Sepuluh kemajuan dalam matematik dan sains komputer teori

Kami mahu memperkasa saintis dan ahli matematik dengan alat yang mempercepat penemuan. Itulah sebabnya kami baru-baru ini mengumumkan ChatGPT untuk Penyelidik Akademik⁠, sebuah inisiatif yang memberikan 100,000 saintis dan ahli matematik akses percuma kepada model ChatGPT terbaik kami. Kami juga terus menilai model kami berdasarkan masalah penyelidikan terbuka semasa pembangunan.

Pada bulan Mei, kami berkongsi bukti penyangkal yang dijana AI⁠ bagi konjektur jarak unit Erdős, yang ditemukan semasa menilai model yang belum dilancarkan. Usaha ini telah pun mencetuskan perkembangan lanjut dalam matematik dan sains komputer teori¹. Hari ini, kami berkongsi sepuluh hasil terpilih yang masing-masing menyelesaikan atau mencapai kemajuan besar terhadap masalah terbuka yang telah lama wujud. Masalah ini merangkumi geometri berdimensi tinggi, teori pengekodan, kekompleksan litar aritmetik, teori kumpulan, algebra operator, kekompleksan kuantum, kriptografi kekisi dan kombinatorik ekstrem. Semua masalah ini amat penting kepada komuniti matematik masing-masing, malah beberapa daripadanya penting secara meluas kepada bidang matematik secara keseluruhan.

Kami membentangkan hasil baharu bagi masalah berikut. Hasil ini dicapai oleh versi dalaman Astra, model utama kami yang seterusnya. Jumlah token yang diperlukan untuk menemukan penyelesaian bagi masalah ini dianggarkan menelan kos sekitar $2,000 pada kadar API Sol. Hujah ini kemudiannya disediakan sebagai manuskrip oleh manusia dengan menggunakan model yang sama. Selepas itu, model tersebut memformalkan setiap hujah dalam bentuk sijil Lean⁠(dibuka dalam tetingkap baru). Kami turut menerbitkan huraian model tentang proses pemikirannya bagi setiap penyelesaian.

1. Pembungkusan sfera berdimensi tinggi. Batas atas baharu bagi ketumpatan pembungkusan sfera sehingga ambang Cohn–Elkies.
2. Kod binari dan sfera: Batas yang ditambah baik secara eksponen bagi saiz maksimum kod binari pada sebarang jarak minimum yang ditetapkan, dengan hasil sepadan bagi kod sfera berdimensi tinggi.
3. Kumpulan bukan sofic. Suatu pembinaan yang membuktikan kewujudan kumpulan bukan sofic, sekali gus menangani persoalan terbuka utama dalam teori kumpulan.
4. Konjektur ketegaran Connes. Bukti penyangkal bagi konjektur lama bahawa kumpulan tertentu ditentukan secara unik oleh algebra von Neumann masing-masing.
5. Kekompleksan litar aritmetik. Batas bawah baharu untuk mengira permanen menggunakan litar dan formula aritmetik, termasuk batas bawah formula aritmetik pada peringkat n⁴/log n.
6. Pengulangan selari kuantum. Teorem pengulangan selari eksponen bagi permainan kuantum dua pemain yang umum, memperluas prinsip asas daripada teori kekompleksan klasik.
7. Masalah vektor terdekat. Kesukaran penghampiran berfaktor polinomial bagi masalah vektor terdekat, iaitu persoalan asas kekisi yang berkaitan dengan kriptografi pascakuantum.
8. Konjektur isi padu Ehrhart. Menentukan, dalam setiap dimensi, isi padu maksimum yang mungkin bagi jasad cembung dengan sentroid sebagai satu-satunya titik kekisi dalamannya.
9. Nombor Ramsey berbilang warna. Batas bawah supereksponen bagi nombor Ramsey segi tiga berbilang warna, yang menyelesaikan masalah Erdős 183.
10. Konjektur nombor ekstrem. Hasil mengenai konjektur kekompakan dan kemerosotan dalam teori graf ekstrem, yang menyelesaikan masalah Erdős 146 dan 180.

Kemunculan sistem yang mampu menyumbang kepada penyelidikan matematik menimbulkan persoalan yang tidak dapat dijawab oleh sebuah syarikat teknologi sahaja. Terdapat pelbagai pandangan tentang peranan AI dalam matematik, dan kami amat menghormati serta memahami mereka yang bimbang akan kesannya, termasuk para penandatangan Deklarasi Leiden tentang AI dan Matematik⁠(dibuka dalam tetingkap baru). Kami percaya pengiktirafan harus mencerminkan dengan jujur cara sesuatu hasil diperoleh: mendakwa manusia sebagai pengarang bukti yang dijana sepenuhnya oleh sistem AI akan memberikan gambaran yang salah tentang sumbangan sistem tersebut dan sifat sebenar kerja intelektual manusia. Kami membantu menyediakan manuskrip dan memformalkan bukti dalam Lean serta bertanggungjawab atas ketepatannya, manakala hujah matematik itu sendiri dijana oleh sistem kami. Kami berharap komuniti matematik akan meneliti hasil ini secara mendalam, meletakkannya dalam konteks dan mengembangkan idea di sebaliknya melalui penyelidikan serta penemuan baharu.

Ketika sistem AI berkembang menjadi rakan penyelidikan yang semakin canggih, akses meluas amat penting untuk menyokong saintis dan ahli matematik dalam mengemudi serta menentukan masa depan bidang mereka pada era transformatif ini.