Deset dosežkov v matematiki in teoretičnem računalništvu

Znanstvenikom in matematikom želimo ponuditi orodja, ki pospešujejo odkritja. Zato smo nedavno napovedali pobudo ChatGPT za akademske raziskovalce⁠, ki 100.000 znanstvenikom in matematikom omogoča brezplačen dostop do naših najboljših modelov ChatGPT. Med razvojem svoje modele še naprej preizkušamo tudi na odprtih raziskovalnih problemih.

Maja smo objavili ovržbo, ki jo je ustvarila umetna inteligenca⁠, za Erdősevo domnevo o enotskih razdaljah. Odkrili smo jo med preizkušanjem še neobjavljenega modela. To delo je že spodbudilo nadaljnji razvoj v matematiki in teoretičnem računalništvu¹. Danes predstavljamo izbor desetih rezultatov, od katerih vsak reši dolgoletni odprti problem ali pomeni velik napredek pri njegovem reševanju. Ti problemi segajo na področja visokorazsežne geometrije, teorije kodiranja, kompleksnosti aritmetičnih vezij, teorije grup, operatorskih algeber, kvantne kompleksnosti, mrežne kriptografije in ekstremalne kombinatorike. Vsi ti problemi so zelo pomembni za ustrezne matematične skupnosti, več pa jih je pomembnih tudi za matematiko kot celoto.

Predstavljamo nove rezultate za naslednje probleme. Rezultate je dosegla interna različica Astre, našega naslednjega velikega modela. Skupno število žetonov, potrebnih za iskanje rešitev teh problemov, bi po cenah vmesnika Sol API stalo približno 2.000 USD. Ljudje so nato z istim modelom te argumente oblikovali v rokopise. Model je nato vsak argument formaliziral v potrdilu Lean⁠(odpre se v novem oknu). Za vsako rešitev objavljamo tudi modelov opis njegovega procesa razmišljanja.

1. Pakiranje sfer v visokih razsežnostih. Nove zgornje meje gostote pakiranja sfer vse do praga Cohna in Elkiesa.
2. Binarne in sferične kode: Eksponentno izboljšane meje največje velikosti binarnih kod pri poljubni predpisani najmanjši razdalji ter analogni rezultati za visokorazsežne sferične kode.
3. Nesofične grupe. Konstrukcija, ki dokazuje obstoj nesofičnih grup in obravnava osrednje odprto vprašanje v teoriji grup.
4. Connesova domneva o togosti. Ovržba dolgoletne domneve, da njihove von Neumannove algebre enolično določajo nekatere grupe.
5. Kompleksnost aritmetičnih vezij. Nove spodnje meje za izračun permanente z aritmetičnimi vezji in formulami, vključno s spodnjo mejo za aritmetične formule reda n⁴/log n.
6. Kvantno vzporedno ponavljanje. Izrek o eksponentnem vzporednem ponavljanju za splošne kvantne igre dveh igralcev, ki razširja temeljno načelo klasične teorije kompleksnosti.
7. Problem najbližjega vektorja. Težavnost aproksimacije problema najbližjega vektorja s polinomskim faktorjem, temeljnega vprašanja o mrežah, povezanega s postkvantno kriptografijo.
8. Ehrhartova domneva o prostornini. Določitev največje mogoče prostornine konveksnega telesa v vsaki razsežnosti, pri katerem je težišče edina notranja točka mreže.
9. Večbarvna Ramseyjeva števila. Supereksponentna spodnja meja za večbarvna trikotniška Ramseyjeva števila, ki rešuje Erdősev problem 183.
10. Domneve o ekstremalnih številih. Rezultati o domnevah glede kompaktnosti in degeneriranosti v ekstremalni teoriji grafov, ki rešujejo Erdőseva problema 146 in 180.

Pojav sistemov, ki lahko prispevajo k matematičnim raziskavam, odpira vprašanja, na katera tehnološko podjetje samo ne more odgovoriti. O vlogi umetne inteligence v matematiki obstaja veliko pogledov. Globoko spoštujemo in razumemo vse, ki jih skrbi njen vpliv, vključno s podpisniki Leidenske deklaracije o umetni inteligenci in matematiki⁠(odpre se v novem oknu). Menimo, da mora navedba avtorstva pošteno odražati nastanek rezultata: če bi dokaz, ki ga je v celoti ustvaril sistem umetne inteligence, pripisali človeku, bi napačno predstavili tako prispevek sistema kot naravo pristnega človeškega intelektualnega dela. Pomagali smo pripraviti rokopise in formalizirati dokaze v sistemu Lean ter prevzemamo odgovornost za njihovo pravilnost, same matematične argumente pa je ustvaril naš sistem. Upamo, da bo matematična skupnost te rezultate temeljito obravnavala, jih umestila v kontekst ter z novimi raziskavami in odkritji oživila ideje v njihovem ozadju.

Ko se sistemi umetne inteligence razvijajo v vse bolj izpopolnjene raziskovalne sodelavce, je široka dostopnost ključna za podporo znanstvenikom in matematikom, ki v tem prelomnem obdobju raziskujejo in oblikujejo prihodnost svojih ved.