16 април 2025 г.

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Зареждане…

Актуализация от 10 юни 2025 г.: OpenAI o3‑pro вече е достъпен за Pro потребители в ChatGPT, както и в нашия API. Подобно на OpenAI o1‑pro, o3‑pro е версия на нашия най-интелигентен модел, OpenAI o3, създаден да мисли по-дълго и да предоставя най-надеждните отговори. Пълни подробности могат да бъдат намерени в нашите бележки към изданието⁠(отваря се в нов прозорец).

Днес пускаме на пазара OpenAI o3 и o4-mini - най-новите модели от серията o, които са обучени да мислят по-дълго, преди да отговорят. Това са най-интелигентните модели, които сме пускали досега, и представляват значителна промяна във възможностите на ChatGPT за всички – от любопитни потребители до напреднали изследователи. За пръв път нашите модели за разсъждаване могат да използват и комбинират всеки инструмент в ChatGPT – това включва търсене в уеб, анализ на качени файлове и други данни с Python, задълбочени разсъждения за визуални входове и дори генериране на изображения. От решаващо значение е, че тези модели са обучени да разсъждават кога и как да използват инструментите, за да изготвят подробни и обмислени отговори в правилните изходни формати, обикновено за по-малко от минута, за решаване на по-сложни проблеми. Това им позволява да се справят по-ефективно с многостранни въпроси – стъпка към по-агентен ChatGPT, който може самостоятелно да изпълнява задачи от ваше име. Комбинираната сила на най-съвременното разсъждаване с пълен достъп до инструментите води до значително по-висока производителност при академичните критерии и задачите от реалния свят, като поставя нов стандарт за интелигентност и полезност.

Какво се е променило

OpenAI o3 е нашият най-мощен модел за разсъждаване, който разширява границите в кодирането, математиката, науката, визуалното възприятие и други области. Той поставя нов стандарт SOTA на еталони, включително Codeforces, SWE-bench (без да се изгражда специално за модела структуриране) и MMMU. Той е идеален за сложни заявки, които изискват многостранен анализ и чиито отговори може да не са очевидни веднага. Той се справя особено добре с визуални задачи като анализ на изображения, диаграми и графики. При оценките на външни експерти o3 прави с 20% по-малко основни грешки от OpenAI o1 при трудни задачи от реалния свят – особено добре се справя в области като програмиране, бизнес/консултиране и креативни идеи. Първите тестери изтъкнаха неговата аналитична строгост като партньор в мисленето и подчертаха способността му да генерира и критично да оценява нови хипотези – особено в контекста на биологията, математиката и инженерството.

OpenAI o4-mini е по-малък модел, оптимизиран за бързи и икономични разсъждения – той постига забележителна производителност за своя размер и цена, особено при математически, кодиращи и визуални задачи. Това е най-добре представящият се еталонен модел на AIME 2024 и 2025. Въпреки че достъпът до компютър значително намалява трудността на изпита AIME, ние също така открихме, че o4-mini постига 99,5% pass@1 (100% consensus@8) на AIME 2025, когато му е предоставен достъп до интерпретатор на Python. Въпреки че тези резултати не трябва да се сравняват с резултатите на модели без достъп до инструменти, те са един от примерите за това колко ефективно o4-mini използва наличните инструменти; o3 показва подобни подобрения на AIME 2025 от използването на инструменти (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

При експертните оценки o4-mini също така превъзхожда своя предшественик o3‑mini при задачи, които не са свързани с науката за технологиите, както и в домейни като науката за данните. Благодарение на своята ефективност o4-mini поддържа значително по-високи лимити на използване от o3, което го прави надежден вариант с голям обем и висока производителност за въпроси, които се нуждаят от разсъждаване. Външните експертни оценители оцениха и двата модела като демонстриращи подобрено следване на инструкциите и по-полезни, проверими отговори от своите предшественици, благодарение на подобрената интелигентност и включването на уеб източници. В сравнение с предишните итерации на нашите модели за разсъждаване тези два модела трябва да се чувстват по-естествени и разговорни, особено като се позовават на паметта и минали разговори, за да направят отговорите по-персонализирани и подходящи.

Мултимодалност

Програмиране

Всички оценки на SWE-bench използват фиксирано подмножество от n = 477 проверени задачи, които са валидирани в нашата вътрешна инфраструктура.

Спазване на инструкции и използване на агентски инструменти

Всички модели се оценяват при високи настройки на „усилието за разсъждаване“ – подобни на варианти като o4-mini-high в ChatGPT.

Continuing to scale reinforcement learning

Throughout the development of OpenAI o3, we’ve observed that large-scale reinforcement learning exhibits the same “more compute = better performance” trend observed in GPT‑series pretraining. By retracing the scaling path—this time in RL—we’ve pushed an additional order of magnitude in both training compute and inference-time reasoning, yet still see clear performance gains, validating that the models’ performance continues to improve the more they’re allowed to think. At equal latency and cost with OpenAI o1, o3 delivers higher performance in ChatGPT—and we've validated that if we let it think longer, its performance keeps climbing.

We also trained both models to use tools through reinforcement learning—teaching them not just how to use tools, but to reason about when to use them. Their ability to deploy tools based on desired outcomes makes them more capable in open-ended situations—particularly those involving visual reasoning and multi-step workflows. This improvement is reflected both in academic benchmarks and real-world tasks, as reported by early testers.

Мислене чрез изображения

За първи път тези модели могат да интегрират изображения директно в мисловната си верига. Те не просто виждат изображение – те помислят с него. Това разкрива нов клас решаване на проблеми, който съчетава визуално и текстово разсъждаване, което се отразява в най-съвременната им производителност в мултимодални еталони.

Хората могат да качат снимка на бяла дъска, схема от учебник или ръчно нарисувана скица и моделът може да я интерпретира – дори ако изображението е размазано, обърнато или с ниско качество. С помощта на инструменти моделите могат да манипулират изображенията в движение – да ги въртят, увеличават или трансформират като част от процеса на разсъждение.

Тези модели осигуряват най-добрата в класа си точност при задачи, свързани с визуалното възприятие, което им позволява да решават въпроси, които преди това са били недостижими. Разгледайте блога за изследване на визуалното разсъждаване⁠, за да научите повече.

Към агентно използване на инструменти

OpenAI o3 и o4-mini имат пълен достъп до инструменти в ChatGPT, както и до вашите собствени персонализирани инструменти чрез извикване на функции в API. Тези модели са обучени да разсъждават как да решават проблеми, като избират кога и как да използват инструменти, за да изготвят подробни и обмислени отговори в правилните изходни формати бързо – обикновено за по-малко от минута.

Например, потребител може да попита: „Как ще се сравни потреблението на енергия през лятото в Калифорния с това от миналата година?“ Моделът може да търси в интернет данни за обществени услуги, да пише код на Python за изготвяне на прогноза, да генерира графика или изображение и да обяснява ключовите фактори, които стоят зад прогнозата, като обединява множество извиквания на инструменти. Разсъждаването позволява на моделите да реагират и да се адаптират според нуждите към информацията, която срещат. Например те могат да търсят в интернет многократно с помощта на доставчици на услуги за търсене, да преглеждат резултатите и да опитват нови търсения, ако се нуждаят от повече информация.

Този гъвкав, стратегически подход позволява на моделите да решават задачи, които изискват достъп до актуална информация извън вградените в модела знания, разширени разсъждения, синтез и генериране на изходи в различни модалности.

Всички примери бяха изпълнени с OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Разсъждаваше относно конструирането на полиноми в продължение на 55 секунди

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Размисъл за 1 минута и 19 секунди

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 получава правилен отговор, без да използва търсене, докато o1 не успява да предостави правилен отговор.

Усъвършенстване на икономически ефективното разсъждаване

Съотношение цена/производителност: o3‑mini и o4-mini

Оценки на AIME за OpenAI o3-mini и o4-mini

Оценки на GPQA за OpenAI o3-mini и o4-mini

Съотношение цена/производителност: o1 и o3

OpenAI o3 и o4-mini са най-интелигентните модели, които някога сме пускали, и често са по-ефективни от своите предшественици – OpenAI o1 и o3‑mini. Например на математическото състезание AIME 2025, границата на разходите и производителността за o3 се подобрява стриктно спрямо o1, и по същия начин, границата на o4-mini се подобрява стриктно спрямо o3‑mini. По-общо казано, очакваме, че за повечето реални употреби o3 и o4-mini ще бъдат и по-интелигентни, и по-евтини от o1 и o3‑mini, съответно.

Safety

Each improvement in model capabilities warrants commensurate improvements to safety. For OpenAI o3 and o4-mini, we completely rebuilt our safety training data, adding new refusal prompts in areas such as biological threats (biorisk), malware generation, and jailbreaks. This refreshed data has led o3 and o4-mini to achieve strong performance on our internal refusal benchmarks (e.g., instruction hierarchy⁠, jailbreaks). In addition to strong performance for model refusals, we have also developed system-level mitigations to flag dangerous prompts in frontier risk areas. Similar to our earlier work in image generation⁠, we trained a reasoning LLM monitor which works from human-written and interpretable safety specifications. When applied to biorisk, this monitor successfully flagged ~99% of conversations in our human red‑teaming campaign.

We stress tested both models with our most rigorous safety program to date. In accordance with our updated Preparedness Framework⁠, we evaluated o3 and o4-mini across the three tracked capability areas covered by the Framework: biological and chemical, cybersecurity, and AI self-improvement. Based on the results of these evaluations, we have determined that both o3 and o4‑mini remain below the Framework's "High" threshold in all three categories. We have published the detailed results from these evaluations in the accompanying system card⁠.⁠

Codex CLI: разсъждение от най-висок клас в терминала

Споделяме и нов експеримент: Codex CLI, лек агент за кодиране, който можете да стартирате от терминала си. Той работи директно на вашия компютър и е проектиран да максимизира възможностите за разсъждаване на модели като o3 и o4-mini, с предстояща поддръжка на допълнителни API модели като GPT‑4.1⁠.

Можете да се възползвате от предимствата на мултимодалните разсъждения от командния ред, като предавате на модела екранни снимки или скици с ниска степен на достоверност, съчетани с локален достъп до вашия код. Смятаме го за минимален интерфейс за свързване на нашите модели с потребителите и техните компютри. Codex CLI е изцяло с отворен код на адрес github.com/openai/codex⁠(отваря се в нов прозорец) днес.

Наред с това стартираме инициатива на стойност 1 милион USD в подкрепа на проекти, използващи моделите Codex CLI и OpenAI. Ще оценяваме и приемаме приложения за грантове на стойност 25 000 USD под формата на API кредити. Предложенията могат да се изпращат тук.

Достъп

Потребителите на ChatGPT Plus, Pro и Team от днес ще виждат o3, o4-mini и o4-mini-high в селектора на моделите, като ще заменят o1, o3‑mini и o3‑mini‑high. Потребителите на ChatGPT Enterprise и Edu ще получат достъп след една седмица. Безплатните потребители могат да изпробват o4-mini, като изберат „помисли“ в композитора преди да изпратят заявката си. Ограниченията на скоростта за всички планове остават непроменени спрямо предишния набор от модели.

Очакваме до няколко седмици да пуснем OpenAI o3‑pro с пълна поддръжка на инструментите. Засега потребителите на Pro все още имат достъп до o1‑pro.

И o3, и o4-mini са достъпни за разработчиците днес чрез API за завършване на чат и API за отговори (някои разработчици ще трябва да проверят своите организации⁠(отваря се в нов прозорец), за да получат достъп до тези модели). API за отговори поддържа резюмета на разсъжденията, възможност за запазване на токените на разсъжденията около извикванията на функции за по-добра производителност и скоро ще поддържа вградени инструменти като търсене в уеб, търсене във файлове и интерпретатор на код в рамките на разсъждаването на модела. За да започнете, изследвайте нашата документация⁠(отваря се в нов прозорец) и следете за още актуализации.

What's next

Today's updates reflect the direction our models are heading in: we’re converging the specialized reasoning capabilities of the o-series with more of the natural conversational abilities and tool use of the GPT‑series. By unifying these strengths, our future models will support seamless, natural conversations alongside proactive tool use and advanced problem-solving.

Update on July 28, 2025: SWE-Lancer dataset and results updated as of July 17, 2025, available at: https://github.com/openai/preparedness⁠(отваря се в нов прозорец) and in our system cards. This update resolves several issues that were impacting the dollars earned results and removes the requirement for internet connectivity during execution, eliminating a primary source of variability in model performance.

Update on April 16, 2025: results for o3 on Charxiv-r and Mathvista were updated to reflect a system prompt change that wasn't present in the original evaluation.

Повторение на излъчване в реално време

Автор

OpenAI

Бележки под линия

* Цифрите за оценка на tau-bench са осреднени за 5 изпълнения, за да се намали дисперсията, и се изпълняват без никакви персонализирани инструменти или подкани. Установихме, че пусканията на дребно с tau-bench са по-склонни към грешки в потребителския модел. Числата за сенчестата лента са изпълнени с GPT-4.1 като потребителски модел, тъй като той е значително по-добър от GPT-4o при следването на инструкции.

* SWE-bench използва 256k максимална дължина на контекста, което подобрява скоростта на решаване за o4-mini с около 3% и влияе на скоростта на решаване на o3 с <1%. Също така изключваме 23 проби, които не могат да бъдат изпълнени на нашата вътрешна инфраструктура.

** Когато се активира сърфирането, моделът понякога може да намери точни отговори онлайн, например чрез четене на публикации в блогове с примерни задачи от набор от данни. Ние смекчаваме опасенията от измама на модела по време на сърфиране с две стратегии:

Блокирани домейни, от които сме наблюдавали измама на модела в миналото.
Използва се модел за разсъждаване като монитор, който изследва всички токени при всеки опит, за да идентифицира подозрително поведение. Подозрителното поведение се дефинира като „страница, файл или фрагмент, чиято основна цел е да предостави точния отговор на този конкретен въпрос – например официален ключ за оценяване, изтекла информация за „решенията“ или дискусия, в която се цитира дословно готовият отговор.“ Добронамереното поведение се определя като „Всеки авторитетен ресурс, до който може да се допита прилежен човек (документация, ръководства, научни статии, реномирани статии), дори ако случайно съдържа верния отговор.“ Всички опити, при които наблюдателят е сметнал разгръщането за подозрително, се отчитат като неправилни. Повечето неуспешни проби при тази проверка бяха проблеми, чието точно решение беше достъпно в множество интернет източници, несвързани с HLE.

И накрая, нашите оценки при сърфиране може да не са напълно възпроизводими в API на OpenAI поради разликата в бекендите на търсачките между ChatGPT и API на OpenAI. Тези резултати са предназначени да бъдат представителни за опита на потребителите на ChatGPT, но в зависимост от търсенето, конфигурацията на търсенето може да се променя с времето.

Сътрудници

Адитя Сингх, Аарън Шлезингер, Адам Фрай, Адам Лерер, Адам Перелман, Адам Уокър, Ахмед Ел-Кишки, Айдън Кларк, Айдън Маклафлин, Айдън Лоу, Акила Уелихинда, Акшай Нейтън, Александър Мадри, Александра Спира, Алекс Карпенко, Алекс Нейц, Алекс Тачард Пасос, Алекс Уей, Александър Прокофиев, Александър Зиленски, Александра Бар, Алексей Иванов, Алекси Кристакис, Алфред Сюе, Алисън Там, Али Бенет, Али Бенет, Амелия Лиу, Ейми Макдоналд Санджиде, Ананя Кумар, Андре Сарайва, Андреа Валоне, Андрю Чен, Андрю Дюберщайн, Андрю Гибиански, Андрю Кондрич, Андрю Тулох, Андрей Мишченко, Анди Апълбаум, Анди Уанг, Анджела Баек, Ани Уей, Антинг Шен, Антоан Пелис, Анудж Сахаран, Арун Виджайвергия, Ашли Тайра, Ашвин Наир, Ави Наяк, Авитал Оливър, Бехруз Горбани, Белинда Труонг, Бен Соколовски, Бет Хувър, Бо Сю, Боаз Барак, Бохан Джанг, Борис Минаиев, Ботао Хао, Боуен Бейкър, Боуен Ченг, Брандън Маккинзи, Брандън Уанг, Брайън Хсу, Брайън Янг, Брайън Ю, Брайън Джанг, Камило Лугареси, Каролина Пас, Карпус Чанг, Кари Басин, Кари Хъдсън, Кейси Чу, Чак Ли, Чарлз Джао, Чарли Джат, Шарлот Коул, Челси Вос, Чен Шен, Ченгсю Джуанг, Крис Колби, Крис Халаси, Крис Кох, Кристина Каплан, Кристина Ким, Колин Рийд, Колин Уей, Кристина Шоу, Д. Скъли, Деймиън Девил, Дан Робъртс, Дана Палми, Дейн Стъки, Даниел Левин, Дейвид Ху, Дейвид Мартин, Дейвид Робинсън, Дейвид Сасаки, Дейвис Ву, Дерек Чен, Дибия Бхатачарджи, Димитрис Ципрас, Дингхуа Ли, Диджей Строус, Дмед Медина, Дрю Хинц, Еди Джанг, Едмънд Уонг, Илейн Я Ле, Ели Яни, Елизабет Проел, Емили Соколова, Енох Чеунг, Ери Шварц, Ерик Мичъл, Ерик Нинг, Ерик Сиглър, Ерик Уолъс, Евгенио Панеро, Еван Мейс, Евгений Никишин, Фан Уанг, Фангюан Ли, Филипо Расо, Фойвос Цимпурлас, Фуад Матин, Франсис Сонг, Франсис Джанг, Гари Янг, Джийн Оден, Джиамбатиста Параскандоло, Жилдас Шабо, Грейс Ким, Грейс Джао, Грег Брокман, Грегъри Валиант, Гийом Леклерк, Хади Салман, Хайтън Ху, Хана Шийхан, Хао Шенг, Хаою Уанг, Енрике Понде де Оливейра Пинто, Хенри Аспегрен, Хеквинг Ян, Хесам Багеринежад, Хонгю Рен, Хънтър Лайтман, Хьонву Нох, Иън Кивличан, Иън Сол, Игнаси Клавера, Икай Лан, Илге Аккая, Иля Костриков, Ирина Кофман, Иса Фулфорд, Джейк Брил, Якуб Пахоцки, Джеймс Беткер, Джеймс Лий, Джеймс Цин, Джейми Кирос, Джейсън Ай, Джей Уанг, Джийн Харб, Джеф Мики, Джефри Хан, Джефри Уанг, Джереми Чен, Джери Турек, Джесика Лианг, Джесика Ший, Джи Лин, Джиахуи Ю, Джианфън Уанг, Джи Танг, Джихан Ин, Джинг Ли, Джоан Джанг, Джоел Морис, Йоханес Ферстад, Йоханес Хайдека, Джон Фишбейн, Джон Окун, Джонатан Гордън, Йоост Хюзинга, Джос Краайевелд, Джоузеф Мо, Джош Лоусън, Джош Тобин, Джунхуа Мао, Кай Чен, Кай Хаяши, Каран Сингхал, Карина Нгуен, Кейти Ши, Кели Стирман, Кенджи Хата, Кени Нгуен, Керен Гу-Лемберг, Кевин Гладстоун, Кевин Кинг, Кевин Лиу, Кевин Лу, Кевин Парк, Кевин Стоун, Кевин Уейл, Кевин Уинъри, Кевин Ю, Коте Мушегиани, Кристен Йинг, Кристиан Георгиев, Кшитидж Гупта, Кайл Косик, Лама Ахмад, Лари Лв, Лорън Итоу, Лорън Янг, Лий Байрон, Лео Чен, Лео Лиу, Леон Максин, Лейтън Хо, Ли Джинг, Лян Сионг, Лин Янг, Линден Ли, Лоренц Кун, Луис Фьовриер, Лу Джанг, Лукаш Кайзер, Махмуд Еариби, Мая Тръбач, Манас Джоглекар, Маноли Лиодакис, Манука Страта, Марк Чен, Марк Хъднал, Марк Сън, Марк Уанг, Мартин Ли, Марвин Джанг, Матеуш Литвин, Мат Джоунс, Мат Лим, Макс Джонсън, Макс Шварцер, Маянк Гупта, Меган Шах, Менгкин Уанг, Менгюан Ян, Миа Глейз, Майкъл Болин, Майкъл Лампе, Майкъл Малек, Майкъл Шарман, Майкъл Джанг, Мишел Уанг, Мишел Покрас, Мигел Оом Темудо де Кастро, Михай Флориан, Майк Макклей, Майк Тръпчич, Мики Хабрин, Майлс Уанг, Минг Чен, Мингсуан Уанг, Миниа Фенг, Мичъл Гордън, Мо Бавариън, Мостафа Роханинеджад, Начо Сото, Накул Кана, Нат Макалийз, Натали Стаудахер, Нейтън Лафонтен, Нийл Аджарапу, Ник Фелт, Ник Търли, Никил Панча, Никита Михайлин, Нико Феликс, Никундж Ханда, Нинг Лиу, Нишант Рай, Ноа Йоргенсен, Ноам Браун, Олег Бойко, Олег Мърк, Оливия Уоткинс, Оливие Годеман, Уна Глейсън, Пол Ашбърн, Павел Белов, Питър Флокхарт, Питър Хоешеле, Питър Жохов, Филип Пронин, Филип Гуо, Фийби Такър, Прафула Дхаривал, Прашант Р, Рейчъл Диас, Рахул Арора, Раджкумар Самуел, Расмус Ригаард, Рави Теджа Мулапуди, Реймънд Ли, Раз Гаон, Реа Мияра, Рейичиро Накано, Реймар Лейке, Рени Сонг, Ритъм Гарг, РД Марсан, Робърт Ксионг, Робин Браун, Роман Циупа, Руи Шу, Руслан Нигматулин, Саачи Джейн, Саагар Пател, Сам Алтман, Сам Тойзър, Сам Тойер, Самир Ахмед, Самуел Мизерендино, Самуел Уолрич, Сандини Агарвал, Сантяго Ернандес, Сара Донг, Савана Хеон, Скот Етърсмит, Скот Майер Маккини, Шон Фицджералд, Север Банесиу, Шамес Хемани, Шенгджия Джао, Шенгли Ху, Шибани Сантуркар, Шреяс Кришнасвами, Шучао Би, Шуню Яо, Шуюан Джан, Симон Посада Фишман, Спенсър Папай, Спуг Голдън, Сринивас Нараянан, Стенли Хсие, Стивън Логсдън, Съндийп Тирумаларедди, Тал Страмър, Тао Уанг, Тао Син, Тейлър Гордън, Теджал Патвардхан, Тибо Сотио, Тина Срискандараджа, Тони Каспаро, Тони Джао, Тревър Крийч, Узайр Навид Ифтихар, Валери Ци, Винийт Косараджу, Вишал Куо, Вичир Понг, Вивек Верма, Влад Петров, Уенда Джоу, Уенлей Сие, Уентинг Джан, Уил ДеПуе, Уил Елсуърт, Уилям Шу, Уайът Томпсън, Яминг Лин, Ян Дюбоа, Яодонг Ю, Яра Хакбаз, Яш Патил, Ифан Ву, Илонг Цин, Ининг Чен, Ируи Джан, Йо Шавит, Йънг Ча, Юнюн Уанг, Юши Уанг, Зак Султан, Зехао Доу, Зевей Чу, Джън Шао, Жиганг Уанг, Жишуай Джанг, Зихао Джанг