16 tháng 4, 2025

Giới thiệu OpenAI o3 và o4-mini

Các mô hình thông minh nhất, mạnh mẽ nhất của chúng tôi cho đến nay với quyền truy cập công cụ đầy đủ

Đang tải…

Cập nhật vào ngày 10 tháng 6 năm 2025: OpenAI o3‑pro hiện đã ra mắt cho người dùng Pro trong ChatGPT cũng như trong API của chúng tôi. Giống như OpenAI o1‑pro, o3‑pro là phiên bản mô hình thông minh nhất của chúng tôi, OpenAI o3 được thiết kế để suy nghĩ lâu hơn và cung cấp phản hồi đáng tin cậy nhất. Có thể tìm thông tin chi tiết đầy đủ trong ghi chú phát hành⁠(mở trong cửa sổ mới) của chúng tôi.

Hôm nay chúng tôi phát hành OpenAI o3 và o4-mini, phiên bản mới nhất trong serie mô hình o của chúng tôi, được huấn luyện để suy nghĩ lâu hơn trước khi phản hồi. Đây là những mô hình thông minh nhất mà chúng tôi đã phát hành cho đến nay, thể hiện những bước thay đổi đột phá về khả năng của ChatGPT dành cho mọi người, từ những người dùng thích khám phá đến các nhà nghiên cứu chuyên sâu. Đây là lần đầu tiên các mô hình lý luận của chúng tôi có thể sử dụng và kết hợp mọi công cụ trong ChatGPT—bao gồm tìm kiếm trên web, phân tích các tệp đã tải lên và dữ liệu khác bằng Python, suy luận chuyên sâu về các thông tin đầu vào trực quan và thậm chí tạo ra hình ảnh. Điều quan trọng là các mô hình này được huấn luyện để suy luận thời điểm và cách sử dụng các công cụ để đưa ra câu trả lời chi tiết và chuyên sâu theo đúng định dạng đầu ra, thường là trong vòng chưa đầy một phút, để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn. Điều này cho phép các mô hình giải quyết các câu hỏi đa chiều hiệu quả hơn, tiên thêm một bước tới một ChatGPT theo hướng tác tử hơn, có thể thực hiện các nhiệm vụ độc lập thay cho bạn. Sức mạnh kết hợp của suy luận tiên tiến với khả năng truy cập công cụ đầy đủ mang lại hiệu suất mạnh hơn đáng kể trong các tiêu chuẩn học thuật và nhiệm vụ thực tế, thiết lập một tiêu chuẩn mới về cả trí thông minh và mức độ hữu ích.

Có gì khác

OpenAI o3 là mô hình lý luận mạnh mẽ nhất của chúng tôi, giúp mở rộng ranh giới trong các lĩnh vực lập trình, toán học, khoa học, nhận thức thị giác và nhiều lĩnh vực khác. Phiên bản này thiết lập một SOTA mới về chuẩn mực bao gồm Codeforces, SWE-bench (mà không cần xây dựng một khung mô hình tùy chỉnh cụ thể) và MMMU. Phương pháp này lý tưởng cho các truy vấn phức tạp đòi hỏi phải phân tích nhiều mặt và có thể không có câu trả lời rõ ràng ngay lập tức. Nó hoạt động đặc biệt hiệu quả trong các tác vụ trực quan như phân tích hình ảnh, biểu đồ và đồ họa. Trong các đánh giá của các chuyên gia bên ngoài, o3 mắc lỗi nghiêm trọng ít hơn 20 phần trăm so với OpenAI o1 trong các nhiệm vụ khó trong thực tế, đặc biệt là xuất sắc trong các lĩnh vực như lập trình, kinh doanh/tư vấn và ý tưởng sáng tạo. Những người thử nghiệm ban đầu đã nhấn mạnh tính chặt chẽ trong phân tích như một đối tác tư duy và khả năng tạo ra và đánh giá một cách phê phán các giả thuyết mới, đặc biệt là trong bối cảnh sinh học, toán học và kỹ thuật.

OpenAI o4-mini là một mô hình nhỏ hơn được tối ưu hóa để suy luận nhanh chóng, tiết kiệm chi phí—đạt hiệu suất đáng kể so với kích thước và chi phí, đặc biệt là trong các tác vụ toán học, lập trình và trực quan. Đây là mô hình chuẩn có hiệu suất tốt nhất trên AIME 2024 và 2025. Mặc dù việc sử dụng máy tính giúp giảm đáng kể độ khó của kiểm tra AIME, chúng tôi cũng thấy đáng chú ý là o4-mini đạt điểm 99,5% pass@1 (100% consensus@8) trong kiểm tra AIME 2025 khi được sử dụng trình biên dịch Python. Mặc dù những kết quả này không nên được so sánh với hiệu suất của các mô hình không có quyền truy cập công cụ, nhưng đó là một ví dụ về cách o4-mini tận dụng hiệu quả các công cụ có sẵn; o3 cho thấy những cải thiện tương tự trên AIME 2025 từ việc sử dụng công cụ (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

Theo đánh giá của chuyên gia, o4-mini cũng vượt trội hơn phiên bản tiền nhiệm o3‑mini về các tác vụ không thuộc STEM cũng như các lĩnh vực như khoa học dữ liệu. Nhờ hiệu quả của mình, o4-mini hỗ trợ giới hạn sử dụng cao hơn đáng kể so với o3, trở thành lựa chọn mạnh mẽ với khối lượng lớn, thông lượng cao cho các câu hỏi cần suy luận. Các chuyên gia đánh giá bên ngoài đánh giá cả hai mô hình đều cho thấy khả năng tuân thủ hướng dẫn tốt hơn và phản hồi hữu ích, có thể xác minh được nhiều hơn so với các mô hình trước đó, nhờ vào trí thông minh được cải thiện và việc trích dẫn các nguồn trên web. So với các phiên bản trước của mô hình lý luận, hai mô hình này cũng sẽ mang lại cảm giác tự nhiên và giống hội thoại hơn, đặc biệt là khi chúng tham chiếu đến trí nhớ và các cuộc trò chuyện trước đây để làm cho phản hồi mang tính cá nhân hóa và phù hợp hơn.

Đa phương thức

Lập trình

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Thực hiện hướng dẫn và sử dụng công cụ tác nhân

Tất cả các mô hình đều được đánh giá ở cài đặt ‘nỗ lực suy luận’ cao—tương tự như các phiên bản ‘o4-mini-high’ trong ChatGPT.

Tiếp tục mở rộng quy mô học củng cố

Trong suốt quá trình phát triển OpenAI o3, chúng tôi đã quan sát thấy rằng việc học củng cố quy mô lớn thể hiện cùng xu hướng "tính toán nhiều hơn = hiệu suất tốt hơn" được quan sát thấy trong quá trình huấn luyện trước của các serie GPT. Bằng cách theo dõi lại đường dẫn mở rộng quy mô—lần này là trong RL—chúng tôi đã đẩy thêm một cấp độ lớn nữa trong cả tính toán huấn luyện và lý luận thời gian suy luận, nhưng vẫn thấy được mức tăng hiệu suất rõ ràng, xác thực rằng hiệu suất của các mô hình tiếp tục được cải thiện khi chúng được phép suy nghĩ nhiều hơn. Với độ trễ và chi phí tương đương với OpenAI o1, o3 mang lại hiệu suất cao hơn trong ChatGPT—và chúng tôi đã xác thực rằng nếu chúng tôi để mô hình suy nghĩ lâu hơn, hiệu suất của mô hình sẽ tiếp tục tăng.

Chúng tôi cũng đào tạo cả hai mô hình để sử dụng các công cụ thông qua phương pháp học củng cố — dạy chúng không chỉ cách sử dụng công cụ mà còn cách suy luận về thời điểm sử dụng. Khả năng triển khai các công cụ dựa trên kết quả mong muốn giúp nâng cao năng lực của chúng trong các tình huống mở, đặc biệt là những tình huống liên quan đến suy luận trực quan và quy trình làm việc nhiều bước. Sự cải thiện này được phản ánh trong cả các tiêu chuẩn học thuật và các tác vụ thực tế, theo báo cáo của những người thử nghiệm ban đầu.

Suy nghĩ bằng hình ảnh

Lần đầu tiên, các mô hình này có thể tích hợp hình ảnh trực tiếp vào chuỗi tư duy của mình. Chúng không chỉ nhìn thấy hình ảnh mà còn suy nghĩ bằng hình ảnh đó. Điều này mở ra một phương pháp giải quyết vấn đề mới kết hợp giữa suy luận trực quan và suy luận văn bản, thể hiện ở hiệu suất tiên tiến của chúng trên các tiêu chuẩn đa phương thức.

Người dùng có thể tải lên ảnh chụp bảng trắng, sơ đồ sách giáo khoa hoặc bản phác thảo vẽ tay và mô hình có thể diễn giải những hình ảnh này, ngay cả khi hình ảnh bị mờ, bị đảo ngược hoặc chất lượng thấp. Bằng cách sử dụng công cụ, các mô hình có thể thao tác hình ảnh một cách nhanh chóng—xoay, phóng to hoặc biến đổi hình ảnh trong quá trình suy luận.

Các mô hình này mang lại độ chính xác tốt nhất trong các tác vụ nhận thức thị giác, cho phép giải quyết những câu hỏi mà trước đây nằm ngoài khả năng. Hãy xem blog nghiên cứu về suy luận trực quan⁠ để tìm hiểu thêm.

Hướng tới việc sử dụng công cụ tác nhân

OpenAI o3 và o4-mini có quyền truy cập đầy đủ vào các công cụ trong ChatGPT cũng như các công cụ tùy chỉnh của riêng bạn thông qua lệnh gọi hàm trong API. Các mô hình này được đào tạo để suy luận cách giải quyết vấn đề, lựa chọn thời điểm và cách sử dụng các công cụ để đưa ra câu trả lời chi tiết và sâu sắc ở đúng định dạng đầu ra một cách nhanh chóng—thường là trong vòng chưa đầy một phút.

Ví dụ, người dùng có thể hỏi: “Mức sử dụng năng lượng vào mùa hè ở California sẽ như thế nào so với năm ngoái?” Mô hình có thể tìm kiếm dữ liệu tiện ích công cộng trên web, viết mã Python để xây dựng dự báo, tạo biểu đồ hoặc hình ảnh và giải thích các yếu tố chính đằng sau dự đoán, kết nối nhiều lệnh gọi công cụ với nhau. Suy luận cho phép các mô hình phản ứng và xoay chuyển khi cần thiết đối với thông tin nhận được. Ví dụ, chúng có thể tìm kiếm trên web nhiều lần với sự trợ giúp của các công cụ tìm kiếm, xem kết quả và thử các tìm kiếm mới nếu chúng cần thêm thông tin.

Cách tiếp cận linh hoạt và chiến lược này cho phép các mô hình giải quyết các tác vụ đòi hỏi phải truy cập thông tin mới nhất, ngoài kiến thức tích hợp của mô hình, suy luận mở rộng, tổng hợp và tạo đầu ra trên nhiều phương thức.

Tất cả các ví dụ đều được hoàn thành bằng OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Suy luận về việc xây dựng đa thức trong 55 giây

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Đã suy nghĩ trong 1 phút 19 giây

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 nhận được phản hồi chính xác mà không cần sử dụng tìm kiếm, trong khi o1 không đưa ra phản hồi chính xác.

Nâng cao suy luận tiết kiệm chi phí

Chi phí so với hiệu suất: o3‑mini và o4-mini

Đánh giá GPQA của OpenAI o3-mini và o4-mini

Chi phí so với hiệu suất: o1 và o3

OpenAI o3 và o4-mini là những mô hình thông minh nhất mà chúng tôi từng cho ra mắt và chúng cũng thường hiệu quả hơn so với những phiên bản trước đó là OpenAI o1 và o3‑mini. Ví dụ, trong cuộc thi toán AIME năm 2025, ranh giới chi phí-hiệu suất của o3 được cải thiện đáng kể so với o1 và tương tự, ranh giới của o4-mini được cải thiện đáng kể so với o3‑mini. Nói chung, chúng tôi kỳ vọng rằng đối với hầu hết nhu cầu sử dụng thực tế, o3 và o4-mini sẽ thông minh hơn và rẻ hơn so với o1 và o3‑mini.

An toàn

Mỗi cải tiến về khả năng của mô hình đều đảm bảo những cải tiến tương ứng về mặt an toàn. Đối với OpenAI o3 và o4-mini, chúng tôi đã xây dựng lại hoàn toàn dữ liệu huấn luyện an toàn, thêm lời nhắc từ chối mới vào các lĩnh vực như đe dọa sinh học (rủi ro sinh học), tạo phần mềm độc hại và bẻ khóa. Dữ liệu được làm mới này đã giúp o3 và o4-mini đạt được hiệu suất cao trong các đánh giá từ chối nội bộ của chúng tôi (ví dụ: hệ thống phân cấp hướng dẫn⁠⁠, bẻ khóa). Ngoài hiệu suất mạnh mẽ cho các mô hình từ chối, chúng tôi cũng đã phát triển các biện pháp giảm thiểu cấp hệ thống để đánh dấu những lời nhắc nguy hiểm trong các khía cạnh rủi ro ranh giới. Tương tự như công việc trước đây của chúng tôi trong việc tạo sinh hình ảnh⁠, chúng tôi đã huấn luyện một công cụ giám sát LLM suy luận hoạt động dựa trên đặc tả an toàn có thể diễn giải và do con người viết ra. Khi áp dụng vào rủi ro sinh học, công cụ giám sát này đã đánh dấu thành công khoảng 99% các cuộc hội thoại trong chiến dịch mô phỏng tấn công của chúng tôi.

Chúng tôi đã thử nghiệm cả hai mô hình bằng chương trình an toàn nghiêm ngặt nhất từ trước đến nay. Theo Khung Sẵn sàng⁠ cập nhật của chúng tôi⁠, chúng tôi đã đánh giá o3 và o4-mini trên ba lĩnh vực năng lực được theo dõi trong Khung: sinh học và hóa học, an ninh mạng và tự cải thiện của AI. Dựa trên kết quả của những đánh giá này, chúng tôi đã nhận định rằng cả o3 và o4‑mini đều nằm dưới ngưỡng "Cao" của Khung trong cả ba hạng mục. Chúng tôi đã công bố kết quả chi tiết từ những đánh giá này trong thẻ thông tin hệ thống⁠ đi kèm⁠.

Codex CLI: suy luận ranh giới trong thiết bị đầu cuối

Chúng tôi cũng chia sẻ một thử nghiệm mới: Codex CLI, một tác nhân mã hóa rút gọn mà bạn có thể chạy từ thiết bị đầu cuối của mình. Tác nhân này hoạt động trực tiếp trên máy tính của bạn và được thiết kế để tối đa hóa khả năng suy luận của các mô hình như o3 và o4-mini, và sắp tới là hỗ trợ cho các mô hình API bổ sung như GPT‑4.1⁠⁠.

Bạn có thể tận dụng lợi ích của suy luận đa phương thức từ dòng lệnh bằng cách chuyển ảnh chụp màn hình hoặc bản phác thảo có độ trung thực thấp tới mô hình, kết hợp với quyền truy cập vào mã cục bộ của bạn. Chúng tôi coi đó như một giao diện tối thiểu để kết nối các mô hình của chúng tôi với người dùng và máy tính của họ. Codex CLI hiện đã hoàn toàn là mã nguồn mở tại github.com/openai/codex⁠⁠(mở trong cửa sổ mới).

Bên cạnh đó, chúng tôi đang triển khai sáng kiến trị giá 1 triệu đô để hỗ trợ các dự án sử dụng mô hình Codex CLI và OpenAI. Chúng tôi sẽ đánh giá và chấp nhận các đơn xin tài trợ theo từng đợt $25.000 USD dưới hình thức tín dụng API. Đề xuất có thể được gửi tại đây.

Truy cập

Người dùng ChatGPT Plus, Pro và Team sẽ thấy o3, o4-mini và o4-mini-high trong trình chọn mô hình bắt đầu từ hôm nay, thay thế cho o1, o3‑mini và o3‑mini‑high. Người dùng ChatGPT Enterprise và Edu sẽ có quyền truy cập sau một tuần. Người dùng miễn phí có thể dùng thử o4-mini bằng cách chọn 'Think' trong trình soạn thảo trước khi gửi truy vấn. Mức phí của tất cả các gói vẫn không thay đổi so với các mô hình trước đó.

Chúng tôi dự kiến sẽ phát hành OpenAI o3‑pro trong vài tuần tới với công cụ hỗ trợ đầy đủ. Hiện tại, người dùng Pro vẫn có thể truy cập o1‑pro.

Cả o3 và o4-mini hiện nay cũng có sẵn cho các nhà phát triển thông qua API Hoàn thiện hội thoại và API Phản hồi (một số nhà phát triển sẽ cần xác minh tổ chức của họ⁠⁠(mở trong cửa sổ mới) để truy cập các mô hình này). API Phản hồi hỗ trợ tóm tắt suy luận, khả năng bảo toàn token suy luận xung quanh các lệnh gọi hàm để có hiệu suất tốt hơn và sẽ sớm hỗ trợ các công cụ tích hợp như tìm kiếm web, tìm kiếm tệp và trình thông dịch mã trong suy luận của mô hình. Để bắt đầu, hãy khám phá tài liệu⁠(mở trong cửa sổ mới) của chúng tôi và theo dõi để biết thêm thông tin cập nhật.

Kế hoạch tiếp theo

Các bản cập nhật hiện tại phản ánh hướng đi của các mô hình của chúng tôi: chúng tôi đang hội tụ các khả năng suy luận chuyên biệt của serie o với nhiều khả năng trò chuyện tự nhiên hơn và khả năng sử dụng công cụ của các serie GPT. Bằng cách kết hợp những thế mạnh này, các mô hình tương lai của chúng tôi sẽ hỗ trợ các cuộc trò chuyện liền mạch, tự nhiên cùng với khả năng sử dụng công cụ chủ động và giải quyết vấn đề nâng cao.

Cập nhật ngày 16 tháng 4: kết quả của o3 trên Charxiv-r và Mathvista đã được cập nhật để phản ánh một thay đổi về lời nhắc hệ thống không có trong đánh giá ban đầu.

Xem lại buổi phát trực tiếp

Tác giả

OpenAI

Ghi chú cuối trang

* Các số liệu đánh giá tau-bench được tính trung bình qua 5 lần chạy để giảm độ sai lệch và chạy mà không cần bất kỳ công cụ tùy chỉnh hoặc lời nhắc nào. Chúng tôi thấy rằng việc triển khai bán lẻ theo mô hình tau-bench dễ xảy ra lỗi mô hình người dùng hơn. Các số cho thanh tô bóng sử dụng GPT-4.1 làm mô hình người dùng vì mô hình này thực hiện theo hướng dẫn tốt hơn đáng kể so với GPT-4o.

* SWE-bench sử dụng độ dài ngữ cảnh tối đa 256k, giúp cải thiện tốc độ giải quyết cho o4-mini khoảng 3% và tác động đến tốc độ giải quyết của o3 <1%. Chúng tôi cũng loại trừ 23 mẫu không thể chạy trên cơ sở hạ tầng nội bộ của chúng tôi.

** Khi bật tính năng duyệt, đôi khi mô hình có thể tìm thấy câu trả lời chính xác trực tuyến, ví dụ, bằng cách đọc các bài đăng trên blog có các vấn đề mẫu từ một tập dữ liệu. Chúng tôi giảm thiểu mối lo ngại về gian lận mô hình khi duyệt bằng hai chiến lược:

Chặn các tên miền mà chúng tôi đã từng phát hiện có hành vi gian lận.
Sử dụng mô hình lý luận như một công cụ giám sát để kiểm tra tất cả các token trong mỗi lần thử, nhằm xác định hành vi đáng ngờ. Hành vi đáng ngờ được định nghĩa là "một trang, tệp hoặc đoạn thông tin có mục đích chính là cung cấp câu trả lời chính xác cho câu hỏi cụ thể này—ví dụ: tiêu chí chấm điểm chính thức, rò rỉ tóm tắt "giải pháp" hoặc thảo luận trích dẫn nguyên văn câu trả lời đã hoàn thành". Hành vi vô hại được định nghĩa là "Một nguồn tài liệu đáng tin cậy mà một người cẩn trọng có thể tham khảo (tài liệu, hướng dẫn, bài báo khoa học, bài viết có uy tín) ngay cả khi tài liệu này vô tình chứa câu trả lời đúng". Tất cả những lần thử mà công cụ giám sát cho là đáng ngờ đều được tính là không chính xác. Hầu hết các mẫu không vượt qua được kiểm tra này đều là những vấn đề có cách giải quyết chính xác có sẵn trên nhiều nguồn internet không liên quan đến HLE.

Cuối cùng, đánh giá của chúng tôi về tính năng duyệt web có thể không hoàn toàn chính xác trong OpenAI API do sự khác biệt về nền tảng công cụ tìm kiếm giữa ChatGPT và OpenAI API. Những kết quả này nhằm mục đích đại diện cho trải nghiệm của người dùng ChatGPT, nhưng tùy thuộc vào nhu cầu, cấu hình tìm kiếm có thể thay đổi theo thời gian.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang