数学与理论计算机科学的十项进展

我们希望为科学家和数学家提供加速探索发现的工具。正因如此，我们最近宣布推出面向学术研究人员的 ChatGPT⁠计划，为10万名科学家和数学家免费提供我们最出色的 ChatGPT 模型。在开发过程中，我们也继续通过开放性研究问题评估模型。

今年5月，我们分享了对 Erdős 单位距离猜想的AI 生成的反证⁠，这是在评估一个尚未发布的模型时发现的。这项工作已经推动了数学和理论计算机科学领域的进一步发展¹。今天，我们将分享十项成果，其中每一项都解决了一个长期悬而未决的问题，或在相关问题上取得了实质性进展。这些问题横跨高维几何、编码理论、算术电路复杂性、群论、算子代数、量子复杂性、格密码学和极值组合学。所有这些问题都受到各自数学研究领域的高度关注，其中数项在整个数学界也具有广泛意义。

我们针对以下问题给出了新的研究成果。这些成果由我们的下一代重要模型 Astra 的内部版本取得。按照 Sol API 的费率，找到这些问题的解法所需的 token 总量成本约为2,000美元。随后，研究人员使用同一模型将这些论证整理成论文稿件。之后，该模型将每项论证形式化为一份 Lean 证书⁠（在新窗口中打开）。我们还将为每种解法发布由模型讲述的思考过程。

1. 高维球体堆积。将球体堆积密度的上界降至 Cohn–Elkies 阈值的新成果。
2. 二元码与球面码：对于任意指定的最小距离，将二元码最大规模的界限以指数幅度改进，并为高维球面码得出了类似结果。
3. 非 sofic 群。通过构造证明非 sofic 群的存在，回答了群论中的一个核心开放问题。
4. Connes 刚性猜想。反驳了一个长期存在的猜想：某些群可由其冯·诺依曼代数唯一确定。
5. 算术电路复杂性。针对使用算术电路和公式计算积和式给出新的下界，其中包括阶为 n⁴/log n 的算术公式下界。
6. 量子并行重复。为一般的双参与者量子博弈证明指数级并行重复定理，将经典复杂性理论中的一项基础原理推广至量子领域。
7. 最近向量问题。证明最近向量问题具有多项式因子的近似困难性；这是一个与后量子密码学相关的基础格问题。
8. Ehrhart 体积猜想。在每个维度中，确定仅以质心为内部格点的凸体所能达到的最大体积。
9. 多色 Ramsey 数。给出多色三角形 Ramsey 数的超指数下界，解决 Erdős 第183号问题。
10. 极值数猜想。得出极值图论中有关紧致性猜想与退化性猜想的成果，解决 Erdős 第146号和第180号问题。

能够为数学研究作出贡献的系统开始涌现，由此产生的问题无法仅靠一家科技公司回答。对于 AI 应在数学领域发挥怎样的作用，人们有许多不同观点。对于担忧其影响的人士，包括《关于 AI 与数学的莱顿宣言》⁠（在新窗口中打开）的签署者，我们深表尊重，也充分理解他们的关切。我们认为，成果署名应如实反映其产生方式：如果一项证明完全由 AI 系统生成，却声称作者是人类，就会歪曲系统作出的贡献，也会误述真正的人类智力劳动的性质。我们协助整理了论文稿件，并在 Lean 中将证明形式化，也会为其正确性负责；但数学论证本身是由我们的系统生成的。我们希望数学界能深入探讨这些成果，将其置于相应的研究背景中，并通过新的研究与发现，让其中的思想焕发生命力。

随着 AI 系统逐渐成为更成熟的研究协作者，确保其得到广泛使用至关重要。这将支持科学家和数学家在这个变革时代探索并塑造各自学科的未来。