ความก้าวหน้า 10 ประการในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี
เรามุ่งมั่นที่จะส่งเสริมให้นักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์มีเครื่องมือที่ช่วยให้ค้นพบสิ่งใหม่ๆ ได้รวดเร็วยิ่งขึ้น ด้วยเหตุนี้เราจึงเพิ่งเปิดตัวโครงการ ChatGPT for Academic Researchers ซึ่งมอบสิทธิ์ให้นักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ 100,000 คนใช้งานโมเดล ChatGPT ที่ดีที่สุดของเราได้ฟรี นอกจากนี้เรายังประเมินความสามารถของโมเดลกับโจทย์วิจัยแบบเปิดอย่างต่อเนื่องในระหว่างการพัฒนา
เมื่อเดือนพฤษภาคม เราได้เผยแพร่บทพิสูจน์หักล้างที่สร้างโดย AI สำหรับข้อคาดการณ์ระยะหนึ่งหน่วยของ Erdős ซึ่งค้นพบระหว่างการประเมินโมเดลที่ยังไม่เปิดตัว ผลงานนี้ได้จุดประกายให้เกิดการพัฒนาต่อยอดในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีแล้ว1 วันนี้เราขอนำเสนอผลงานที่คัดเลือกมา 10 รายการ ซึ่งแต่ละรายการได้แก้ปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบมาเป็นเวลานาน หรือสร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญในการศึกษาโจทย์ดังกล่าว ปัญหาเหล่านี้ครอบคลุมเรขาคณิตมิติสูง ทฤษฎีการเข้ารหัส ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต ทฤษฎีกลุ่ม พีชคณิตตัวดำเนินการ ความซับซ้อนเชิงควอนตัม วิทยาการเข้ารหัสลับแบบแลตทิซ ไปจนถึงคณิตศาสตร์เชิงการจัดแบบขั้นสุด ปัญหาทั้งหมดล้วนมีความสำคัญอย่างมากต่อชุมชนนักคณิตศาสตร์ในสาขาที่เกี่ยวข้อง และหลายปัญหายังได้รับความสนใจจากวงการคณิตศาสตร์ในวงกว้าง
ต่อไปนี้คือผลลัพธ์ใหม่ที่ได้จาก Astra เวอร์ชันภายใน ซึ่งเป็นโมเดลหลักรุ่นถัดไปของเรา จำนวนโทเค็นทั้งหมดที่ใช้ค้นหาคำตอบของปัญหาเหล่านี้จะมีค่าใช้จ่ายประมาณ 2,000 ดอลลาร์สหรัฐ หลังจากนั้น มนุษย์ได้ใช้โมเดลเดียวกันช่วยจัดทำกระบวนการให้เหตุผลเหล่านี้เป็นต้นฉบับงานวิจัย แล้วโมเดลจึงแปลงกระบวนการให้เหตุผลแต่ละรายการเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบได้ด้วย Lean Certificate(เปิดในหน้าต่างใหม่) พร้อมกันนี้ เรายังเผยแพร่คำบรรยายจากโมเดลที่อธิบายกระบวนการคิดเบื้องหลังคำตอบแต่ละรายการด้วยหากคิดตามอัตราค่าบริการ Sol API
- การจัดเรียงทรงกลมในพื้นที่ที่มีจำนวนมิติสูง การกำหนดขอบเขตบนใหม่ของความหนาแน่นในการบรรจุทรงกลม จนถึงระดับเกณฑ์ Cohn–Elkies
- รหัสไบนารีและรหัสทรงกลม: การปรับปรุงขอบเขตของขนาดสูงสุดของรหัสไบนารีให้ดีขึ้นในระดับเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกับระยะห่างขั้นต่ำที่กำหนด และผลลัพธ์ในลักษณะเดียวกันสำหรับรหัสทรงกลมในมิติสูง
- กลุ่มที่ไม่ใช่โซฟิก การสร้างตัวอย่างที่พิสูจน์ว่ามีกลุ่มที่ไม่ใช่โซฟิกอยู่จริง ซึ่งช่วยตอบคำถามสำคัญที่ยังไม่มีคำตอบในทฤษฎีกลุ่ม
- ข้อคาดการณ์เกี่ยวกับความแข็งของ Connes การพิสูจน์หักล้างข้อคาดการณ์สำคัญที่มีมาอย่างยาวนานว่า กลุ่มบางประเภทถูกกำหนดโดยพีชคณิต von Neumann ของตนเพียงแบบเดียวเท่านั้น
- ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต การค้นพบขอบเขตล่างใหม่ของการคำนวณเพอร์มาเนนต์ด้วยวงจรและสูตรเลขคณิต รวมถึงขอบเขตล่างของสูตรเลขคณิตที่มีลำดับเป็น n4/log n
- การทำซ้ำแบบขนานเชิงควอนตัม ทฤษฎีบทการทำซ้ำคู่ขนานแบบเลขชี้กำลังสำหรับเกมควอนตัมทั่วไปที่มีผู้เล่นสองคน โดยขยายผลจากหลักการพื้นฐานในทฤษฎีความซับซ้อนแบบคลาสสิก
- ปัญหาการหาเวกเตอร์ที่ใกล้ที่สุด ความยากในการประมาณคำตอบของปัญหาเวกเตอร์ที่ใกล้ที่สุดภายในตัวประกอบแบบพหุนาม ซึ่งเป็นโจทย์พื้นฐานในทฤษฎีแลตทิซและเกี่ยวข้องกับการเข้ารหัสลับหลังยุคควอนตัม
- ข้อคาดการณ์เรื่องปริมาตรของ Ehrhart การหาปริมาตรสูงสุดที่เป็นไปได้ในทุกมิติของรูปทรงนูนที่มีจุดแลตทิซภายในเพียงจุดเดียว ซึ่งจุดนั้นเป็นจุดศูนย์ถ่วงของรูปทรง
- จำนวนเลขแรมซีย์แบบหลายสี ผลลัพธ์ขอบเขตล่างแบบเหนือเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนแรมซีย์ของสามเหลี่ยมที่ใช้หลายสี ซึ่งแก้ปัญหา Erdős ข้อ 183 ที่ยังไม่มีคำตอบได้สำเร็จ
- ข้อคาดการณ์เกี่ยวกับจำนวนสุดขั้ว: ผลลัพธ์เกี่ยวกับข้อคาดการณ์ด้านความกะทัดรัดและความเสื่อมในทฤษฎีกราฟสุดขั้ว ซึ่งแก้ปัญหาข้อที่ 146 และ 180 ของ Erdős ได้สำเร็จ
ระบบที่สามารถมีส่วนร่วมในการวิจัยทางคณิตศาสตร์ได้ก่อให้เกิดคำถามสำคัญซึ่งบริษัทเทคโนโลยีไม่อาจตอบได้โดยลำพัง ผู้คนมีมุมมองที่หลากหลายเกี่ยวกับบทบาทของ AI ในวงการคณิตศาสตร์ และเราเคารพพร้อมเข้าใจเป็นอย่างดีถึงข้อกังวลของผู้ที่ห่วงใยผลกระทบของเทคโนโลยีนี้ ซึ่งรวมถึงผู้ลงนามใน Leiden Declaration on AI and Mathematics(เปิดในหน้าต่างใหม่) เราเชื่อว่าการให้เครดิตต้องสะท้อนกระบวนการสร้างผลลัพธ์อย่างตรงไปตรงมา การอ้างว่ามนุษย์เป็นผู้เขียนบทพิสูจน์ที่ระบบ AI สร้างขึ้นทั้งหมด ย่อมบิดเบือนทั้งบทบาทของระบบและธรรมชาติของงานทางปัญญาที่มนุษย์สร้างสรรค์ขึ้นอย่างแท้จริง เรามีส่วนช่วยเตรียมต้นฉบับและจัดทำบทพิสูจน์ในรูปแบบเชิงรูปนัยด้วย Lean พร้อมทั้งรับผิดชอบต่อความถูกต้องของผลงานเหล่านี้ ส่วนกระบวนการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์นั้นสร้างขึ้นโดยระบบของเรา เราหวังว่าชุมชนนักคณิตศาสตร์จะร่วมพิจารณาผลลัพธ์เหล่านี้อย่างลึกซึ้ง ทำความเข้าใจผลลัพธ์ภายใต้บริบทที่เหมาะสม และนำแนวคิดเบื้องหลังไปต่อยอดให้เกิดผลผ่านการวิจัยและการค้นพบใหม่ๆ
เมื่อระบบ AI พัฒนาไปสู่การเป็นผู้ร่วมงานด้านการวิจัยที่มีความสามารถซับซ้อนยิ่งขึ้น การเปิดโอกาสให้เข้าถึงระบบเหล่านี้ได้อย่างทั่วถึงจึงเป็นรากฐานสำคัญในการสนับสนุนนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ในการสำรวจและกำหนดอนาคตของศาสตร์แขนงต่างๆ ท่ามกลางยุคแห่งการเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญ
เชิงอรรถ
- 1
งานวิจัยต่อยอดประกอบด้วย Bloom, Sawin, Schildkraut และ Zhelezov, “The sum-product conjecture is false for real numbers(เปิดในหน้าต่างใหม่)”; Pohoata, “Split primes and the Elekes-Rónyai problem(เปิดในหน้าต่างใหม่)”; Saha, Xu และ Ye, “Furthest Pair Requires Quadratic Time in Superconstant Dimension under SETH(เปิดในหน้าต่างใหม่)”; Goh และ Hatami, “Communication complexity of point-line incidences over the reals(เปิดในหน้าต่างใหม่)”; และ Lee, Pohoata และ Zhu, “The Minkowski grid has robustly many repeated distances(เปิดในหน้าต่างใหม่)”
