یک مدل OpenAI یک حدس محوری در هندسهٔ گسسته را رد کرده است

نزدیک به ۸۰ سال است که ریاضی‌دانان یک پرسش به‌ظاهر ساده را بررسی کرده‌اند: اگر $n$ نقطه را در صفحه قرار دهید، چند جفت نقطه می‌توانند دقیقاً به فاصلهٔ $1$ از هم باشند؟

این همان مسئلهٔ فاصلهٔ واحد در صفحه است که نخستین بار توسط پل اردوش در سال ۱۹۴۶ مطرح شد.‬ این یکی از شناخته‌شده‌ترین پرسش‌ها در هندسهٔ ترکیبیاتی است؛ بیانش آسان و حل‌وفصلش به‌طرزی چشمگیر دشوار است. کتاب سال ۲۰۰۵ با عنوان Research Problems in Discrete Geometry اثر براس، موزر و پاخ، آن را «احتمالاً شناخته‌شده‌ترین (و ساده‌ترین مسئله برای توضیح) در هندسه ترکیبیاتی» می‌نامد. نوگا آلون، ترکیبیات‌دان برجسته در پرینستون، آن را «یکی از مسائل محبوب اردوش» توصیف می‌کند. اِردوش حتی برای حل این مسئله جایزه‌ای نقدی تعیین کرده است.

امروز، یک پیشرفت بزرگ دربارهٔ مسئلهٔ فاصلهٔ واحد را به اشتراک می‌گذاریم. از زمان کار اولیهٔ اردوش، باور غالب این بوده است که ساختارهای «شبکهٔ مربعی» که پایین‌تر نشان داده شده‌اند، اساساً برای بیشینه‌کردن تعداد جفت‌های با فاصلهٔ واحد بهینه‌اند. یک مدل داخلی OpenAI این حدس دیرپا را رد کرده و خانواده‌ای نامتناهی از مثال‌ها ارائه داده است که به بهبودی چندجمله‌ای می‌انجامند. این برهان توسط گروهی از ریاضی‌دانان بیرونی بررسی شده است. آن‌ها همچنین مقاله‌ای همراه نوشته‌اند که استدلال را توضیح می‌دهد و پیش‌زمینه و زمینهٔ بیشتری برای اهمیت این نتیجه فراهم می‌کند.

این نتیجه از این جهت که چگونه به دست آمد نیز قابل توجه است. این برهان از یک مدل استدلالِ عمومیِ جدید به دست آمد، نه از سیستمی که مشخصاً برای ریاضیات آموزش دیده باشد، برای جست‌وجو در راهبردهای اثبات چارچوب‌بندی شده باشد، یا به‌طور خاص مسئلهٔ فاصلهٔ واحد را هدف گرفته باشد. در قالب تلاشی گسترده‌تر برای آزمودن اینکه آیا مدل‌های پیشرفته می‌توانند به پژوهش‌های پیشرو کمک کنند، آن را روی مجموعه‌ای از مسائل اردوش ارزیابی کردیم. در این مورد، این مدل برهانی تولید کرد که مسئلهٔ باز را حل می‌کند.

این برهان نقطه‌عطفی مهم برای جوامع ریاضی و هوش مصنوعی است. این نخستین بار است که یک مسئلهٔ بازِ برجسته، محوری در یک زیرشاخهٔ ریاضیات، به‌طور خودمختار توسط هوش مصنوعی حل شده است. همچنین عمق استدلالی را که این سامانه‌ها اکنون پشتیبانی می‌کنند نشان می‌دهد. ریاضیات بستری به‌ویژه روشن برای آزمون استدلال فراهم می‌کند: مسائل دقیق‌اند، برهان‌های بالقوه را می‌توان بررسی کرد، و یک استدلال طولانی فقط زمانی کار می‌کند که استدلال از ابتدا تا انتها منسجم بماند. روشی که مسئله با آن حل شد نیز قابل توجه است. این برهان ایده‌هایی غیرمنتظره و پیشرفته از نظریهٔ اعداد جبری را برای پرداختن به یک پرسش هندسی ابتدایی به کار می‌گیرد.

تیم گاورز، برندهٔ مدال فیلدز، در مقالهٔ همراه این نتیجه را «نقطه‌عطفی در ریاضیات هوش مصنوعی» می‌نامد. به گفتهٔ آروُل شانکار، از نظریه‌پردازان برجستهٔ اعداد، «به نظر من این مقاله نشان می‌دهد که مدل‌های کنونی هوش مصنوعی فراتر از صرفاً دستیارِ ریاضی‌دانان انسانی می‌روند — آن‌ها قادرند ایده‌های اصیل و هوشمندانه داشته باشند و سپس آن‌ها را به ثمر برسانند».

این برهان اینجا⁠(در یک پنجره جدید باز می‌شود) در دسترس است. مقاله تکمیلی ریاضی‌دانان برجسته خارج از سازمان، از اینجا⁠(در یک پنجره جدید باز می‌شود) در دسترس است. نسخه‌ای خلاصه‌شده از زنجیره تفکر مدل را اینجا⁠(در یک پنجره جدید باز می‌شود) می‌توانید پیدا کنید.

بگذارید $u(n)$ بزرگ‌ترین تعداد ممکنِ جفت‌های با فاصلهٔ واحد در میان $n$ نقطه در صفحه باشد. ساختن مثال‌هایی با نرخ رشد خطی آسان است: اگر $n$ نقطه روی یک خط قرار دهیم $n-1$ جفت به دست می‌آید، در حالی که یک شبکهٔ مربعی حدود $2n$ جفت ایجاد می‌کند. بهترین ساختار شناخته‌شده قبلی، که از یک شبکهٔ مربعیِ بازمقیاس‌شده به دست می‌آید، در نهایت حتی تعداد جفت بیشتری ایجاد می‌کند: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ برای ثابت $C$. از آنجا که $\log \log(n)$ با $n$ به سوی بی‌نهایت میل می‌کند، جملهٔ اضافی در توان به $0$ میل می‌کند؛ یعنی این ساختارها فقط اندکی سریع‌تر از مدل خطی رشد می‌کنند. برای دهه‌ها، به‌طور گسترده باور بر این بود که این نرخ اساساً بهترینِ نرخ ممکن است و هیچ ساختاری نمی‌تواند به‌طور معنادار از شبکهٔ مربعی بهتر باشد. به بیان فنی، اردوش یک کران بالای $n^{1+o(1)}$ را حدس زده بود که در آن $o(1)$ اضافی به جمله‌ای اشاره دارد که با $n$ به $0$ میل می‌کند.

نتیجهٔ جدید ما این حدس را رد می‌کند. دقیق‌تر بگوییم، برای بی‌نهایت مقدار از $n$، این برهان آرایش‌هایی از $n$ نقطه می‌سازد که دست‌کم $n^{1+\delta}$ جفتِ با فاصلهٔ واحد دارند، برای یک نمای ثابت $\delta > 0$. (برهان اصلیِ هوش مصنوعی یک $\delta$ صریح نمی‌دهد، اما اصلاحی که به‌زودی منتشر می‌شود و متعلق به ویل ساوین، استاد ریاضیات پرینستون است نشان داده که می‌توان $\delta=0.014$ گرفت.)

پیشینهٔ این مسئله کمک می‌کند دریابیم چرا نتیجه شگفت‌انگیز است. بهترین کران پایینِ شناخته‌شده از زمان ساختار اصلی اردوش در سال ۱۹۴۶ تقریباً بدون تغییر مانده بود. بهترین کران بالای شناخته‌شده، $O(n^{4/3})$، به نتایج اسپنسر، سمرِدی و تروتر در سال ۱۹۸۴ بازمی‌گردد و با وجود اصلاحات بعدی و پژوهش‌های ساختاریِ مرتبط از سوی سِکِلی، کاتس و سیلیه، پاخ، راز و شُلیموشی و دیگران، این کران بالا همچنان اساساً تغییری نکرده است. به‌عنوان شاهدی در حمایت از این حدس، ماتوشک و آلون–بوچیچ–زاورمان این مسئله را برای فاصله‌های نااقلیدسی در صفحه بررسی کردند و ثابت کردند که «بیشترِ» این فاصله‌های نااقلیدسی، به یک معنا، از این حدس پیروی می‌کنند.

شگفت‌آور اینکه، مؤلفه‌های کلیدی این ساختار از بخشی کاملاً متفاوت از ریاضیات می‌آیند که نظریهٔ اعداد جبری نام دارد و مفاهیمی مانند تجزیه به عامل در بسط‌های اعداد صحیح، موسوم به میدان‌های عددی جبری، را مطالعه می‌کند.

در سطحی کلی، برهان با یک ایدهٔ هندسی آشنا آغاز می‌شود و آن را در جهتی غیرمنتظره پیش می‌برد.

کران پایینِ اصلیِ اردوش را می‌توان از طریق اعداد صحیح گاوسی فهمید: اعدادی به شکل $a+bi$، که در آن $a$ و $b$ اعداد صحیح‌اند و $i$ ریشهٔ دوم $-1$ است. اعداد صحیح گاوسی اعداد صحیح معمولی را بسط می‌دهند و مانند آن‌ها ویژگی‌هایی مانند تجزیهٔ یکتای اعداد اول را دارند. چنین بسط‌هایی از اعداد صحیح معمولی یا اعداد گویا را میدان‌های عددی جبری می‌نامند. استدلال جدید، اعداد صحیح گاوسی را با تعمیم‌های پیچیده‌تری از نظریهٔ اعداد جبری جایگزین می‌کند که تقارن‌های غنی‌تری دارند و می‌توانند اختلاف‌های طولِ واحدِ بسیار بیشتری ایجاد کنند.

استدلال دقیق از ابزارهایی مانند برج‌های کلاس فیلد نامتناهی و نظریهٔ Golod–Shafarevich استفاده می‌کند تا نشان دهد میدان‌های عددیِ لازم برای این استدلال واقعاً وجود دارند. این ایده‌ها برای نظریه‌پردازان اعداد جبری شناخته‌شده بودند، اما اینکه این مفاهیم برای پرسش‌های هندسی در صفحهٔ اقلیدسی پیامد داشته باشند، بسیار شگفت‌آور بود.

این نتیجه لحظه‌ای مهم در تعامل میان هوش مصنوعی و ریاضیات را رقم می‌زند: یک سامانهٔ هوش مصنوعی به‌طور خودمختار یک مسئلهٔ بازِ دیرپا را در مرکز یک حوزهٔ فعال حل کرده است. همچنین نمایی اولیه از نوعی تازه از همکاری میان هوش مصنوعی و ریاضی‌دانان انسانی ارائه می‌کند. در این مورد، کار همراهِ ریاضی‌دانان بیرونی تصویری به‌مراتب غنی‌تر از راه‌حل اولیه به‌تنهایی ترسیم می‌کند.

همان‌طور که توماس بلوم در یادداشت همراه آن می‌نویسد:

«وقتی اهمیت و تأثیر یک برهانِ تولیدشده توسط هوش مصنوعی را ارزیابی می‌کنم، پرسشی که از خودم می‌پرسم این است: آیا این چیزی تازه دربارهٔ مسئله به ما آموخته است؟ آیا اکنون هندسهٔ گسسته را بهتر می‌فهمیم؟ فکر می‌کنم پاسخ، بله‌ای محتاطانه است: این نشان می‌دهد که ساختارهای نظریهٔ اعداد بسیار بیش از آنچه گمان می‌کردیم دربارهٔ این‌گونه پرسش‌ها برای گفتن دارند؛ افزون بر این، نظریهٔ اعدادِ لازم می‌تواند بسیار عمیق باشد. بی‌تردید بسیاری از نظریه‌پردازان اعداد جبری در ماه‌های آینده با دقت به دیگر مسائل باز در هندسهٔ گسسته نگاه خواهند کرد.»

پیوند غیرمنتظره میان نظریهٔ اعداد جبری و هندسهٔ گسسته که این راه‌حل آشکار کرده، بخشی از چیزی است که این نتیجه را قابل توجه می‌کند. این نتیجه صرفاً یک حدس مشخص را حل‌وفصل نمی‌کند، بلکه ممکن است پلی در اختیار ریاضی‌دانان بگذارد تا بررسی مسائل مرتبطِ بیشتری را آغاز کنند.

بلوم همچنین به امکانی گسترده‌تر اشاره می‌کند:

«مرزهای دانش بسیار ناهموارند، و بی‌تردید ماه‌ها و سال‌های آینده شاهد موفقیت‌های مشابهی در بسیاری از حوزه‌های دیگر ریاضیات خواهند بود؛ جاهایی که مسائل بازِ دیرپا به‌واسطهٔ هوش مصنوعی‌ای حل می‌شوند که پیوندهای غیرمنتظره را آشکار می‌کند و ماشین فنیِ موجود را تا مرز توانش پیش می‌برد. هوش مصنوعی به ما کمک می‌کند کلیسای جامعِ ریاضیاتی را که طی قرن‌ها ساخته‌ایم کامل‌تر کاوش کنیم؛ چه شگفتی‌های نادیدهٔ دیگری در انتظارند؟»

این نتیجه نمونه‌ای امیدبخش ارائه می‌کند: هوش مصنوعی نه‌فقط یک راه‌حل، بلکه یک کشف ریاضی را عرضه می‌کند که اهمیتش از خلال فهم بعدیِ انسان روشن‌تر و غنی‌تر می‌شود.

برداشت اصلی از این نتیجه از خودِ این مورد خاص فراتر می‌رود. استدلال ریاضی بهتر می‌تواند هوش مصنوعی را به شریک پژوهشی نیرومندتری تبدیل کند: چیزی که بتواند رشته‌های دشوار فکر را منسجم نگه دارد، ایده‌ها را میان حوزه‌های دورِ دانش به هم وصل کند، مسیرهای امیدبخشی را آشکار کند که شاید متخصصان در اولویت نگذاشته باشند، و به پژوهشگران کمک کند در مسائلی پیشرفت کنند که در غیر این صورت برای پرداختن بیش از حد پیچیده یا زمان‌بر بودند.

این توانایی‌ها فراتر از ریاضیات اهمیت دارند. اگر یک مدل بتواند یک استدلال پیچیده را منسجم نگه دارد، ایده‌ها را میان حوزه‌های دورِ دانش پیوند دهد و کاری تولید کند که از بررسی دقیق متخصصان جان سالم به در ببرد، این‌ها در زیست‌شناسی، فیزیک، علم مواد، مهندسی و پزشکی نیز توانایی‌های مفیدی هستند و بخشی از مسیر بلندمدت ما به سوی پژوهشِ خودکارترند: سامانه‌هایی که می‌توانند به دانشمندان و مهندسان کمک کنند ایده‌های بیشتری را بررسی کنند و پرسش‌های فنیِ دشوارتری را دنبال کنند.

هوش مصنوعی در آستانهٔ ایفای نقشی بسیار جدی در بخش‌های خلاقانهٔ پژوهش، و مهم‌تر از همه خودِ پژوهش هوش مصنوعی، است. هرچند این پیشرفت غیرمنتظره نیست، اما فوریتی را که دربارهٔ فهم این مرحلهٔ بعدیِ توسعهٔ هوش مصنوعی، چالش‌های هم‌راستاسازیِ سامانه‌های بسیار هوشمند، و آیندهٔ همکاری انسان و هوش مصنوعی احساس می‌کنیم تقویت می‌کند.

آن آینده همچنان به قضاوت انسانی وابسته است. تخصص ارزشمندتر می‌شود، نه کم‌ارزش‌تر. هوش مصنوعی می‌تواند در جست‌وجو، پیشنهاد و راستی‌آزمایی کمک کند. این انسان‌ها هستند که مسائل مهم را انتخاب می‌کنند، نتایج را تفسیر می‌کنند و تصمیم می‌گیرند بعداً چه پرسش‌هایی را دنبال کنند.