Zehn Fortschritte in Mathematik und theoretischer Informatik

Wir wollen Forschenden in Mathematik und Naturwissenschaften Werkzeuge an die Hand geben, die neue Entdeckungen beschleunigen. Deshalb haben wir kürzlich ChatGPT für Forschende⁠ angekündigt. Die Initiative ermöglicht 100.000 Forschenden in Mathematik und Naturwissenschaften kostenlosen Zugang zu unseren besten ChatGPT‑Modellen. Außerdem testen wir unsere Modelle schon während der Entwicklung an offenen Forschungsproblemen.

Im Mai haben wir eine von KI erzeugte Widerlegung⁠ der Erdős-Vermutung über Einheitsabstände vorgestellt. Sie entstand bei der Evaluierung eines noch nicht veröffentlichten Modells. Diese Arbeit hat bereits weitere Entwicklungen in der Mathematik und theoretischen Informatik angestoßen¹. Heute stellen wir zehn ausgewählte Ergebnisse vor. Jedes davon löst ein seit Langem offenes Problem oder bringt wesentliche Fortschritte. Die Probleme reichen von hochdimensionaler Geometrie, Codierungstheorie und der Komplexität arithmetischer Schaltkreise über Gruppentheorie, Operatoralgebren und Quantenkomplexität bis hin zu Gitterkryptografie und extremaler Kombinatorik. Alle diese Probleme sind für ihre jeweiligen mathematischen Fachgebiete von großer Bedeutung, einige auch für die Mathematik insgesamt.

Zu den folgenden Problemen legen wir neue Ergebnisse vor. Die Ergebnisse wurden mit einer internen Version von Astra erzielt, unserem nächsten großen Modell. Die zur Lösung dieser Probleme insgesamt benötigten Tokens würden zu den Tarifen der Sol API rund 2.000 USD kosten. Anschließend arbeiteten Menschen diese Argumentationen mithilfe desselben Modells zu Manuskripten aus. Danach formalisierte das Modell jede Argumentation in einem Lean-Zertifikat⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet). Zu jeder Lösung veröffentlichen wir außerdem eine vom Modell erstellte Erläuterung seines Denkprozesses.

1. Hochdimensionale Kugelpackungen. Neue obere Schranken für die Dichte von Kugelpackungen bis hinab zur Cohn-Elkies-Schranke.
2. Binäre und sphärische Codes: Exponentiell verbesserte Schranken für die maximale Größe binärer Codes bei beliebig vorgegebenem Mindestabstand sowie entsprechende Ergebnisse für hochdimensionale sphärische Codes.
3. Nicht-sofische Gruppen. Eine Konstruktion, die die Existenz nicht-sofischer Gruppen belegt und damit eine zentrale offene Frage der Gruppentheorie beantwortet.
4. Connes’ Starrheitsvermutung. Widerlegung der seit Langem bestehenden Vermutung, dass bestimmte Gruppen durch ihre Von-Neumann-Algebren eindeutig bestimmt sind.
5. Komplexität arithmetischer Schaltkreise. Neue untere Schranken für die Berechnung der Permanenten mit arithmetischen Schaltkreisen und Formeln, darunter eine untere Schranke der Ordnung n⁴/log n für arithmetische Formeln.
6. Quanten-Parallelwiederholung. Ein exponentieller Parallelwiederholungssatz für allgemeine Quantenspiele mit zwei Beteiligten, der ein grundlegendes Prinzip der klassischen Komplexitätstheorie erweitert.
7. Problem des nächsten Vektors. Approximationshärte mit polynomiellem Faktor für das Problem des nächsten Vektors, eine grundlegende Fragestellung zu Gittern mit Bezug zur Post-Quanten-Kryptografie.
8. Ehrharts Volumenvermutung. Bestimmung des größtmöglichen Volumens eines konvexen Körpers in jeder Dimension, dessen Schwerpunkt sein einziger innerer Gitterpunkt ist.
9. Mehrfarbige Ramsey-Zahlen. Eine superexponentielle untere Schranke für mehrfarbige Dreiecks-Ramsey-Zahlen, die Erdős-Problem 183 löst.
10. Extremalzahl-Vermutungen. Ergebnisse zur Kompaktheits- und Entartungsvermutung in der extremalen Graphentheorie, die die Erdős-Probleme 146 und 180 lösen.

Das Aufkommen von Systemen, die zur mathematischen Forschung beitragen können, wirft Fragen auf, die ein Technologieunternehmen nicht allein beantworten kann. Zur Rolle von KI in der Mathematik gibt es viele Standpunkte. Wir haben großen Respekt und Verständnis für alle, die sich wegen ihrer Auswirkungen sorgen, darunter die Unterzeichnenden der Leidener Erklärung zu KI und Mathematik⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet). Wir sind überzeugt, dass die Zuschreibung ehrlich widerspiegeln sollte, wie ein Ergebnis entstanden ist. Eine vollständig von einem KI-System erzeugte Beweisführung als menschliche Arbeit auszugeben, würde sowohl den Beitrag des Systems als auch das Wesen echter menschlicher Geistesarbeit falsch darstellen. Wir haben die Manuskripte mit ausgearbeitet und die Beweise in Lean formalisiert. Für ihre Richtigkeit stehen wir ein, während die mathematischen Argumentationen selbst von unserem System erzeugt wurden. Wir hoffen, dass sich die mathematische Fachwelt intensiv mit diesen Ergebnissen auseinandersetzt, sie einordnet und die zugrunde liegenden Ideen durch neue Forschung und Entdeckungen weiterentwickelt.

Während sich KI-Systeme zu immer leistungsfähigeren Partnern in der Forschung entwickeln, ist ein möglichst breiter Zugang entscheidend. Nur so können wir Forschende in Mathematik und Naturwissenschaften dabei unterstützen, sich in dieser Zeit des Wandels zu orientieren und die Zukunft ihrer Fachgebiete mitzugestalten.