關於 Navier–Stokes 千禧年大獎難題

我們在此分享 Navier–Stokes 方程存在性與光滑性問題的解法，這是千禧年大獎難題之一。這份證明由 OpenAI 內部系統完成，顯示流體運動遵循 Navier-Stokes 方程時，可在有限時間內形成奇點。我們同時公開證明文稿及其 Lean 形式化版本。

千禧年大獎難題⁠(在新視窗中開啟)代表了前沿數學中一些最深奧的問題。光滑的三維流體運動是否可能失去光滑性，約 90 年來一直懸而未決。

我們的一大工作目標是協助科學家推進造福全人類的研究與技術。為解決 Navier–Stokes 問題，我們使用了一個能力遠高於 GPT‑6 Astra 的內部模型。我們認為，有必要讓世人瞭解 AI 的進展速度，以及即將推出的模型有哪些值得期待的能力。

Navier–Stokes 方程運用牛頓第二運動定律（「F=ma」）描述流體的運動方式。重要的是，這些方程將流體視為連續介質，而不會逐一追蹤分子。這些方程應用於飛機設計、天氣預報及血流研究。

對這些動力方程而言，一個懸而未決的根本問題是：流體的連續介質近似是否可能失效。具體而言，對於密度恆定的三維不可壓縮流體，即使運動起初是光滑的，Navier–Stokes 方程是否仍可能形成「奇點」？此處所謂奇點，是指在有限時間內，動力學導致流體速度無限增長。奇點若會形成，也必須是在黏性存在的情況下發生，而黏性通常會使運動趨於平滑。真實流體不可能以無限快的速度運動，因此這代表方程對流體的模型化方式失效。若要繼續為這個系統建模，就必須改為逐一追蹤每個粒子的行為。

這些方程源自 Claude-Louis Navier 與 George Gabriel Stokes 在十九世紀的研究。1934 年，Jean Leray 證明了廣義解的存在，但解是否始終保持光滑，後來成為一項核心的未解問題。2000 年，克雷數學研究所將 Navier–Stokes 方程存在性與光滑性問題列為七項千禧年大獎難題之一。

我們的系統提出了分析證明及 Lean 形式化版本，證明起初靜止且光滑的流體可在有限時間內形成奇點。流體受到一股光滑的力作用，而且從靜止到形成奇點的整段動力學過程中，其能量始終有限。此成果證明了千禧年大獎的官方問題陳述⁠(在新視窗中開啟)中命題「C」（以及「D」），因此解決 Navier–Stokes 千禧年大獎難題。

這個解是一道渦旋，也就是旋轉的流體漩渦；它向內盤旋並不斷拉長，如同義大利麵。這個核心區域一面縮小、一面加速，同時仍維持有限能量，符合物理定律的要求。技術上的難點，是要讓方程透過流體本身的運動而失效，而不是由我們人為加入無限大的力。更精確地說，Navier–Stokes 方程中描述運動的各項（加速度、壓力梯度、動量傳遞和黏性）既必須變得很大，又必須以精確方式彼此抵銷。即使流體速度無限增長，這種細緻的平衡仍會留下光滑的外力。

自 8 月 28 日起，我們一直在訓練新的內部模型；它在包括數學在內的基準測試中，展現了前所未有的表現。該模型仍在訓練中，效能也持續提升。

9 月 1 日星期二，我們聽聞兩項千禧年大獎難題已獲解決的傳聞。受到這些傳聞及內部模型效能躍升的啟發，我們展開一項計畫，要以所有尚未解決的千禧年大獎難題及其他幾項影響重大的問題來評估該模型。

我們使用由內部模型驅動、彼此協作的智慧體系統。這些智慧體可使用多種工具，例如讀取網際網路快取版本及執行程式碼。智慧體被分成多個群組，同一群組內可以互相溝通。各群組規模不一；提出 Navier–Stokes 解法的群組約有 10,000 個智慧體同時運作。我們全程維持評估所有前沿模型時採用的同等嚴格防護措施，包括監控與隔離。

針對每個問題，我們向不同智慧體群組提供不同版本的問題陳述，涵蓋該問題的所有變體。針對 Navier–Stokes 問題，我們分別向不同智慧體群組提出版本「A」與「B」（可導出正面證明的特定形式），以及版本「C」與「D」（可導出反例的形式）。

除了完整的千禧年大獎難題，我們也要求多智慧體系統嘗試一組「較容易」的問題。其中一題，是在移除 Navier–Stokes 問題的黏性項後，研究其極限是否會出現類似的爆破解。這稱為 Euler 方程的正則性問題，而我們的智慧體竟成功解決了它，令我們十分驚訝。它們解決的具體變體是無外力版本，也就是流體不受任何外力作用。近 100 個智慧體協作約 50 小時，完成了我們對 Euler 正則性問題的反例證明¹。

看到 Euler 問題的解法後，我們認為 Navier–Stokes 是最有希望攻克的問題。因此，我們決定將資源集中投入 Navier–Stokes。為此，我們將智慧體從其他千禧年大獎難題轉移過來，並向它們提供 Euler 問題的解法。在這項工作進行期間，內部模型經進一步訓練的新版本問世，我們便將智慧體更新至該模型。

我們鼓勵不同智慧體群組探索各式各樣的方法。一段時間後，我們利用 Codex 彙整各智慧體群組最有價值的洞見，促進不同群組間的知識交流。這些後續提示運用了智慧體自身得出的中間成果。找到 Navier–Stokes 解法的群組正是以這種方式獲得引導。

智慧體於 9 月 5 日星期六得出解法，距第一批智慧體啟動約 88 小時。之後再透過 GPT‑6 Astra 花費 17 小時完成 Lean 形式化與驗證。

在嘗試解決所有問題的過程中，智慧體共傳送 490 萬則訊息，並使用約 3,000 億個輸出 Token。在解決 Navier–Stokes 問題的過程中，智慧體傳送了 270 萬則訊息，並使用約 1,300 億個輸出 Token。

我們的工作始於 9 月 1 日，起因是聽到一則傳聞；後來我們才知道，這則傳聞與 Anthropic 員工 Levent Alpöge 及 NYU 數學教授 Tristan Buckmaster 有關。² 9 月 6 日，我們完成整個專案及 Lean 驗證後，根據傳聞認為他們也找到了 Navier–Stokes 問題的解法，因此主動聯絡，提議同步發布成果，並在聯合公告中承認他們的優先權。這時我們才得知，他們利用 Anthropic 的內部模型，解決了有外力 Euler 問題。討論期間，我們提出讓他們查閱我們使用的所有提示，之後也提出讓他們查看證明。我們承認他們在有外力 Euler 問題上的研究優先權，並祝賀他們取得卓越的數學成就。

在他們公開發布成果以前，我們（研究人員與智慧體）未曾透過任何管道接觸其研究；尤其是，我們並未為解決此問題而存取任何特定使用者資料。

本公告及論文於 2026 年 9 月 8 日發布。經調查，我們確認 Buckmaster 在發布前兩個月內向 Codex 輸入的提示不可能以任何方式影響系統，包括透過訓練產生影響。產出此成果的 OpenAI 內部模型以先前預訓練的模型為基礎，透過大規模強化學習開發而成。雙方的證明也有顯著差異。就 Euler 問題而言，Alpöge 與 Buckmaster 證明了有外力的結果，而 OpenAI 系統證明的則是無外力結果。

我們發布這項成果，是為了說明 AI 模型取得的重大進展。我們無意憑此成果申領千禧年大獎。

這項里程碑凝聚了數學家與 AI 研究人員的大量心血。然而，這並非終點，而只是 AI 發展進程中某個時刻的縮影。

我們相信，AI 的進展如今已邁入下一個階段⁠，而今天的成果進一步印證了這一點。我們正專注於理解這個模型，並運用所學，引導後續能力進展的方向與步調。我們的主要目標⁠之一，是打造可引導、可問責且與人們緊密連結的 AI 系統。隨著我們繼續履行確保 AGI 造福全人類的使命，這或許需要我們更審慎地決定進展步調。