Zum Navier–Stokes-Millennium-Preisproblem

Wir veröffentlichen eine Lösung für das Existenz- und Regularitätsproblem der Navier–Stokes-Gleichungen, eines der Millennium-Preisprobleme. Dieser von einem internen OpenAI-System erstellte Beweis zeigt, dass die von den Navier–Stokes-Gleichungen beschriebene Strömungsdynamik in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln kann. Wir veröffentlichen sowohl eine Ausarbeitung des Beweises als auch eine Formalisierung in Lean.

Die Millennium-Preisprobleme⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet) zählen zu den tiefgreifendsten Fragen an der Grenze der Mathematik. Die Frage, ob eine glatte dreidimensionale Strömung zusammenbrechen kann, ist seit rund 90 Jahren ungelöst.

Ein wichtiges Ziel unserer Arbeit ist es, Forschende dabei zu unterstützen, Forschung und Technologie zum Nutzen der gesamten Menschheit voranzubringen. Zur Lösung des Navier–Stokes-Problems nutzten wir ein internes Modell, das deutlich leistungsfähiger ist als GPT‑6 Astra. Wir halten es für wichtig, die Öffentlichkeit über das Tempo der KI-Entwicklung und darüber zu informieren, was von kommenden Modellen zu erwarten ist.

Die Navier–Stokes-Gleichungen beschreiben anhand des zweiten Newtonschen Gesetzes („F=ma“), wie sich Fluide bewegen. Entscheidend ist, dass sie ein Fluid als kontinuierliches Medium behandeln, statt einzelne Moleküle zu verfolgen. Diese Gleichungen werden beim Flugzeugbau, bei Wettervorhersagen und zur Untersuchung des Blutflusses verwendet.

Eine grundlegende offene Frage zu diesen dynamischen Gleichungen lautet, ob die Kontinuumsnäherung für das Fluid zusammenbrechen kann. Können die Navier–Stokes-Gleichungen für ein dreidimensionales inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte also eine „Singularität“ entwickeln, selbst wenn die Bewegung glatt beginnt? Eine Singularität bedeutet hier, dass die Dynamik die Geschwindigkeiten im Fluid innerhalb endlicher Zeit unbegrenzt anwachsen lässt. Eine Singularität müsste trotz der Viskosität entstehen, die Bewegungen tendenziell glättet. Da sich ein reales Fluid nicht unendlich schnell bewegen kann, würde dies zeigen, dass die Gleichungen das Fluid nicht mehr angemessen modellieren. Um das System weiter zu modellieren, müsste dann das Verhalten jedes einzelnen Teilchens verfolgt werden.

Die Gleichungen gehen auf Arbeiten von Claude-Louis Navier und George Gabriel Stokes im 19. Jahrhundert zurück. Jean Leray bewies 1934, dass Lösungen in einem verallgemeinerten Sinn existieren. Ob sie jedoch stets glatt bleiben, wurde zu einer zentralen offenen Frage. Im Jahr 2000 erklärte das Clay Mathematics Institute das Existenz- und Regularitätsproblem der Navier–Stokes-Gleichungen zu einem von sieben Millennium-Preisproblemen.

Unser System erstellte einen analytischen Beweis und eine Lean-Formalisierung dafür, dass ein zunächst ruhendes, glattes Fluid in endlicher Zeit eine Singularität entwickeln kann. Auf das Fluid wirkt eine glatte Kraft ein. Seine Energie bleibt während der gesamten Dynamik, vom Ruhezustand bis zur Entstehung der Singularität, endlich. Damit wird das Navier–Stokes-Millennium-Preisproblem gelöst, indem Aussage „C“ (und auch „D“) in der offiziellen Formulierung des Millennium-Preisproblems⁠(wird in einem neuen Fenster geöffnet) bewiesen wird.

Die Lösung ist ein Wirbel, also eine rotierende Fluidströmung, die sich spiralförmig nach innen bewegt und dabei wie Spaghetti immer länger wird. Dieser zentrale Bereich schrumpft und beschleunigt sich so, dass seine Energie gemäß den Gesetzen der Physik dennoch endlich bleibt. Die technische Herausforderung besteht darin, dass die Gleichungen den Zusammenbruch durch die Bewegung des Fluids selbst hervorbringen müssen, statt etwa von Hand eine unendliche Kraft einzusetzen. Mathematisch genauer ausgedrückt müssen die Terme der Navier–Stokes-Gleichungen, die die Bewegung beschreiben – Beschleunigung, Druckgradienten, Impulsübertragung und Viskosität –, zugleich groß werden und sich auf präzise Weise aufheben. Durch dieses genaue Gleichgewicht bleibt die äußere Kraft glatt, obwohl die Geschwindigkeit des Fluids unbegrenzt anwächst.

Seit dem 28. August trainieren wir ein neues internes Modell, das in unseren Benchmarks, darunter Mathematik, eine beispiellose Leistung gezeigt hat. Das Training dieses Modells dauert an, und seine Leistung verbessert sich weiter.

Am Dienstag, dem 1. September, hörten wir Gerüchte, dass zwei Millennium-Preisprobleme gelöst worden seien. Angeregt durch diese Gerüchte und den Leistungssprung unseres internen Modells starteten wir ein Vorhaben, um es an allen offenen Millennium-Preisproblemen und einigen weiteren bedeutenden Problemen zu evaluieren.

Wir nutzten ein System koordinierter Agenten, das von unserem internen Modell unterstützt wurde. Die Agenten hatten Zugriff auf Werkzeuge, mit denen sie unter anderem eine zwischengespeicherte Version des Internets lesen und Code ausführen konnten. Die Agenten wurden in Gruppen unterteilt, innerhalb derer sie miteinander kommunizieren konnten. Die Gruppen waren unterschiedlich groß. An der Gruppe, die das Navier–Stokes-Problem löste, waren ungefähr 10.000 gleichzeitig aktive Agenten beteiligt. Wir hielten jederzeit dieselben strengen Schutzmaßnahmen ein, die für alle unsere Evaluationen von Frontier-Modellen gelten, darunter Überwachung und Isolation.

Für jedes Problem gaben wir verschiedenen Gruppen von Agenten unterschiedliche Varianten der Problemstellung als Prompt und deckten damit alle Varianten des Problems ab. Beim Navier–Stokes-Problem legten wir getrennten Gruppen von Agenten die Versionen „A“ und „B“ vor (bestimmte Formen des Navier–Stokes-Problems, die zu einem Beweis führen würden) sowie die Versionen „C“ und „D“ (die zu einer Widerlegung führen würden).

Neben den vollständigen Millennium-Preisproblemen baten wir unser Multi-Agenten-System, eine Reihe „einfacherer“ Probleme zu bearbeiten. Eines davon war eine ähnliche Blow-up-Frage für den Grenzfall des Navier–Stokes-Problems ohne Viskositätsterm. Dies ist als Regularitätsproblem der Euler-Gleichungen bekannt. Unsere Agenten überraschten uns, indem sie diese Frage lösten. Die von ihnen gelöste Variante war die Version ohne äußere Kraft, bei der keine externe Kraft auf das Fluid einwirkt. Fast 100 Agenten arbeiteten rund 50 Stunden lang zusammen, um unsere Widerlegung der Euler-Regularität zu erstellen¹.

Nachdem wir die Euler-Lösung gesehen hatten, hielten wir Navier–Stokes für das aussichtsreichste Problem. Daher beschlossen wir, unsere Ressourcen auf Navier–Stokes zu konzentrieren. Dazu zogen wir Agenten von den anderen Millennium-Preisproblemen ab und stellten ihnen die Euler-Lösung als Prompt bereit. Als im Verlauf des Vorhabens eine weiter trainierte Version unseres internen Modells verfügbar wurde, stellten wir unsere Agenten auf dieses Modell um.

Wir ermutigten die verschiedenen Gruppen von Agenten, vielfältige Ansätze zu untersuchen. Nach einiger Zeit förderten wir den Austausch zwischen den Agentengruppen, indem wir mit Codex die nützlichsten Erkenntnisse aus jeder Gruppe zusammenführten. Diese Folge-Prompts griffen die Zwischenergebnisse der Agenten auf. Die Gruppe, die die Lösung für Navier–Stokes fand, wurde auf diese Weise angeleitet.

Die Agenten fanden ihre Lösung am Samstag, dem 5. September, etwa 88 Stunden nach dem Start der ersten Agenten. Die Lean-Formalisierung und -Verifizierung mit GPT‑6 Astra dauerten weitere 17 Stunden.

Über alle bearbeiteten Probleme hinweg versendeten die Agenten 4,9 Millionen Nachrichten und nutzten etwa 300 Milliarden Ausgabetokens. Bei der Lösung des Navier–Stokes-Problems versendeten die Agenten 2,7 Millionen Nachrichten und nutzten etwa 130 Milliarden Ausgabetokens.

Unser Vorhaben begann am 1. September, nachdem wir ein Gerücht gehört hatten, das, wie wir später erkannten, mit Levent Alpöge, einem Mitarbeiter von Anthropic, und Tristan Buckmaster, Mathematikprofessor an der NYU, zusammenhing.² Nach Abschluss unseres gesamten Projekts und der Lean-Verifizierung am 6. September gingen wir aufgrund des Gerüchts davon aus, dass auch sie eine Lösung für Navier–Stokes hatten. Daher boten wir ihnen an, unser Ergebnis zeitgleich zu veröffentlichen und ihren Vorrang in einer gemeinsamen Ankündigung anzuerkennen. Zu diesem Zeitpunkt erfuhren wir, dass sie mithilfe eines internen Anthropic-Modells eine Lösung für das Euler-Problem mit äußerer Kraft erstellt hatten. In diesen Gesprächen boten wir ihnen Einblick in alle von uns verwendeten Prompts und später auch in den Beweis an. Wir erkennen den Vorrang ihrer Arbeit zum Euler-Problem mit äußerer Kraft an und gratulieren ihnen zu ihrer bemerkenswerten mathematischen Leistung.

Wir, also die Forschenden und die Agenten, erhielten bis zur öffentlichen Veröffentlichung keinerlei Einblick in ihre Arbeit. Insbesondere wurde zur Lösung dieses Problems nicht auf konkrete Nutzerdaten zugegriffen.

Nach einer Untersuchung haben wir bestätigt, dass Buckmasters Codex-Prompts aus den zwei Monaten vor dieser Ankündigung und der Veröffentlichung am 8. September 2026 das System in keiner Weise beeinflusst haben können, auch nicht über das Training. Das für dieses Ergebnis verwendete interne OpenAI-Modell wurde durch groß angelegtes Reinforcement Learning auf Grundlage eines zuvor vortrainierten Modells entwickelt. Auch unsere Beweise unterscheiden sich erheblich. Im Euler-Fall bewiesen Alpöge und Buckmaster ein Ergebnis mit äußerer Kraft, während das System von OpenAI ein Ergebnis ohne äußere Kraft bewies.

Mit der Veröffentlichung dieses Ergebnisses möchten wir über die erheblichen Fortschritte unserer KI-Modelle berichten. Wir beabsichtigen nicht, für dieses Ergebnis den Millennium-Preis zu beanspruchen.

Dieser Meilenstein beruht auf umfangreicher Arbeit von Fachleuten aus Mathematik und KI-Forschung. Dies ist jedoch kein Endpunkt, sondern eine Momentaufnahme der Fortschritte bei der Entwicklung von KI.

Wir glauben, dass nun die nächste Phase des KI-Fortschritts begonnen hat⁠. Die heutigen Ergebnisse liefern dafür weitere Belege. Wir konzentrieren uns darauf, dieses Modell zu verstehen und unsere Erkenntnisse zu nutzen, um weitere Fortschritte bei den Fähigkeiten gezielt zu steuern und ihr Tempo festzulegen. Eines unserer wichtigsten Ziele⁠ ist die Entwicklung von KI-Systemen, die steuerbar, rechenschaftspflichtig und mit Menschen verbunden sind. Während wir weiter daran arbeiten, dass AGI der gesamten Menschheit zugutekommt, könnte dies bewusstere Entscheidungen über das Fortschrittstempo erfordern.