16. apríla 2025

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Načítava sa…

Aktualizácia z 10. júna 2025: OpenAI o3‑pro je teraz k dispozícii pre používateľov tarify Pro v nástroji ChatGPT, ako aj v našom rozhraní API. Podobne ako OpenAI o1‑pro, aj o3‑pro je verziou nášho najinteligentnejšieho modelu OpenAI o3, ktorý je navrhnutý tak, aby premýšľal dlhšie a poskytoval najspoľahlivejšie odpovede. Úplné podrobnosti nájdete v našich poznámkach k vydaniu⁠(otvorí sa v novom okne).

Dnes vydávame OpenAI o3 a o4-mini, najnovšie modely z našej série modelov o, ktoré sú trénované tak, aby dlhšie premýšľali, skôr než odpovedia. Toto sú najinteligentnejšie modely, ktoré sme doteraz vydali, a predstavujú zásadnú zmenu schopností ChatGPT pre každého, od zvedavých používateľov až po pokročilých výskumníkov. Po prvýkrát môžu naše modely myslenia agentsky využívať a kombinovať všetky nástroje v rámci ChatGPT – to zahŕňa vyhľadávanie na webe, analýzu nahratých súborov a ďalších dát v jazyku Python, hlboké myslenie o vizuálnych vstupoch a dokonca generovanie obrázkov. Čo je dôležité, tieto modely sú trénované tak, aby mysleli na to, kedy a ako majú použiť nástroje na vytváranie podrobných a premyslených odpovedí v správnych výstupných formátoch, zvyčajne za menej ako minútu, aby vyriešili zložitejšie problémy. To im umožňuje efektívnejšie riešiť mnohovrstevnaté otázky, čo je krok smerom k agentskejšiemu nástroju ChatGPT, ktorý dokáže nezávisle vykonávať úlohy vo vašom mene. Kombinovaný výkon najmodernejšieho myslenia s plným prístupom k nástrojom sa premieta do výrazne silnejšieho výkonu v rámci akademických kritérií a reálnych úloh, čím sa nastavuje nový štandard v oblasti inteligencie aj užitočnosti.

Čo sa zmenilo

OpenAI o3 je náš najvýkonnejší model myslenia, ktorý posúva hranice v oblasti kódovania, matematiky, vedy, vizuálneho vnímania a ďalších oblastí. Stanovuje novú úroveň špičkovej technológie pri referenčných hodnotách vrátane Codeforces, SWE-bench (bez vytvorenia vlastného scaffoldu špecifického pre model) a MMMU. Je ideálny pre zložité otázky vyžadujúce viacvrstvovú analýzu, ktorých odpovede nemusia byť okamžite zrejmé. Obzvlášť dobre sa mu darí pri vizuálnych úlohách, ako je analýza obrázkov, grafov a grafických prvkov. V hodnoteniach externých expertov robí model o3 o 20 percent menej závažných chýb ako OpenAI o1 pri náročných reálnych úlohách – najmä vyniká v oblastiach ako programovanie, obchod a kreatívna tvorba nápadov. Prví testeri vyzdvihli jeho analytickú dôslednosť ako myšlienkového partnera a zdôraznili jeho schopnosť generovať a kriticky hodnotiť nové hypotézy – najmä v kontextoch biológie, matematiky a inžinierstva.

OpenAI o4-mini je menší model optimalizovaný na rýchle a cenovo úsporné myslenie – dosahuje pozoruhodný výkon vzhľadom na svoju veľkosť a cenu, najmä v matematike, pri kódovaní a vizuálnych úlohách. Ide o najvýkonnejší model podľa referenčnej hodnoty z AIME 2024 a 2025. Hoci prístup k počítaču významne znižuje náročnosť skúšky AIME, všimli sme si aj to, že o4-mini dosahuje 99,5 % pass@1 (100 % consensus@8) pri AIME 2025, keď má prístup k nástroju Python interpreter. Hoci by sa tieto výsledky nemali porovnávať s výkonom modelov bez prístupu k nástrojom, sú jedným z príkladov, ako efektívne o4-mini využíva dostupné nástroje; o3 vykazuje podobné zlepšenia pri AIME 2025 z používania nástrojov (98,4 % pass@1, 100 % consensus@8).

V expertných hodnoteniach o4-mini prekonáva svojho predchodcu, o3‑mini, pokiaľ ide o iné úlohy ako STEM aj oblasti ako dátová veda. Vďaka svojej efektivite o4-mini podporuje výrazne vyššie limity používania než o3, čo z neho robí výraznú možnosť pre otázky s veľkým objemom a vysokou priepustnosťou, ktoré využívajú myslenie. Externí odborní hodnotitelia vyhodnotili, že oba modely preukazujú lepšie dodržiavanie pokynov a užitočnejšie, overiteľnejšie odpovede v porovnaní s ich predchodcami, a to vďaka zlepšenej inteligencii a začleneniu webových zdrojov. V porovnaní s predchádzajúcimi iteráciami našich modelov uvažovania by tieto dva modely mali pôsobiť prirodzenejšie a viac konverzačne, najmä preto, že odkazujú na pamäť a minulé konverzácie, aby boli odpovede osobnejšie a relevantnejšie.

Multimodálne

Programovanie

Všetky hodnotenia v rámci SWE-bench využívajú pevne stanovenú podmnožinu n = 477 overených úloh, ktoré boli validované v našej internej infraštruktúre.

Dodržiavanie pokynov a používanie agentových nástrojov

Všetky modely sa hodnotia pri vysokých nastaveniach „úsilia pri uvažovaní“ – podobne ako varianty „o4-mini-high“ v nástroji ChatGPT.

Ďalšie škálovanie učenia posilňovaním

Počas vývoja modelu OpenAI o3 sme pozorovali, že rozsiahle učenie posilňovaním vykazuje rovnaký trend „viac výpočtov = lepší výkon“, aký sa pozoroval pri predtréningu série GPT. Keď sme sa vrátili na cestu škálovania – tentoraz v rámci RL –, posunuli sme sa o ďalší rád veľkosti, pokiaľ ide o tréningový výpočet aj inferenčné myslenie, no stále vidíme jasné zlepšenie výkonu, čo potvrdzuje, že výkon modelov sa naďalej zlepšuje, čím viac majú dovolené premýšľať. Pri rovnakej latencii a nákladoch ako OpenAI o1 poskytuje o3 vyšší výkon v nástroji ChatGPT – a overili sme si, že ak mu dovolíme premýšľať dlhšie, jeho výkon stále rastie.

Oba modely sme tiež naučili používať nástroje prostredníctvom učenia posilňovaním – naučili sme ich nielen používať nástroje, ale aj myslieť na to, kedy ich majú použiť. Vďaka svojej schopnosti nasadzovať nástroje na základe požadovaných výsledkov dokážu lepšie zvládať otvorené situácie – najmä tie, ktoré zahŕňajú vizuálne uvažovanie a viacstupňové pracovné postupy. Toto zlepšenie sa prejavuje tak v akademických referenčných hodnotách, ako aj pri reálnych úlohách, ako uvádzajú prví testeri.

Premýšľanie s obrázkami

Tieto modely po prvýkrát dokážu integrovať obrázky priamo do svojho myšlienkového reťazca. Nevidia len obrázok – premýšľajú o ňom. To odomyká novú triedu riešenia problémov, ktorá spája vizuálne a textové myslenie, čo sa prejavuje v ich špičkovom výkone v rámci multimodálnych referenčných hodnôt.

Ľudia môžu nahrať fotografiu bielej tabule, diagramu z učebnice alebo ručne kresleného náčrtu a model ich dokáže interpretovať – aj keď je obrázok rozmazaný, obrátený alebo má nízku kvalitu. Pomocou nástrojov môžu modely manipulovať s obrázkami za pochodu – otáčať ich, približovať alebo transformovať ako súčasť svojho procesu myslenia.

Tieto modely poskytujú najlepšiu presnosť vo svojej triede pri úlohách s vizuálnym vnímaním, čo im umožňuje riešiť otázky, ktoré boli predtým nedosiahnuteľné. Pozrite si blog o výskume vizuálneho myslenia⁠, aby ste sa dozvedeli viac.

Na ceste k agentskému používaniu nástrojov

OpenAI o3 a o4-mini majú plný prístup k nástrojom v rámci ChatGPT, ako aj k vašim vlastným nástrojom prostredníctvom získavania funkcií v rozhraní API. Tieto modely sú trénované myslieť na to, ako riešiť problémy, rozhodovať sa, kedy a ako používať nástroje na rýchle vytváranie podrobných a premyslených odpovedí v správnych výstupných formátoch – zvyčajne za menej ako minútu.

Používateľ sa napríklad môže opýtať: „Aká bude letná spotreba energie v Kalifornii v porovnaní s minulým rokom?“ Model môže vyhľadávať na webe údaje o verejných službách, písať kód v jazyku Python na vytvorenie predpovede, generovať graf alebo obrázok a vysvetliť kľúčové faktory za predikciou, pričom spája rôzne získavanie nástrojov. Uvažovanie umožňuje modelom reagovať a podľa potreby sa prispôsobiť informáciám, s ktorými sa stretávajú. Napríklad môžu viackrát vyhľadávať na webe pomocou poskytovateľov vyhľadávania, prezerať si výsledky a skúšať nové vyhľadávania, ak potrebujú viac informácií.

Tento flexibilný, strategický prístup umožňuje modelom riešiť úlohy, ktoré vyžadujú prístup k aktuálnym informáciám nad rámec zabudovaných znalostí modelu, rozšírené uvažovanie, syntézu a generovanie výstupov pri rôznych modalitách.

Všetky príklady boli dokončené pomocou modelu OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Myslel na konštrukciu polynómov 55 sekúnd

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1 876 572 071 974 094 803 391 179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Premýšľal 1 minútu a 19 sekúnd

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 správne získa odpoveď bez použitia vyhľadávania, zatiaľ čo o1 nedokáže poskytnúť správnu odpoveď.

Pokrok v oblasti cenovo úsporného myslenia

Cena verzus výkon: o3‑mini a o4-mini

Hodnotenia GPQA pre OpenAI o3-mini a o4-mini

Cena verzus výkon: o1 a o3

OpenAI o3 a o4-mini sú najinteligentnejšie modely, aké sme kedy vydali, a sú tiež často efektívnejšie ako ich predchodcovia, OpenAI o1 a o3‑mini. Napríklad na matematickej súťaži AIME v roku 2025 sa hranica pomeru nákladov a výkonnosti pre o3 striktne zlepšuje oproti modelu o1 a podobne sa hranica pre o4-mini striktne zlepšuje oproti modelu o3‑mini. Vo všeobecnosti očakávame, že pre väčšinu reálnych prípadov použitia budú modely o3 a o4-mini tiež inteligentnejšie a lacnejšie ako o1 a o3‑mini – v tomto poradí.

Bezpečnosť

Každé zlepšenie funkcií modelu si vyžaduje zodpovedajúce zlepšenie bezpečnosti. Pre OpenAI o3 a o4-mini sme kompletne prepracovali naše údaje o bezpečnostnom tréningu a pridali sme nové príkazy na odmietnutie v oblastiach, ako sú biologické hrozby (bioriziko), generovanie malvéru a jailbreaky. Tieto aktualizované údaje viedli k tomu, že o3 a o4-mini dosiahli silný výkon v našich interných referenčných hodnotách odmietnutia (napr. hierarchia pokynov⁠ či jailbreaky). Okrem silného výkonu pri odmietnutiach modelov sme tiež vyvinuli systémové opatrenia na označenie nebezpečných príkazov v oblastiach s hraničným rizikom. Podobne ako pri našej predchádzajúcej práci v oblasti generovania obrázkov⁠ sme natrénovali monitor myslenia LLM, ktorý pracuje s ľuďmi napísanými a interpretovateľnými bezpečnostnými špecifikáciami. Keď sa uplatnil na bioriziko, tento monitor úspešne označil ~99 % konverzácií v našej kampani zameranej na ľudský red-teaming.

Oba modely sme podrobili záťažovým testom s naším dosiaľ najprísnejším bezpečnostným programom. V súlade s naším aktualizovaným rámcom pripravenosti⁠ sme vyhodnotili modely o3 a o4-mini v troch sledovaných oblastiach schopností, ktoré tento rámec pokrýva: biologická a chemická, kybernetická bezpečnosť a sebazdokonaľovanie umelej inteligencie. Na základe výsledkov týchto hodnotení sme dospeli k záveru, že o3 aj o4‑mini zostávajú pod hranicou „Vysoká“ podľa tohto rámca vo všetkých troch kategóriách. Podrobné výsledky týchto hodnotení sme zverejnili na priloženej systémovej karte⁠.⁠

Codex CLI: pokročilé myslenie v termináli

Taktiež zdieľame nový experiment: Codex CLI, ľahkého kódovacieho agenta, ktorého môžete spustiť z vášho terminálu. Funguje priamo vo vašom počítači a je navrhnutý tak, aby maximalizoval schopnosti uvažovania modelov ako o3 a o4-mini, s nadchádzajúcou podporou ďalších modelov API ako GPT‑4.1⁠.

Výhody multimodálneho myslenia môžete získať z príkazového riadku tým, že modelu posielate snímky obrazovky alebo skice nízkej kvality, v kombinácii s lokálnym prístupom k vášmu kódu. Berieme to ako minimálne rozhranie na pripojenie našich modelov k používateľom a ich počítačom. Codex CLI má úplne otvorený zdrojový kód na adrese github.com/openai/codex⁠(otvorí sa v novom okne) ešte dnes.

Zároveň spúšťame iniciatívu v hodnote 1 milióna dolárov na podporu projektov využívajúcich Codex CLI a modely OpenAI. Žiadosti o granty budeme hodnotiť a prijímať v prírastkoch po 25 000 USD vo forme kreditov rozhrania API. Návrhy môžete posielať tu.

Prístup

Používatelia taríf ChatGPT Plus, Pro a Team uvidia o3, o4-mini a o4-mini-high vo výbere modelov už dnes, pričom nahradia o1, o3‑mini a o3‑mini‑high. Používatelia taríf ChatGPT Enterprise a Edu získajú prístup o týždeň. Používatelia tarify Free si môžu vyskúšať model o4-mini výberom možnosti „Premýšľať“ v editore pred odoslaním svojej otázky. Limity rýchlosti vo všetkých tarifách zostávajú nezmenené oproti predchádzajúcemu súboru modelov.

Očakávame, že model OpenAI o3‑pro s plnou podporou nástrojov vydáme o niekoľko týždňov. Zatiaľ majú používatelia tarify Pro stále prístup k modelu o1‑pro.

o3 aj o4-mini sú dnes tiež dostupné vývojárom prostredníctvom rozhrania API pre dokončenia četu a rozhrania API pre odpovede (niektorí vývojári budú musieť overiť svoje organizácie⁠(otvorí sa v novom okne), aby získali prístup k týmto modelom). Rozhranie API pre odpovede podporuje súhrny myslenia, schopnosť uchovávať tokeny myslenia okolo získavania funkcií pre lepší výkon a čoskoro bude podporovať zabudované nástroje ako webové vyhľadávanie, vyhľadávanie súborov a prekladateľ kódu v rámci myslenia modelu. Ak chcete začať, preskúmajte naše dokumenty⁠⁠(otvorí sa v novom okne) a sledujte ďalšie aktualizácie.

Čo bude ďalej

Dnešné aktualizácie odrážajú smer, ktorým sa naše modely uberajú: spájame špecializované schopnosti myslenia série o s prirodzenejšími konverzačnými schopnosťami a využitím nástrojov série GPT. Po zjednotení týchto silných stránok budú naše budúce modely podporovať bezproblémové, prirodzené konverzácie spolu s proaktívnym používaním nástrojov a pokročilým riešením problémov.

Aktualizácia z 28. júla 2025: Súbor údajov SWE-Lancer a výsledky aktualizované k 17. júlu 2025, dostupné na adrese: https://github.com/openai/preparedness⁠(otvorí sa v novom okne) a v našich systémových kartách. Táto aktualizácia rieši niekoľko problémov, ktoré ovplyvňovali výsledky z hľadiska zarobených dolárov, a odstraňuje potrebu internetového pripojenia počas vykonávania príkazov, čím eliminuje hlavný zdroj variability vo výkone modelu.

Aktualizácia zo 16. apríla 2025: výsledky pre o3 na Charxiv-r a Mathvista boli aktualizované tak, aby zohľadňovali zmenu systémového príkazu, ktorá nebola prítomná v pôvodnom hodnotení.

Záznam z priameho prenosu

Autor

OpenAI

Poznámky pod čiarou

* Hodnotenia tau-bench sú spriemerované z 5 spustení, aby sa znížil rozptyl, a spúšťajú sa bez akýchkoľvek vlastných nástrojov alebo výziev. Zistili sme, že maloobchodné zavedenia tau-bench sú náchylnejšie na chyby používateľských modelov. Čísla pre tieňovaný stĺpec sa spúšťajú s nástrojom GPT-4.1 ako používateľským modelom, pretože je výrazne lepší ako GPT-4o, pokiaľ ide o dodržiavanie pokynov.

*SWE-bench používa maximálnu dĺžku kontextu 256k, čo zlepšuje mieru riešenia pre o4-mini približne o 3 % a ovplyvňuje mieru riešenia modelu o3 o menej ako 1 %. Taktiež vylučujeme 23 vzoriek, ktoré nie je možné spustiť na našej internej infraštruktúre.

**Pri povolení prehliadania môže model niekedy nájsť presné odpovede online, napríklad prečítaním blogových príspevkov s ukážkovými úlohami z daného súboru údajov. Obavy z toho, že model pri prehliadaní „podvádza“, zmierňujeme dvomi stratégiami:

Blokované domény, z ktorých sme v minulosti pozorovali, že model podvádza.
Použili sme model myslenia ako monitor na kontrolu všetkých tokenov pri každom pokuse s cieľom identifikovať podozrivé správanie. Podozrivé správanie je definované ako „stránka, súbor alebo úryvok, ktorého hlavným účelom je poskytnúť presnú odpoveď na túto konkrétnu otázku – napríklad oficiálny kľúč na hodnotenie, uniknuté riešenia alebo diskusia citujúca hotovú odpoveď doslova.“ Neškodné správanie je definované ako „akýkoľvek autoritatívny zdroj, ktorý by si usilovný človek mohol vyhľadať (dokumentácia, príručky, odborné články, renomované publikácie), aj keď náhodne obsahuje správnu odpoveď.“ Akékoľvek pokusy, pri ktorých monitor vyhodnotil priebeh ako podozrivý, sa počítajú ako nesprávne. Väčšina vzoriek, ktoré týmto kontrolným mechanizmom neprešli, boli úlohy, ktorých presné riešenie bolo dostupné na viacerých internetových zdrojoch nesúvisiacich s HLE.

A napokon: naše hodnotenia pri prehliadaní nemusia byť úplne reprodukovateľné v rozhraní OpenAI API vzhľadom na rozdiel v backendoch vyhľadávacích nástrojov medzi ChatGPT a OpenAI API. Tieto výsledky majú reprezentovať používateľskú skúsenosť s nástrojom ChatGPT, ale v závislosti od dopytu sa konfigurácia vyhľadávania môže časom zmeniť.

Prispievatelia

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang