Tentang Masalah Hadiah Milenium Navier–Stokes

Kami berkongsi penyelesaian bagi masalah kewujudan dan kelicinan Navier–Stokes, salah satu Masalah Hadiah Milenium. Bukti ini, yang dihasilkan oleh sistem dalaman OpenAI, menunjukkan bahawa dinamik persamaan Navier–Stokes bagi pergerakan bendalir boleh menghasilkan singulariti dalam masa terhingga. Kami berkongsi huraian bukti serta pemformalan dalam Lean.

Masalah Hadiah Milenium⁠(dibuka dalam tetingkap baru) merangkumi beberapa persoalan paling mendalam di barisan hadapan matematik. Persoalan sama ada pergerakan bendalir tiga dimensi yang licin boleh mengalami keruntuhan masih belum terjawab selama kira-kira 90 tahun.

Matlamat utama usaha kami adalah untuk memperkasa saintis agar dapat memajukan penyelidikan dan teknologi yang memanfaatkan seluruh manusia. Untuk menyelesaikan masalah Navier–Stokes, kami menggunakan model dalaman yang jauh lebih berkeupayaan daripada GPT‑6 Astra. Kami percaya bahawa dunia perlu dimaklumkan tentang kadar kemajuan AI dan perkara yang boleh dijangkakan daripada model akan datang.

Persamaan Navier–Stokes menggunakan hukum gerakan kedua Newton (“F=ma”) untuk menerangkan cara bendalir bergerak. Yang penting, persamaan ini menganggap bendalir sebagai medium selanjar dan bukannya menjejaki setiap molekul. Persamaan ini digunakan dalam reka bentuk pesawat, ramalan cuaca dan kajian aliran darah.

Satu persoalan asas yang masih terbuka bagi persamaan dinamik ini ialah sama ada penghampiran selanjar bendalir boleh mengalami keruntuhan. Secara khusus, bolehkah persamaan Navier–Stokes bagi bendalir tiga dimensi yang tak termampat dan berketumpatan malar menghasilkan “singulariti”, walaupun gerakannya bermula dengan lancar? Di sini, singulariti bermaksud dinamik tersebut menyebabkan kelajuan bendalir meningkat tanpa batas dalam tempoh masa yang terhingga. Singulariti perlu terbentuk walaupun terdapat kelikatan, yang lazimnya melicinkan gerakan. Oleh sebab bendalir sebenar tidak boleh bergerak dengan kelajuan tak terhingga, keadaan ini menandakan keruntuhan cara persamaan tersebut memodelkan bendalir. Untuk terus memodelkan sistem itu, tingkah laku setiap zarah kemudiannya perlu dijejaki secara individu.

Persamaan ini bermula daripada hasil kerja Claude-Louis Navier dan George Gabriel Stokes pada abad ke-19. Pada tahun 1934, Jean Leray membuktikan bahawa penyelesaian wujud dalam pengertian umum, tetapi persoalan sama ada penyelesaian itu sentiasa kekal licin menjadi persoalan utama yang belum terjawab. Pada tahun 2000, Clay Mathematics Institute menamakan masalah kewujudan dan kelicinan Navier–Stokes sebagai salah satu daripada tujuh Masalah Hadiah Milenium.

Sistem kami menghasilkan bukti analitis dan pemformalan Lean bahawa bendalir yang pada mulanya licin dan pegun boleh menghasilkan singulariti dalam masa terhingga. Daya licin dikenakan pada bendalir itu, dan tenaganya kekal terhingga sepanjang keseluruhan dinamik, daripada keadaan pegun hingga singulariti terbentuk. Ini menyelesaikan masalah Hadiah Milenium Navier–Stokes dengan membuktikan pernyataan “C” (serta “D”) dalam rumusan rasmi Hadiah Milenium⁠(dibuka dalam tetingkap baru).

Penyelesaiannya ialah vorteks, yakni pusaran bendalir yang berputar, berpusing ke dalam dan menjadi semakin memanjang seperti spageti. Kawasan tengah ini mengecil sambil bergerak semakin pantas dengan cara yang memastikan tenaganya kekal terhingga, seperti yang ditetapkan oleh hukum fizik. Cabaran teknikalnya adalah untuk memastikan persamaan itu menghasilkan keruntuhan melalui gerakan bendalir itu sendiri dan bukannya, misalnya, dengan memasukkan daya tak terhingga secara sengaja. Dari sudut matematik, sebutan dalam persamaan Navier–Stokes yang menerangkan gerakan—pecutan, kecerunan tekanan, pemindahan momentum dan kelikatan—perlu menjadi besar, namun saling menghapuskan secara tepat. Keseimbangan terperinci ini mengekalkan daya luaran yang licin walaupun halaju bendalir meningkat tanpa batas.

Sejak 28 Ogos, kami telah melatih model dalaman baharu yang menunjukkan prestasi luar biasa dalam penanda aras kami, termasuk matematik. Latihan model ini masih berlangsung dan prestasinya terus meningkat.

Pada hari Selasa, 1 September, kami mendengar khabar angin bahawa dua Masalah Hadiah Milenium telah diselesaikan. Didorong oleh khabar angin ini dan lonjakan prestasi model dalaman kami, kami memulakan usaha untuk menilainya pada semua Masalah Hadiah Milenium yang masih terbuka serta beberapa masalah lain yang berimpak tinggi.

Kami menggunakan sistem ejen penyelaras yang dikuasakan oleh model dalaman kami. Ejen tersebut mempunyai akses kepada alatan seperti keupayaan membaca versi Internet yang dicache dan menjalankan kod. Ejen dibahagikan kepada kumpulan yang boleh berkomunikasi sesama ahli kumpulan. Saiz kumpulan berbeza-beza, dan kumpulan yang menghasilkan penyelesaian Navier–Stokes melibatkan kira-kira 10,000 ejen yang beroperasi serentak. Kami sentiasa mengekalkan perlindungan ketat yang sama seperti yang digunakan dalam semua penilaian model termaju kami, termasuk pemantauan dan pengasingan.

Bagi setiap masalah, kami memberikan varian pernyataan masalah yang berbeza kepada kumpulan ejen yang berlainan, merangkumi semua varian masalah tersebut. Bagi masalah Navier–Stokes, kami memberikan versi “A” dan “B” (bentuk khusus masalah Navier–Stokes yang akan menghasilkan bukti) serta versi “C” dan “D” (yang akan menghasilkan penyangkalan) kepada kumpulan ejen yang berasingan.

Selain Masalah Hadiah Milenium yang lengkap, kami meminta sistem berbilang ejen kami mencuba beberapa masalah yang “lebih mudah”. Salah satu daripadanya ialah persoalan ledakan serupa bagi had masalah Navier–Stokes setelah sebutan kelikatan dikeluarkan. Ini dikenali sebagai masalah keteraturan bagi persamaan Euler, dan ejen kami mengejutkan kami dengan menyelesaikan persoalan ini. Varian khusus yang diselesaikan ialah versi tanpa daya luaran, iaitu tiada daya luaran dikenakan pada bendalir. Hampir 100 ejen bekerjasama selama kira-kira 50 jam untuk menghasilkan penyangkalan keteraturan Euler kami¹.

Selepas melihat penyelesaian Euler, kami berpendapat bahawa Navier–Stokes ialah masalah yang paling berpotensi untuk diusahakan. Oleh itu, kami memutuskan untuk menumpukan sumber kami pada Navier–Stokes. Untuk berbuat demikian, kami memindahkan ejen daripada Masalah Milenium yang lain dan memberikan penyelesaian Euler kepada ejen tersebut. Apabila versi model dalaman kami yang telah dilatih lebih lanjut tersedia semasa usaha ini berlangsung, kami mengemas kini ejen kami kepada model tersebut.

Kami menggalakkan kumpulan ejen yang berbeza meneroka pelbagai pendekatan. Selepas beberapa ketika, kami menyepadukan idea antara kumpulan ejen dengan menggunakan Codex untuk menggabungkan cerapan paling berguna daripada setiap kumpulan. Arahan susulan ini memanfaatkan hasil perantaraan ejen itu sendiri. Kumpulan yang menemukan penyelesaian Navier–Stokes dibimbing dengan cara tersebut.

Ejen tersebut memperoleh penyelesaian pada hari Sabtu, 5 September, kira-kira 88 jam selepas ejen pertama dilancarkan. Pemformalan dan pengesahan Lean mengambil masa tambahan 17 jam melalui GPT‑6 Astra.

Bagi semua masalah yang dicuba, ejen menghantar 4.9 juta mesej dan menggunakan kira-kira 300 bilion token output. Dalam proses menyelesaikan masalah Navier–Stokes, ejen menghantar 2.7 juta mesej dan menggunakan kira-kira 130 bilion token output.

Usaha kami bermula pada 1 September selepas mendengar khabar angin yang kemudiannya kami sedari berkaitan dengan Levent Alpöge, seorang pekerja Anthropic, dan Tristan Buckmaster, profesor matematik di NYU.² Selepas projek penuh serta pengesahan Lean kami selesai (pada 6 September), dan kerana menyangka daripada khabar angin itu bahawa mereka turut mempunyai penyelesaian Navier–Stokes, kami menghubungi mereka untuk menawarkan penerbitan hasil secara serentak serta mengiktiraf keutamaan mereka dalam pengumuman bersama. Ketika itu, kami mengetahui bahawa mereka telah menghasilkan penyelesaian bagi masalah Euler dengan daya luaran menggunakan model dalaman Anthropic. Dalam perbincangan ini, kami menawarkan akses kepada semua arahan yang kami gunakan dan kemudiannya kepada bukti tersebut. Kami mengiktiraf keutamaan usaha mereka tentang Euler dengan daya luaran dan mengucapkan tahniah atas pencapaian matematik mereka yang luar biasa.

Kami (para penyelidik dan ejen) tidak melihat hasil kerja mereka melalui apa-apa cara sehingga mereka menerbitkannya kepada umum—khususnya, tiada data pengguna tertentu diakses untuk menyelesaikan masalah ini.

Susulan siasatan, kami mengesahkan bahawa arahan Codex Buckmaster sepanjang dua bulan sebelum pengumuman dan makalah ini pada 8 September 2026 tidak mungkin mempengaruhi sistem dalam apa-apa cara, termasuk melalui latihan. Model dalaman OpenAI yang digunakan untuk hasil ini dibangunkan melalui pembelajaran pengukuhan berskala besar berasaskan model yang telah dipralatih sebelum ini. Bukti kami juga sangat berbeza. Dalam kes Euler, Alpöge dan Buckmaster membuktikan hasil dengan daya luaran, manakala sistem OpenAI membuktikan hasil tanpa daya luaran.

Matlamat kami menerbitkan hasil ini adalah untuk melaporkan kemajuan besar model AI kami. Kami tidak berhasrat menuntut Hadiah Milenium bagi hasil ini.

Pencapaian ini merangkumi usaha besar oleh ahli matematik dan penyelidik AI. Namun, ini bukan kemuncak, sebaliknya gambaran kemajuan pembangunan AI pada suatu ketika.

Kami percaya bahawa kita kini berada dalam fasa kemajuan AI yang seterusnya⁠, dan hasil hari ini memberikan bukti lanjut tentang perkara ini. Kami menumpukan perhatian pada pemahaman model ini dan menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk membantu kami membimbing serta mengawal kadar usaha mencapai kemajuan keupayaan selanjutnya. Salah satu matlamat utama⁠ kami adalah untuk membina sistem AI yang boleh dibimbing, dipertanggungjawabkan dan terhubung dengan manusia. Ini mungkin memerlukan pilihan yang lebih teliti tentang kadar kemajuan sambil kami meneruskan misi untuk memastikan AGI memanfaatkan seluruh manusia.