À propos du problème de Navier–Stokes du prix du millénaire

Nous présentons une solution au problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes, l’un des problèmes du prix du millénaire. Cette preuve, produite par un système interne d’OpenAI, montre que la dynamique des équations de Navier–Stokes décrivant le mouvement des fluides peut engendrer une singularité en temps fini. Nous publions à la fois une présentation de la preuve et sa formalisation dans Lean.

Les problèmes du prix du millénaire⁠(s'ouvre dans une nouvelle fenêtre) comptent parmi les questions les plus profondes à la fine pointe des mathématiques. La question de savoir si le mouvement régulier d’un fluide tridimensionnel peut perdre sa régularité demeure sans réponse depuis environ 90 ans.

L’un des grands objectifs de nos travaux est de donner aux scientifiques les moyens de faire progresser la recherche et les technologies au bénéfice de toute l’humanité. Pour résoudre le problème de Navier–Stokes, nous avons utilisé un modèle interne nettement plus performant que GPT‑6 Astra. Nous croyons qu’il est important d’informer le monde du rythme des progrès de l’IA et de ce que l’on peut attendre des prochains modèles.

Les équations de Navier–Stokes utilisent la deuxième loi du mouvement de Newton (« F=ma ») pour décrire le mouvement des fluides. Fait important, elles traitent un fluide comme un milieu continu plutôt que de suivre chacune de ses molécules. Ces équations servent à concevoir des aéronefs, à établir des prévisions météorologiques et à étudier la circulation sanguine.

Une question fondamentale encore ouverte au sujet de ces équations dynamiques consiste à déterminer si l’approximation continue du fluide peut s’effondrer. Plus précisément, les équations de Navier–Stokes décrivant un fluide tridimensionnel incompressible de densité constante peuvent-elles engendrer une « singularité », même si le mouvement est initialement régulier? Ici, une singularité signifie que la dynamique fait croître sans limite la vitesse dans le fluide en un temps fini. Une singularité devrait se former malgré la viscosité, qui tend à régulariser le mouvement. Puisqu’un fluide réel ne peut se déplacer à une vitesse infinie, cela marquerait une défaillance de la façon dont les équations modélisent le fluide. Pour continuer à modéliser le système, il faudrait alors suivre individuellement le comportement de chaque particule.

Ces équations remontent aux travaux menés au XIXe siècle par Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes. En 1934, Jean Leray a démontré que des solutions existent au sens généralisé, mais la question de savoir si elles demeurent toujours régulières est devenue une énigme centrale. En 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné le problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes comme l’un des sept problèmes du prix du millénaire.

Notre système a produit une preuve analytique et une formalisation dans Lean montrant qu’un fluide initialement régulier et au repos peut engendrer une singularité en temps fini. Une force régulière est appliquée au fluide, dont l’énergie demeure finie pendant toute la dynamique, du repos jusqu’à la formation de la singularité. Cette solution résout le problème de Navier–Stokes du prix du millénaire en établissant l’énoncé « C » (ainsi que « D ») de la formulation officielle du prix du millénaire⁠(s'ouvre dans une nouvelle fenêtre).

La solution est un vortex, c’est-à-dire un tourbillon de fluide, qui décrit une spirale vers l’intérieur et s’allonge de plus en plus, comme un spaghetti. Cette région centrale rétrécit tout en accélérant de telle sorte que son énergie demeure finie, comme l’exigent les lois de la physique. La difficulté technique consiste à faire en sorte que les équations provoquent la défaillance par le mouvement même du fluide, plutôt que, par exemple, par l’ajout manuel d’une force infinie. En termes plus mathématiques, les termes des équations de Navier–Stokes qui décrivent le mouvement — accélération, gradients de pression, transfert de quantité de mouvement et viscosité — doivent à la fois devenir grands et s’annuler de façon précise. Cet équilibre fin laisse une force externe régulière, même lorsque la vitesse du fluide croît sans limite.

Depuis le 28 août, nous entraînons un nouveau modèle interne qui affiche des performances sans précédent dans nos évaluations, notamment en mathématiques. L’entraînement de ce modèle se poursuit, et ses performances continuent de s’améliorer.

Le mardi 1er septembre, nous avons entendu des rumeurs selon lesquelles deux problèmes du prix du millénaire avaient été résolus. Inspirés par ces rumeurs et par le bond de performance de notre modèle interne, nous avons entrepris de l’évaluer sur tous les problèmes du prix du millénaire encore ouverts ainsi que sur quelques autres problèmes à fort impact.

Nous avons utilisé un système d’agents coordonnés propulsés par notre modèle interne. Les agents avaient accès à des outils leur permettant notamment de consulter une version mise en cache d’Internet et d’exécuter du code. Les agents ont été répartis en groupes et pouvaient communiquer au sein de leur groupe. La taille des groupes variait, et celui qui a produit la résolution de Navier–Stokes comptait environ 10 000 agents simultanés. Nous avons en tout temps maintenu les mêmes mesures de protection rigoureuses que pour toutes nos évaluations de modèles de pointe, notamment la surveillance et l’isolement.

Pour chaque problème, nous avons présenté à différents groupes d’agents diverses variantes de son énoncé, afin d’en couvrir toutes les versions. Pour le problème de Navier–Stokes, nous avons proposé à des groupes d’agents distincts les versions « A » et « B » (des formes particulières du problème qui mèneraient à une preuve) ainsi que les versions « C » et « D » (qui mèneraient à une réfutation).

En plus des problèmes complets du prix du millénaire, nous avons demandé à notre système multiagent d’essayer de résoudre une série de problèmes « plus faciles ». L’un d’eux posait une question similaire d’explosion en temps fini pour la limite du problème de Navier–Stokes après retrait du terme de viscosité. Il s’agit du problème de régularité des équations d’Euler, et nos agents nous ont surpris en le résolvant. La variante précise qu’ils ont résolue était la version sans forçage, dans laquelle aucune force externe n’est appliquée au fluide. Près de 100 agents ont collaboré pendant environ 50 heures pour produire notre réfutation de la régularité d’Euler¹.

Après avoir vu la solution d’Euler, nous avons estimé que Navier–Stokes était le problème le plus prometteur sur lequel travailler. Nous avons donc décidé de consacrer nos ressources à Navier–Stokes. Pour ce faire, nous avons retiré des agents des autres problèmes du millénaire et leur avons fourni la résolution d’Euler. Lorsqu’une version de notre modèle interne ayant bénéficié d’un entraînement supplémentaire est devenue disponible au cours du projet, nous avons fait passer nos agents à ce modèle.

Nous avons encouragé différents groupes d’agents à explorer diverses approches. Après un certain temps, nous avons favorisé les échanges entre les groupes d’agents en utilisant Codex pour regrouper les idées les plus utiles de chacun. Ces requêtes de suivi s’appuyaient sur les résultats intermédiaires des agents eux-mêmes. Le groupe qui a trouvé la solution de Navier–Stokes a été guidé de cette façon.

Les agents sont parvenus à leur résolution le samedi 5 septembre, environ 88 heures après le lancement des premiers agents. La formalisation dans Lean et la vérification ont nécessité 17 heures supplémentaires au moyen de GPT‑6 Astra.

Pour l’ensemble des problèmes abordés, les agents ont envoyé 4,9 millions de messages et utilisé environ 300 milliards de jetons de sortie. Pour résoudre le problème de Navier–Stokes, les agents ont envoyé 2,7 millions de messages et utilisé environ 130 milliards de jetons de sortie.

Nos travaux ont commencé le 1er septembre après que nous avons entendu une rumeur dont nous avons compris plus tard qu’elle concernait Levent Alpöge, un employé d’Anthropic, et Tristan Buckmaster, professeur de mathématiques à NYU.² Après l’achèvement de notre projet complet et de la vérification dans Lean, le 6 septembre, nous les avons contactés, car la rumeur nous laissait croire qu’ils avaient également une solution de Navier–Stokes. Nous leur avons proposé de publier nos résultats simultanément et de reconnaître leur antériorité dans une annonce commune. Nous avons alors appris qu’ils avaient produit une résolution du problème d’Euler avec forçage à l’aide d’un modèle interne d’Anthropic. Au cours de ces discussions, nous leur avons offert l’accès à toutes les requêtes que nous avions utilisées, puis la possibilité de consulter la preuve. Nous reconnaissons l’antériorité de leurs travaux sur Euler avec forçage et les félicitons pour cette remarquable réalisation mathématique.

Nous (les chercheurs et les agents) n’avons pris connaissance d’aucune partie de leurs travaux, par quelque moyen que ce soit, avant leur publication. En particulier, aucune donnée utilisateur spécifique n’a été consultée pour résoudre ce problème.

À la suite d’une enquête, nous avons confirmé que les requêtes Codex de Buckmaster formulées au cours des deux mois précédant l’annonce et la publication de l’article, le 8 septembre 2026, n’avaient pu influencer le système d’aucune façon, y compris par l’entraînement. Le modèle interne d’OpenAI utilisé pour ce résultat a été développé par apprentissage par renforcement à grande échelle à partir d’un modèle préalablement préentraîné. Nos preuves diffèrent aussi considérablement. Dans le cas d’Euler, Alpöge et Buckmaster ont démontré un résultat avec forçage externe, tandis que le système d’OpenAI en a démontré un sans forçage externe.

En publiant ce résultat, nous souhaitons rendre compte des progrès considérables de nos modèles d’IA. Nous n’avons pas l’intention de réclamer le prix du millénaire pour ce résultat.

Ce jalon représente un travail considérable de la part de mathématiciens et de chercheurs en IA. Cependant, il ne s’agit pas d’un aboutissement, mais plutôt d’un instantané des progrès réalisés dans le développement de l’IA.

Nous croyons être maintenant entrés dans la prochaine phase des progrès de l’IA⁠, et les résultats d’aujourd’hui en fournissent une preuve supplémentaire. Nous nous efforçons de comprendre ce modèle et d’utiliser nos apprentissages pour orienter et rythmer la poursuite des avancées en matière de capacités. L’un de nos principaux objectifs⁠ est de créer des systèmes d’IA orientables, responsables et liés aux personnes. Cela pourrait exiger des choix plus réfléchis quant au rythme des progrès, alors que nous poursuivons notre mission visant à faire en sorte que l’AGI profite à toute l’humanité.