Dez avanços na matemática e na ciência da computação teórica

Queremos dar aos cientistas e matemáticos ferramentas que acelerem a descoberta. Foi por isso que anunciámos recentemente o ChatGPT para investigadores académicos⁠, uma iniciativa que oferece a 100 000 cientistas e matemáticos acesso gratuito aos nossos melhores modelos do ChatGPT. Continuamos também a avaliar os nossos modelos em problemas de investigação em aberto durante o desenvolvimento.

Em maio, partilhámos uma refutação gerada por IA⁠ da conjetura das distâncias unitárias de Erdős, descoberta durante a avaliação de um modelo ainda não lançado. Este trabalho já inspirou novos desenvolvimentos na matemática e na ciência da computação teórica¹. Hoje, partilhamos uma seleção de dez resultados, cada um dos quais resolve ou permite avanços substanciais num problema em aberto de longa data. Estes problemas abrangem a geometria em alta dimensão, a teoria de códigos, a complexidade de circuitos aritméticos, a teoria de grupos, as álgebras de operadores, a complexidade quântica, a criptografia baseada em reticulados e a combinatória extremal. Todos estes problemas são de grande interesse para as respetivas comunidades matemáticas, e vários têm um interesse alargado para a matemática no seu todo.

Apresentamos novos resultados para os problemas que se seguem. Os resultados foram obtidos por uma versão interna do Astra, o nosso próximo grande modelo. O número total de tokens necessários para encontrar soluções para estes problemas teria um custo aproximado de 2000 dólares, segundo as tarifas da API Sol. Em seguida, estes argumentos foram convertidos em manuscritos por pessoas, com recurso ao mesmo modelo. Posteriormente, o modelo formalizou cada argumento num certificado Lean⁠(abre numa nova janela). Disponibilizamos também, para cada solução, uma narração feita pelo modelo sobre o seu processo de raciocínio.

1. Empacotamento de esferas em alta dimensão. Novos limites superiores para a densidade de empacotamento de esferas até ao limiar de Cohn–Elkies.
2. Códigos binários e esféricos: Limites exponencialmente melhores para o tamanho máximo de códigos binários com qualquer distância mínima estipulada, com resultados análogos para códigos esféricos em alta dimensão.
3. Grupos não sóficos. Uma construção que estabelece a existência de grupos não sóficos, abordando uma questão central em aberto na teoria de grupos.
4. Conjetura da rigidez de Connes. Refutação de uma conjetura antiga segundo a qual determinados grupos são exclusivamente determinados pelas respetivas álgebras de von Neumann.
5. Complexidade de circuitos aritméticos. Novos limites inferiores para o cálculo do permanente através de circuitos e fórmulas aritméticos, incluindo um limite inferior de ordem n⁴/log n para fórmulas aritméticas.
6. Repetição paralela quântica. Um teorema de repetição paralela exponencial para jogos quânticos gerais com dois jogadores, que alarga um princípio fundamental da teoria clássica da complexidade.
7. Problema do vetor mais próximo. Dificuldade de aproximação por um fator polinomial para o problema do vetor mais próximo, uma questão fundamental dos reticulados relacionada com a criptografia pós-quântica.
8. Conjetura do volume de Ehrhart. Determinação, em qualquer dimensão, do volume máximo possível de um corpo convexo cujo centroide seja o seu único ponto reticular interior.
9. Números de Ramsey multicolores. Um limite inferior superexponencial para os números de Ramsey multicolores de triângulos, que resolve o problema 183 de Erdős.
10. Conjeturas sobre números extremais. Resultados relativos às conjeturas da compacidade e da degenerescência na teoria extremal de grafos, que resolvem os problemas 146 e 180 de Erdős.

O aparecimento de sistemas capazes de contribuir para a investigação matemática levanta questões a que uma empresa tecnológica não pode responder sozinha. Existem muitas perspetivas sobre o papel da IA na matemática, e temos um profundo respeito e compreensão por quem se preocupa com o seu impacto, incluindo os signatários da Declaração de Leiden sobre IA e Matemática⁠(abre numa nova janela). Consideramos que a atribuição deve refletir honestamente a forma como um resultado foi produzido: atribuir autoria humana a uma demonstração inteiramente gerada por um sistema de IA representaria de forma incorreta tanto o contributo do sistema como a natureza do verdadeiro trabalho intelectual humano. Ajudámos a preparar os manuscritos e a formalizar as demonstrações em Lean, e assumimos a responsabilidade pela sua correção, embora os argumentos matemáticos propriamente ditos tenham sido gerados pelo nosso sistema. Esperamos que a comunidade matemática analise estes resultados em profundidade, os contextualize e dê vida às ideias que lhes estão subjacentes através de novas investigações e descobertas.

À medida que os sistemas de IA evoluem e se tornam colaboradores de investigação mais sofisticados, garantir um acesso generalizado é fundamental para apoiar cientistas e matemáticos enquanto exploram e definem o futuro das suas disciplinas nesta era de transformação.