O Navier-Stokesovem nagradnem milenijskem problemu

Objavljamo rešitev problema obstoja in gladkosti Navier-Stokesovih enačb, enega od milenijskih problemov, za rešitev katerih je ponujena nagrada. Ta dokaz, ki ga je izdelal interni sistem OpenAI, kaže, da lahko dinamika Navier-Stokesovih enačb za gibanje tekočin v končnem času razvije singularnost. Objavljamo tako zapis dokaza kot njegovo formalizacijo v Leanu.

Nagradni milenijski problemi⁠(odpre se v novem oknu) sodijo med najgloblja vprašanja na meji sodobne matematike. Vprašanje, ali lahko gladko tridimenzionalno gibanje tekočine izgubi pravilnost, je približno 90 let ostalo nerešeno.

Pomemben cilj našega dela je znanstvenikom omogočiti napredek raziskav in tehnologije v korist vsega človeštva. Za rešitev Navier-Stokesovega problema smo uporabili interni model, ki je bistveno zmogljivejši od modela GPT‑6 Astra. Menimo, da je pomembno svet obveščati o hitrosti napredka umetne inteligence in o tem, kaj lahko pričakujemo od prihajajočih modelov.

Navier-Stokesove enačbe z Newtonovim drugim zakonom gibanja (»F = ma«) opisujejo gibanje tekočin. Pomembno je, da tekočino obravnavajo kot zvezno snov, namesto da bi sledile posameznim molekulam. Te enačbe se uporabljajo pri konstruiranju letal, napovedovanju vremena in preučevanju pretoka krvi.

Temeljno odprto vprašanje pri teh dinamičnih enačbah je bilo, ali lahko približek tekočine kot kontinuuma odpove. Natančneje: ali lahko Navier-Stokesove enačbe za tridimenzionalno nestisljivo tekočino s konstantno gostoto razvijejo »singularnost«, tudi če je gibanje sprva gladko? Singularnost tu pomeni, da zaradi dinamike hitrost tekočine v končnem času neomejeno naraste. Singularnost bi morala nastati kljub viskoznosti, ki gibanje praviloma gladi. Ker se resnična tekočina ne more gibati neskončno hitro, bi to pomenilo, da enačbe tekočine ne opisujejo več ustrezno. Za nadaljnje modeliranje sistema bi bilo nato treba spremljati vedenje vsakega delca posebej.

Enačbe izvirajo iz dela Clauda-Louisa Navierja in Georgea Gabriela Stokesa v 19. stoletju. Jean Leray je leta 1934 dokazal obstoj rešitev v posplošenem smislu, vprašanje, ali vedno ostanejo gladke, pa je postalo eno osrednjih nerešenih vprašanj. Clayev matematični inštitut je leta 2000 problem obstoja in gladkosti Navier-Stokesovih enačb uvrstil med sedem nagradnih milenijskih problemov.

Naš sistem je izdelal analitični dokaz in formalizacijo v Leanu, da lahko sprva gladka mirujoča tekočina v končnem času razvije singularnost. Na tekočino deluje gladka sila, njena energija pa ostane končna skozi celotno dinamiko, od mirovanja do nastanka singularnosti. S tem je Navier-Stokesov nagradni milenijski problem rešen z dokazom trditve »C« (in tudi »D«) v uradni formulaciji milenijske nagrade⁠(odpre se v novem oknu).

Rešitev je vrtinec, vrteči se tok tekočine, ki se spiralno pomika navznoter in postaja vse bolj raztegnjen, podobno kot špaget. To osrednje območje se krči in hkrati pospešuje tako, da njegova energija še vedno ostaja končna, kot zahtevajo zakoni fizike. Tehnični izziv je doseči, da se izguba pravilnosti v enačbah razvije zaradi samega gibanja tekočine, ne pa denimo zato, ker bi sami uvedli neskončno silo. V matematičnem jeziku morajo členi Navier-Stokesovih enačb, ki opisujejo gibanje – pospešek, tlačni gradienti, prenos gibalne količine in viskoznost – postati veliki, a se hkrati na natančno določen način izničiti. Zaradi tega natančnega ravnovesja zunanja sila ostane gladka, čeprav hitrost tekočine neomejeno narašča.

Od 28. avgusta učimo nov interni model, ki je na naših preizkusih, tudi matematičnih, pokazal zmogljivost brez primere. Učenje tega modela še poteka, njegova zmogljivost pa se še naprej izboljšuje.

V torek, 1. septembra, smo zasledili govorice, da sta bila rešena dva nagradna milenijska problema. Te govorice in skokovit napredek našega internega modela so nas spodbudili, da smo ga začeli preizkušati na vseh odprtih nagradnih milenijskih problemih ter še nekaj drugih zelo pomembnih problemih.

Uporabili smo sistem usklajenih agentov, ki jih je poganjal naš interni model. Agenti so imeli dostop do orodij, s katerimi so lahko med drugim brali predpomnjeno različico interneta in izvajali kodo. Agenti so bili razdeljeni v skupine, znotraj katerih so lahko komunicirali. Skupine so bile različno velike; pri rešitvi Navier-Stokesovega problema je sodelovalo približno 10.000 sočasno delujočih agentov. Ves čas smo ohranjali enake stroge varnostne ukrepe, kot jih uporabljamo pri vseh ocenjevanjih prelomnih modelov, vključno z nadzorom in izolacijo.

Pri vsakem problemu smo različnim skupinam agentov podali različne različice opisa problema, s čimer smo zajeli vse njegove različice. Pri Navier-Stokesovem problemu smo ločenim skupinam agentov predlagali različici »A« in »B« (posebni obliki problema, ki bi privedli do dokaza) ter različici »C« in »D« (ki bi privedli do ovržbe).

Poleg vseh nagradnih milenijskih problemov smo večagentskemu sistemu naložili še niz »lažjih« problemov. Eden od njih je bil podoben problem nastanka singularnosti pri limitnem primeru Navier-Stokesovega problema brez člena viskoznosti. Ta je znan kot problem regularnosti Eulerjevih enačb, naši agenti pa so nas presenetili z njegovo rešitvijo. Rešili so različico problema brez zunanje sile, pri kateri na tekočino ne deluje nobena zunanja sila. Skoraj 100 agentov je približno 50 ur sodelovalo pri izdelavi naše ovržbe regularnosti Eulerjevih enačb¹.

Ko smo videli rešitev Eulerjevega problema, smo presodili, da največ obeta delo na Navier-Stokesovem problemu. Zato smo se odločili, da svoje vire namenimo Navier-Stokesovemu problemu. Agente smo zato preusmerili z drugih nagradnih milenijskih problemov in jim posredovali rešitev Eulerjevega problema. Ko je med projektom postala na voljo dodatno naučena različica našega internega modela, smo agente nadgradili na ta model.

Različne skupine agentov smo spodbujali k raziskovanju raznovrstnih pristopov. Čez nekaj časa smo skupine agentov povezali tako, da smo s Codexom združili najuporabnejša spoznanja vsake skupine. Ti nadaljnji pozivi so temeljili na vmesnih rezultatih samih agentov. Tako smo usmerjali tudi skupino, ki je našla rešitev Navier-Stokesovega problema.

Agenti so do rešitve prišli v soboto, 5. septembra, približno 88 ur po zagonu prvih agentov. Formalizacija in preverjanje v Leanu z modelom GPT‑6 Astra sta zahtevala še dodatnih 17 ur.

Pri vseh obravnavanih problemih skupaj so agenti poslali 4,9 milijona sporočil in porabili približno 300 milijard izhodnih žetonov. Med reševanjem Navier-Stokesovega problema so agenti poslali 2,7 milijona sporočil in porabili približno 130 milijard izhodnih žetonov.

Naše delo se je začelo 1. septembra, ko smo slišali govorico, za katero smo pozneje ugotovili, da je bila povezana z Leventom Alpögejem, zaposlenim pri podjetju Anthropic, in Tristanom Buckmastrom, profesorjem matematike na NYU.² Ko smo končali celotni projekt in preverjanje v Leanu (6. septembra), smo se v prepričanju, da imajo tudi oni rešitev Navier-Stokesovega problema, obrnili nanje. Predlagali smo sočasno objavo našega rezultata in priznanje njihovega prvenstva v skupni objavi. Takrat smo izvedeli, da sta z internim modelom podjetja Anthropic rešila Eulerjev problem z zunanjo silo. V teh pogovorih smo jima ponudili vpogled v vse uporabljene pozive, pozneje pa tudi v dokaz. Priznavamo prvenstvo njunega dela na Eulerjevem problemu z zunanjo silo in jima čestitamo za izjemen matematični dosežek.

Mi (raziskovalci in agenti) do njune javne objave na noben način nismo videli njunega dela – zlasti pa za rešitev tega problema nismo dostopali do nobenih konkretnih uporabniških podatkov.

Po preiskavi smo potrdili, da Buckmastrovi pozivi za Codex v dveh mesecih pred to objavo in člankom z dne 8. septembra 2026 niso mogli nikakor vplivati na sistem, niti prek usposabljanja. Interni model OpenAI, uporabljen za ta rezultat, je bil razvit z obsežnim okrepljenim učenjem na predhodno naučenem modelu. Tudi naši dokazi se bistveno razlikujejo. Pri Eulerjevem problemu sta Alpöge in Buckmaster dokazala rezultat z zunanjo silo, sistem OpenAI pa rezultat brez zunanje sile.

Z objavo tega rezultata želimo poročati o velikem napredku naših modelov umetne inteligence. Za ta rezultat ne nameravamo zahtevati nagrade, ki je razpisana za rešitev milenijskega problema.

Ta mejnik je rezultat obsežnega dela matematikov in raziskovalcev umetne inteligence. Vendar to ni vrhunec razvoja, temveč le trenutno stanje napredka umetne inteligence.

Menimo, da smo vstopili v naslednje obdobje napredka umetne inteligence⁠, in današnji rezultati so še en dokaz za to. Osredotočamo se na razumevanje tega modela in uporabo pridobljenih spoznanj za usmerjanje ter določanje tempa nadaljnjega razvoja zmogljivosti. Eden od naših ključnih ciljev⁠ je zgraditi sisteme umetne inteligence, ki jih je mogoče usmerjati, ki so odgovorni in povezani z ljudmi. To bo morda zahtevalo bolj premišljene odločitve o hitrosti napredka, medtem ko nadaljujemo svoje poslanstvo zagotoviti, da bo SUI koristila vsemu človeštvu.