數學與理論計算機科學的十項進展

我們希望為科學家與數學家提供能加速發現的工具。因此，我們最近宣布推出「ChatGPT 學術研究人員版⁠」計畫，讓 10 萬名科學家與數學家免費使用我們最出色的 ChatGPT 模型。我們也持續在開發過程中，以尚未解決的研究問題評估模型。

今年 5 月，我們分享了由 AI 產生、針對 Erdős 單位距離猜想的否證⁠；該成果是在評估一款尚未發布的模型時發現的。這項工作也已啟發數學與理論計算機科學領域的後續研究¹。今天，我們將分享十項成果；每項成果都解決了一個長期懸而未決的問題，或在相關問題上取得重大進展。這些問題涵蓋高維幾何、編碼理論、算術電路複雜度、群論、算子代數、量子複雜度、格密碼學與極值組合學。所有這些問題都備受各自數學領域的關注，其中數項更受到整個數學界的廣泛重視。

我們針對以下問題提出了新成果。這些成果由我們下一款主要模型 Astra 的內部版本取得。以 Sol API 的費率計算，找出這些問題解答所需的 Token 總數，費用約為 2,000 美元。之後再由人員使用同一模型，將這些論證整理成論文。隨後，模型將每項論證形式化為一份 Lean 證明憑證⁠(在新視窗中開啟)。我們也會針對每項解答，發布由模型敘述的思考過程。

1. 高維球體填充。提出球體填充密度的新上界，一路推進至 Cohn–Elkies 閾值。
2. 二元碼與球面碼：針對任意指定的最小距離，二元碼最大規模的界限獲得指數級改善，高維球面碼也有類似成果。
3. 非 sofic 群。提出一項構造，確立非 sofic 群的存在，解答群論中的一項核心未解問題。
4. Connes 剛性猜想。否證一項長期猜想：某些群可由其 von Neumann 代數唯一決定。
5. 算術電路複雜度。針對使用算術電路與公式計算積和式提出新的下界，其中包括 n⁴/log n 階的算術公式下界。
6. 量子平行重複。針對一般雙人量子賽局，證明一項指數級平行重複定理，將古典複雜度理論的一項基礎原理推廣至量子領域。
7. 最近向量問題。證明最近向量問題具有多項式因子的近似困難度；這是與後量子密碼學相關的一項基礎格問題。
8. Ehrhart 體積猜想。在每個維度中，確定重心為唯一內部格點的凸體所能具有的最大體積。
9. 多色拉姆齊數。為多色三角形拉姆齊數建立超指數下界，解決 Erdős 問題 183。
10. 極值數猜想。在極值圖論的緊緻性與退化性猜想上取得成果，解決 Erdős 問題 146 與 180。

能夠為數學研究作出貢獻的系統已經出現，也帶來了無法僅由一家科技公司回答的問題。各界對 AI 在數學中應扮演的角色有許多不同看法；我們深切理解並尊重對 AI 影響有所疑慮的人士，包括《萊頓 AI 與數學宣言》⁠(在新視窗中開啟)的簽署者。我們認為，署名應如實反映成果的產生方式。若聲稱完全由 AI 系統產生的證明出自人類作者，不僅會錯誤呈現系統的貢獻，也會扭曲真正人類智識工作的本質。我們協助準備論文，並在 Lean 中將證明形式化，也對這些證明的正確性負責；但數學論證本身是由我們的系統產生。我們希望數學界能深入探討這些成果、釐清相關脈絡，並透過新的研究與發現，進一步發展成果背後的構想。

隨著 AI 系統逐漸成為更成熟的研究夥伴，確保各界都能廣泛使用這些系統至關重要，才能在這個變革時代，支持科學家與數學家探索並塑造各自學科的未來。