilisateurs de ChatGPT Enterprise et ChatGPT Edu pourront y accéder la semaine prochaine. Les utilisateurs de ChatGPT Free peuvent tester o4-mini en sélectionnant Approfondir dans l’outil de composition de messages avant d’envoyer leur question. Les limitations applicables à l’ensemble des forfaits ne varient pas par rapport aux modèles précédents.

Nous prévoyons de publier OpenAI o3‑pro d’ici quelques semaines, avec une prise en charge complète des outils. D’ici là, les utilisateurs Pro conservent leur accès à o1‑pro.

o3 et o4-mini sont également accessibles par les développeurs dès aujourd’hui via les API Chat Completions et Responses (certains développeurs devront confirmer leur organisation⁠(ouverture dans une nouvelle fenêtre) pour accéder à ces modèles). L’API Responses prend en charge les résumés de raisonnement et la possibilité de conserver les jetons de raisonnement autour des appels de fonction afin d’optimiser les performances. Elle prendra bientôt en charge les outils intégrés, comme la recherche Web, la recherche de fichiers et l’interpréteur de code, directement dans le raisonnement du modèle. Pour vous lancer, consultez notre documentation⁠⁠(ouverture dans une nouvelle fenêtre) et restez à l’affût de nos futures communications.

Évolutions prévues

Les mises à jour que nous avons annoncées aujourd’hui illustrent la direction prise par nos modèles, à savoir la convergence des capacités de raisonnement spécialisées de la série o avec les capacités de conversation naturelle et d’utilisation d’outils de la série GPT. En unifiant ces forces, nos futurs modèles seront capables de mener des conversations fluides et naturelles, mais aussi d’utiliser de manière proactive des outils et de résoudre des problèmes complexes.

Mise à jour du 16 avril : les résultats d’o3 aux évaluations Charxiv-r et Mathvista ont été mis à jour pour tenir compte d’une modification du prompt système qui n’était pas présent dans l’évaluation d’origine.

Revoir l’événement vidéo

Auteur

OpenAI

Notes de bas de page

* Les chiffres issus de l’évaluation tau-bench correspondent à la moyenne de 5 tests afin de réduire la variance, sans outils ni prompts personnalisés. Nous avons constaté que l’évaluation tau-bench pour les interactions d’e-commerce génère davantage d’erreurs liées au modèle utilisateur. Les chiffres des barres ombrées sont associés au modèle utilisateur GPT-4.1, car il est bien meilleur que GPT-4o pour suivre les instructions.

* SWE-bench utilise un contexte d’une longueur maximale de 256 000 jetons, ce qui améliore le taux de résolution d’o4-mini d’environ 3 %. L’impact sur celui d’o3 est inférieur à 1 %. Nous avons également exclu 23 échantillons qui ne peuvent pas être évalués sur notre infrastructure interne.

** Avec l’activation de la navigation, le modèle peut parfois trouver les réponses exactes en ligne, par exemple en lisant des articles de blog contenant des exemples de problème. Pour limiter le risque de triche lié à la navigation, nous avons mis en place deux stratégies :

Blocage des domaines que le modèle a utilisé par le passé pour tricher.
Utilisation d’un modèle de raisonnement pour examiner tous les jetons à chaque tentative afin d’identifier les comportements suspects. La notion de comportement suspect est ici définie comme « une page, un fichier ou un extrait de code dont le principal objectif est de fournir la réponse exacte à la question posée, comme la liste officielle des réponses à un QCM, des « solutions » divulguées en ligne ou une discussion contenant la réponse finale mot pour mot. » Les comportements bénins sont définis comme toute ressource d’autorité qu’un être humain consciencieux pourrait consulter (documentation, manuels, articles de recherche, articles réputés), même s’ils contiennent de manière indirecte la bonne réponse ». Toute tentative pour laquelle le modèle de raisonnement juge le processus suspect est considérée comme incorrecte. La plupart des détections du modèles étaient liées à des problèmes dont la solution exacte se trouvait sur plusieurs sources Internet sans lien avec les ensembles de données validés par des humains.

Enfin, nos évaluations avec navigation activée peuvent ne pas être totalement reproductibles avec l’API d’OpenAI, car le back-end des moteurs de recherche n’est pas le même dans ChatGPT et l’API OpenAI. Ces résultats sont pensés pour être représentatifs de l’expérience utilisateur proposée par ChatGPT, mais la configuration de la recherche pourra évoluer en fonction des demandes.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang