16 April 2025

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Memuat…

Kemas kini pada 10 Jun 2025: OpenAI o3‑pro kini tersedia untuk pengguna Pro dalam ChatGPT, serta dalam API kami. Seperti OpenAI o1‑pro, o3‑pro adalah versi model paling pintar kami, OpenAI o3, direka untuk berfikir lebih lama dan memberikan respons yang paling boleh dipercayai. Maklumat penuh boleh didapati dalam nota keluaran⁠(dibuka dalam tetingkap baru).

Hari ini, kami melancarkan OpenAI o3 dan o4-mini, model terbaharu dalam siri-o kami yang dilatih untuk fikir lebih lama sebelum memberi respons. Ini adalah model paling pintar yang kami telah keluarkan setakat ini, mewakili perubahan besar dalam keupayaan ChatGPT untuk semua orang, daripada pengguna yang ingin tahu hingga penyelidik yang maju. Buat pertama kali, model penaakulan kami boleh menggunakan dan menggabungkan setiap alat dalam ChatGPT secara ejen—ini termasuk mencari di web, menganalisis fail yang dimuat naik dan data lain dengan Python, menaakul secara mendalam tentang input visual, dan juga menjana imej. Secara kritis, model-model ini dilatih untuk membuat Penaakulan tentang bila dan bagaimana menggunakan alat untuk menghasilkan jawapan yang terperinci dan bernas dalam format output yang betul, biasanya dalam masa kurang dari satu minit, untuk menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Ini membolehkan mereka menangani soalan pelbagai aspek dengan lebih berkesan, satu langkah ke arah ChatGPT yang lebih berkeupayaan ejen yang boleh melaksanakan tugas secara bebas bagi pihak anda. Gabungan kuasa penaakulan terkini dengan akses penuh kepada alat diterjemahkan kepada prestasi yang jauh lebih kukuh merentas penanda aras akademik dan tugas dunia sebenar, menetapkan standard baharu dalam kecerdasan dan kegunaan.

Apa yang telah berubah

OpenAI o3 ialah model penaakulan kami yang paling berkuasa yang meneroka sempadan dalam pengekodan, matematik, sains, persepsi visual dan banyak lagi. Ia menetapkan SOTA baharu pada penanda aras termasuk Codeforces, SWE-bench (tanpa membina perancah khusus model tersuai), dan MMMU. Ia sesuai untuk pertanyaan kompleks yang memerlukan analisis pelbagai aspek dan jawapannya mungkin tidak jelas dengan serta-merta. Ia berprestasi dengan cemerlang terutamanya dalam tugas visual seperti menganalisis imej, carta, dan grafik. Dalam penilaian oleh pakar luar, o3 membuat 20 peratus lebih sedikit ralat utama daripada OpenAI o1 pada tugas dunia sebenar yang sukar—terutamanya cemerlang dalam bidang seperti pengaturcaraan, perniagaan/perundingan dan idea kreatif. Penguji awal menekankan ketegasan analisisnya sebagai rakan pemikiran dan menonjolkan keupayaannya untuk menjana dan menilai hipotesis baharu secara kritis—terutamanya dalam konteks biologi, matematik, dan kejuruteraan.

OpenAI o4-mini ialah model yang lebih kecil yang dioptimumkan untuk penaakulan yang pantas dan menjimatkan kos—ia mencapai prestasi yang luar biasa untuk saiz dan kosnya, terutamanya dalam matematik, pengekodan, dan tugas visual. Ia adalah model penanda aras berprestasi terbaik pada AIME 2024 dan 2025. Walaupun akses kepada komputer mengurangkan kesukaran peperiksaan AIME dengan ketara, kami juga mendapati bahawa o4-mini mencapai 99.5% pass@1 (100% consensus@8) pada AIME 2025 apabila diberi akses kepada jurubahasa Python. Walaupun hasil ini tidak sepatutnya dibandingkan dengan prestasi model tanpa akses kepada alat, ini adalah satu contoh bagaimana o4-mini memanfaatkan alat yang ada dengan berkesan; o3 menunjukkan peningkatan serupa pada AIME 2025 daripada penggunaan alat (98.4% lulus@1, 100% konsensus@8).

Dalam penilaian pakar, o4-mini juga mengatasi pendahulunya, o3‑mini, dalam tugas bukan STEM serta domain seperti sains data. Berkat kecekapannya, o4-mini menyediakan sokongan had penggunaan yang jauh lebih tinggi daripada o3, menjadikannya pilihan yang kuat untuk volum tinggi dan daya pemprosesan tinggi bagi soalan yang mendapat manfaat daripada penaakulan. Penilai pakar luaran menilai kedua-dua model sebagai menunjukkan peningkatan dalam mengikuti arahan dan memberikan respons yang lebih berguna dan boleh disahkan berbanding pendahulunya, terima kasih kepada kecerdasan yang dipertingkatkan dan kemasukan sumber web. Berbanding dengan lelaran model penaakulan kami sebelum ini, kedua-dua model ini juga sepatutnya berasa lebih semula jadi dan mesra perbualan, terutamanya kerana ia merujuk kepada ingatan dan perbualan masa lalu untuk menjadikan respons lebih diperibadikan dan relevan.

Multimodal

Pengekodan

Semua penilaian SWE-bench yang dijalankan adalah menggunakan subset tetap n=477 tugas yang telah disahkan pada infrastruktur dalaman kami.

Mengikuti arahan dan penggunaan alat secara agenik

Semua model dinilai pada tetapan 'usaha penaakulan' yang tinggi—serupa dengan varian seperti 'o4-mini-high' dalam ChatGPT.

Teruskan meningkatkan skala pembelajaran pengukuhan

Sepanjang pembangunan OpenAI o3, kami telah memerhatikan bahawa pembelajaran pengukuhan berskala besar mempamerkan trend "lebih pengiraan = prestasi lebih baik" yang sama seperti yang diperhatikan dalam pralatihan siri GPT. Dengan menjejaki semula laluan penskalaan—kali ini dalam RL—kami telah menolak susunan magnitud tambahan dalam pengiraan latihan dan penaakulan masa inferens, namun masih melihat peningkatan prestasi yang jelas, mengesahkan bahawa prestasi model berterusan bertambah baik apabila ia semakin dibenarkan untuk fikir. Pada kependaman dan kos yang sama dengan OpenAI o1, o3 memberikan prestasi lebih tinggi dalam ChatGPT—dan kami telah mengesahkan bahawa jika kami membiarkannya berfikir lebih lama, prestasinya terus meningkat.

Kami juga melatih kedua-dua model untuk menggunakan alat melalui pembelajaran pengukuhan—mengajar mereka bukan sahaja cara menggunakan alat, tetapi untuk melakukan penaakulan tentang bila untuk menggunakannya. Keupayaannya untuk menggunakan alat berdasarkan hasil yang diinginkan menjadikan ia lebih berkemampuan dalam situasi terbuka—terutamanya yang melibatkan penaakulan visual dan aliran kerja berbilang langkah. Peningkatan ini tercermin dalam penanda aras akademik dan tugas dunia sebenar, seperti yang dilaporkan oleh penguji awal.

Pemikiran dengan imej

Buat pertama kali, model-model ini boleh menyepadukan imej secara langsung ke dalam rantaian pemikirannya. Ia bukan sahaja melihat imej—ia berfikir dengannya. Ini membuka kelas baharu penyelesaian masalah yang menggabungkan penaakulan visual dan teks, yang tercermin dalam prestasi canggih mereka merentasi penanda aras multimodal.

Orang ramai boleh memuat naik foto papan putih, gambarajah buku teks, atau lakaran yang dilukis tangan, dan model boleh mentafsirkannya — walaupun imej itu kabur, terbalik, atau berkualiti rendah. Dengan penggunaan alat, model dapat memanipulasi imej secara langsung—memutar, membesar, atau mengubahnya sebagai sebahagian daripada proses penaakulan mereka.

Model-model ini memberikan ketepatan terbaik dalam kelas untuk tugas persepsi visual, membolehkan ia menyelesaikan soalan yang sebelum ini tidak dapat dicapai. Jom lihat blog penyelidikan penaakulan visual⁠ untuk tahu lebih lanjut.

Ke arah penggunaan alat agentik

OpenAI o3 dan o4-mini mempunyai akses penuh kepada alatan dalam ChatGPT, serta alatan tersuai anda sendiri melalui panggilan fungsi dalam API. Model-model ini dilatih untuk melakukan penaakulan tentang cara menyelesaikan masalah, memilih masa dan cara menggunakan alat untuk menghasilkan jawapan yang terperinci dan bernas dalam format output yang betul dengan cepat—biasanya dalam masa kurang dari satu minit.

Sebagai contoh, seorang pengguna mungkin bertanya: "Bagaimanakah penggunaan tenaga pada musim panas di California berbanding dengan tahun lepas?" Model ini boleh mencari web untuk data utiliti awam, menulis kod Python untuk membina ramalan, jana graf atau imej, dan menerangkan faktor utama di sebalik ramalan dengan merantaikan beberapa panggilan alat. Penaakulan membolehkan model bertindak balas dan menyesuaikan diri mengikut keperluan kepada maklumat yang ditemuinya. Sebagai contoh, mereka boleh mencari di web beberapa kali dengan bantuan penyedia carian, melihat hasil, dan mencuba carian baharu jika mereka memerlukan maklumat lanjut.

Pendekatan strategik yang fleksibel ini membolehkan model menangani tugas yang memerlukan akses kepada maklumat terkini di luar pengetahuan terbina dalam model, penaakulan lanjutan, sintesis, dan penjanaan output merentas modaliti.

Semua contoh telah disiapkan dengan OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Diberi penaakulan pembinaan polinomial selama 55 saat

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Berfikir selama 1m 19s

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 mendapat respons dengan betul tanpa menggunakan carian, manakala o1 gagal memberikan respons yang betul.

Memajukan penaakulan yang menjimatkan kos

Kos berbanding prestasi: o3‑mini dan o4-mini

Kos berbanding prestasi: o1 dan o3

OpenAI o3 dan o4-mini adalah model paling pintar yang pernah kami keluarkan, dan ia juga sering lebih cekap daripada pendahulunya, OpenAI o1 dan o3‑mini. Sebagai contoh, dalam pertandingan matematik AIME 2025, sempadan prestasi kos untuk o3 meningkat dengan ketara berbanding o1, dan begitu juga, sempadan o4-mini meningkat dengan ketara berbanding o3‑mini. Secara umumnya, kami menjangkakan bahawa untuk kebanyakan penggunaan dunia sebenar, o3 dan o4-mini juga akan menjadi lebih pintar dan lebih murah daripada o1 dan o3‑mini, masing-masing.

Keselamatan

Setiap peningkatan dalam keupayaan model memerlukan penambahbaikan keselamatan yang setimpal. Untuk OpenAI o3 dan o4-mini, kami sepenuhnya membina semula data latihan keselamatan kami, menambah prom penolakan baharu dalam bidang seperti ancaman biologi (biorisk), penjanaan perisian hasad, dan jailbreak. Data yang diperbaharui ini telah menyebabkan o3 dan o4-mini mencapai prestasi yang cemerlang pada penanda aras penolakan dalaman kami (contohnya, hierarki arahan⁠, jailbreaks). Sebagai tambahan kepada prestasi kukuh untuk penolakan model, kami juga telah membangunkan mitigasi peringkat sistem untuk menandakan prom berbahaya di kawasan risiko sempadan. Sama seperti kerja awal kami dalam penjanaan imej⁠, kami melatih monitor LLM yang beralasan yang berfungsi berdasarkan spesifikasi keselamatan yang ditulis oleh manusia dan boleh ditafsir. Apabila digunakan pada biorisiko, monitor ini berjaya menandakan ~99% perbualan dalam kempen pasukan merah manusia kami.

Kami telah menguji ketahanan kedua-dua model dengan program keselamatan kami yang paling ketat setakat ini. Selaras dengan Rangka Kerja Kesediaan⁠ kami yang dikemas kini, kami menilai o3 dan o4-mini merentas tiga bidang keupayaan yang dijejaki yang diliputi oleh Rangka Kerja: biologi dan kimia, keselamatan siber, dan peningkatan diri AI. Berdasarkan hasil penilaian ini, kami telah menentukan bahawa kedua-dua o3 dan o4‑mini kekal di bawah ambang "Tinggi" Rangka Kerja dalam ketiga-tiga kategori. Kami telah menerbitkan keputusan terperinci daripada penilaian ini dalam kad sistem⁠ yang disertakan.

Codex CLI: penaakulan termaju dalam terminal

Kami juga berkongsi satu eksperimen baharu: Codex CLI, ejen pengekodan ringan yang boleh anda jalankan dari terminal anda. Ia berfungsi secara langsung pada komputer anda dan direka untuk memaksimumkan keupayaan penaakulan model seperti o3 dan o4-mini, dengan sokongan akan datang untuk model API tambahan seperti GPT‑4.1⁠.

Anda boleh mendapatkan faedah penaakulan multimodal dari baris arahan dengan menyerahkan tangkapan skrin atau lakaran ketelitian rendah kepada model, digabungkan dengan akses kepada kod anda secara tempatan. Kami fikir ia sebagai antara muka minimum untuk menyambungkan model kami kepada pengguna dan komputer mereka. Codex CLI sepenuhnya sumber terbuka di github.com/openai/codex⁠(dibuka dalam tetingkap baru) hari ini.

Di samping itu, kami melancarkan inisiatif bernilai $1 juta untuk memberikan sokongan kepada projek yang menggunakan Codex CLI dan model OpenAI. Kami akan menilai dan menerima aplikasi untuk geran dalam kenaikan $25,000 USD dalam bentuk kredit API. Cadangan boleh diserahkan di sini.

Akses

Pengguna ChatGPT Plus, Pro dan Team akan melihat o3, o4-mini dan o4-mini-high dalam pemilih model bermula hari ini, menggantikan o1, o3‑mini dan o3‑mini‑high. Pengguna ChatGPT Perusahaan dan Pendidikan akan mendapat akses dalam masa satu minggu. Pengguna percuma boleh mencuba o4-mini dengan memilih 'Fikir' dalam komposer sebelum menghantar pertanyaan mereka. Had kadar untuk semua pelan kekal tidak berubah daripada set model sebelumnya.

Kami menjangka untuk melancarkan OpenAI o3‑pro dalam beberapa minggu dengan sokongan alat yang lengkap. Buat masa ini, pengguna Pro masih boleh mengakses o1‑pro.

Kedua-dua o3 dan o4-mini juga tersedia kepada pembangun hari ini melalui Chat Completions API dan Responses API (sesetengah pembangun perlu mengesahkan organisasi mereka⁠(dibuka dalam tetingkap baru) untuk mengakses model ini). Sokongan Responses API menyokong ringkasan penaakulan, keupayaan untuk mengekalkan token penaakulan di sekitar panggilan fungsi untuk prestasi yang lebih baik, dan tidak lama lagi akan menyokong alat terbina dalam seperti carian web, carian fail, dan pentafsir kod dalam penaakulan model. Untuk memulakan, teroka dokumen kami⁠(dibuka dalam tetingkap baru) dan nantikan lebih banyak kemas kini.

Apa seterusnya

Kemas kini hari ini mencerminkan arah tuju model kami: kami menggabungkan keupayaan penaakulan khusus siri o dengan lebih banyak kebolehan perbualan semula jadi dan penggunaan alat siri GPT. Dengan menyatukan kekuatan ini, model masa depan kami akan memberikan sokongan kepada perbualan yang lancar dan semula jadi serta penggunaan alat proaktif dan penyelesaian masalah yang maju.

Kemas kini pada 28 Julai 2025: Set data dan hasil SWE-Lancer dikemas kini pada 17 Julai 2025, tersedia di: https://github.com/openai/preparedness⁠(dibuka dalam tetingkap baru) dan dalam kad sistem kami. Kemas kini ini menyelesaikan beberapa isu yang mempengaruhi hasil pendapatan dolar dan alih keluar keperluan untuk sambungan Internet semasa pelaksanaan, menghilangkan sumber utama kebolehubahan dalam prestasi model.

Kemas kini pada 16 April 2025: keputusan untuk o3 pada Charxiv-r dan Mathvista telah dikemas kini untuk mencerminkan perubahan pada prom sistem yang tidak terdapat dalam penilaian asal.

Tonton semula siaran langsung

Penulis

OpenAI

Nota kaki

* Nombor eval tau-bench diambil purata merentasi 5 larian untuk mengurangkan varians, dan dijalankan tanpa sebarang alat tersuai atau arahan. Kami mendapati pelancaran runcit tau-bench lebih terdedah kepada kesilapan model pengguna. Nombor untuk bar teduh dijalankan dengan GPT-4.1 sebagai model pengguna kerana ia jauh lebih baik daripada GPT-4o dalam mengikuti arahan.

* SWE-bench menggunakan panjang konteks maksimum 256k, yang meningkatkan kadar penyelesaian untuk o4-mini sebanyak kira-kira 3% dan memberi kesan kepada kadar penyelesaian o3 kurang daripada 1%. Kami juga mengecualikan 23 sampel yang tidak dapat dijalankan pada infrastruktur dalaman kami.

* Apabila mendayakan pelayar, model kadang kala boleh mencari jawapan yang tepat di dalam talian, contohnya, dengan membaca catatan blog yang mengandungi masalah sampel daripada set data. Kami telah mengurangkan kebimbangan tentang model akan menipu semasa melayari dengan dua strategi:

Domain yang telah kami sekat kerana kami perhatikan model telah menipu pada masa lalu.
Menggunakan model penaakulan sebagai pemantau untuk memeriksa semua token dalam setiap percubaan, bagi mengenal pasti tingkah laku yang mencurigakan. Tingkah laku yang mencurigakan ditakrifkan sebagai "halaman, fail, atau coretan yang tujuan utamanya adalah untuk memberikan jawapan tepat kepada soalan khusus ini—contohnya, kunci penggredan rasmi, intipati “penyelesaian” yang bocor, atau perbincangan yang memetik jawapan siap secara kata demi kata." Tingkah laku jinak ditakrifkan sebagai "Mana-mana sumber berwibawa yang mungkin dirujuk oleh manusia yang rajin (dokumentasi, manual, makalah ilmiah, artikel bereputasi) walaupun secara kebetulan mengandungi jawapan yang betul." Sebarang percubaan di mana pemantau menganggap pelancaran itu mencurigakan dikira sebagai salah. Kebanyakan sampel yang gagal dalam pemeriksaan ini adalah masalah yang penyelesaiannya tepat tersedia di pelbagai sumber Internet tidak berkaitan dengan HLE.

Akhirnya, penilaian kami dengan pelayaran mungkin tidak dapat dihasilkan semula dengan sempurna dalam API OpenAI kerana perbezaan dalam enjin carian antara ChatGPT dan API OpenAI. Keputusan ini bertujuan untuk mewakili pengalaman pengguna ChatGPT, tetapi bergantung pada permintaan, konfigurasi carian yang mungkin berubah dari semasa ke semasa.

Penyumbang

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang