Għaxar avvanzi fil-matematika u x-xjenza teoretika tal-kompjuter

Irridu nagħtu lix-xjenzati u lill-matematiċi għodod li jħaffu l-iskoperti. Għalhekk dan l-aħħar ħabbarna ChatGPT għar-Riċerkaturi Akkademiċi⁠, inizjattiva li tagħti lil 100,000 xjenzat u matematiku aċċess bla ħlas għall-aqwa mudelli ChatGPT tagħna. Matul l-iżvilupp, inkomplu wkoll nevalwaw il-mudelli tagħna fuq problemi ta’ riċerka miftuħa.

F’Mejju, qsamna konfutazzjoni ġġenerata mill-IA⁠ tal-konġettura ta’ Erdős dwar id-distanza unitarja, li ġiet skoperta waqt l-evalwazzjoni ta’ mudell li kien għadu ma ħariġx. Dan ix-xogħol diġà ispira aktar żviluppi fil-matematika u fix-xjenza teoretika tal-kompjuter¹. Illum qed naqsmu għażla ta’ għaxar riżultati, li kull wieħed minnhom isolvi problema miftuħa li ilha teżisti jew jagħmel progress sostanzjali fiha. Dawn il-problemi jkopru l-ġeometrija f’dimensjonijiet għoljin, it-teorija tal-kodiċijiet, il-komplessità taċ-ċirkwiti aritmetiċi, it-teorija tal-gruppi, l-alġebri tal-operaturi, il-komplessità kwantistika, il-kriptografija tal-kannizzati u l-kombinatorika estremali. Dawn il-problemi kollha huma ta’ interess sostanzjali għall-komunitajiet matematiċi rispettivi tagħhom, u diversi minnhom huma ta’ interess wiesa’ għall-matematika kollha.

Qed nippreżentaw riżultati ġodda għall-problemi li ġejjin. Ir-riżultati nkisbu permezz ta’ verżjoni interna ta’ Astra, il-mudell ewlieni li jmiss tagħna. L-għadd totali ta’ tokens meħtieġa biex jinstabu soluzzjonijiet għal dawn il-problemi kien jiswa madwar $2,000 bir-rati tal-API ta’ Sol. Imbagħad, persuni ħejjew dawn l-argumenti bħala manuskritti bl-użu tal-istess mudell. Wara, il-mudell ifformalizza kull argument f’ċertifikat Lean⁠(jinfetaħ f’tieqa ġdida). Għal kull soluzzjoni qed nippubblikaw ukoll ir-rakkont tal-mudell dwar il-proċess ta’ ħsieb tiegħu.

1. Ippakkjar ta’ sferi f’dimensjonijiet għoljin. Limiti superjuri ġodda għad-densità tal-ippakkjar ta’ sferi, sal-limitu ta’ Cohn–Elkies.
2. Kodiċijiet binarji u sferiċi. Limiti mtejba b’mod esponenzjali għad-daqs massimu ta’ kodiċijiet binarji fi kwalunkwe distanza minima speċifikata, b’riżultati analogi għal kodiċijiet sferiċi f’dimensjonijiet għoljin.
3. Gruppi mhux sofiċi. Kostruzzjoni li tistabbilixxi l-eżistenza ta’ gruppi mhux sofiċi u tindirizza kwistjoni miftuħa ċentrali fit-teorija tal-gruppi.
4. Il-konġettura tar-riġidità ta’ Connes. Konfutazzjoni ta’ konġettura antika li ċerti gruppi huma ddeterminati unikament mill-alġebri ta’ von Neumann tagħhom.
5. Il-komplessità taċ-ċirkwiti aritmetiċi. Limiti inferjuri ġodda għall-kalkolu tal-permanenti permezz ta’ ċirkwiti u formuli aritmetiċi, inkluż limitu inferjuri ta’ ordni n⁴/log n għal formula aritmetika.
6. Ripetizzjoni parallela kwantistika. Teorema ta’ ripetizzjoni parallela esponenzjali għal logħob kwantistiku ġenerali bejn żewġ plejers, li testendi prinċipju fundamentali mit-teorija klassika tal-komplessità.
7. Il-problema tal-eqreb vettur. Diffikultà ta’ approssimazzjoni b’fattur polinomjali għall-problema tal-eqreb vettur, kwistjoni fundamentali dwar il-kannizzati marbuta mal-kriptografija postkwantistika.
8. Il-konġettura ta’ Ehrhart dwar il-volum. Id-determinazzjoni, f’kull dimensjoni, tal-akbar volum possibbli ta’ korp konvess li ċ-ċentrujde tiegħu jkun l-uniku punt intern tal-kannizzata.
9. Numri Ramsey b’diversi kuluri. Limitu inferjuri superesponenzjali għan-numri Ramsey ta’ triangoli b’diversi kuluri, li jsolvi l-problema 183 ta’ Erdős.
10. Konġetturi dwar numri estremali. Riżultati dwar il-konġetturi tal-kumpattezza u tad-deġenerazzjoni fit-teorija estremali tal-graffs, li jsolvu l-problemi 146 u 180 ta’ Erdős.

L-emerġenza ta’ sistemi li kapaċi jikkontribwixxu għar-riċerka matematika tqajjem mistoqsijiet li kumpanija tat-teknoloġija ma tistax twieġeb waħedha. Hemm ħafna fehmiet dwar ir-rwol tal-IA fil-matematika, u nirrispettaw u nifhmu profondament lil dawk imħassba dwar l-impatt tagħha, inklużi l-firmatarji tad-Dikjarazzjoni ta’ Leiden dwar l-IA u l-Matematika⁠(jinfetaħ f’tieqa ġdida). Aħna nemmnu li l-attribuzzjoni għandha tirrifletti b’mod onest kif inkiseb riżultat: jekk prova ġġenerata għalkollox minn sistema tal-IA tiġi attribwita lil awturi umani, dan jagħti stampa falza kemm tal-kontribut tas-sistema kif ukoll tan-natura tax-xogħol intellettwali ġenwinament uman. Aħna għenna fit-tħejjija tal-manuskritti u fil-formalizzazzjoni tal-provi f’Lean, u nassumu r-responsabbiltà għall-korrettezza tagħhom, filwaqt li l-argumenti matematiċi nfushom ġew iġġenerati mis-sistema tagħna. Nittamaw li l-komunità matematika teżamina dawn ir-riżultati fil-fond, tqegħedhom fil-kuntest u tagħti l-ħajja lill-ideat warajhom permezz ta’ riċerka u skoperti ġodda.

Hekk kif is-sistemi tal-IA jevolvu f’kollaboraturi tar-riċerka aktar sofistikati, aċċess mifrux huwa essenzjali biex ix-xjenzati u l-matematiċi jingħataw appoġġ huma u jsawru l-futur tad-dixxiplini tagħhom f’din l-era trasformattiva.