Навье–Стоксын Мянганы шагналт бодлогын тухай

Мянганы шагналт бодлогуудын нэг болох Навье–Стоксын оршин байх ба гөлгөр чанарын бодлогын шийдлийг бид танилцуулж байна. OpenAI-ийн дотоод системийн гаргасан энэхүү баталгаа нь шингэний хөдөлгөөнийг дүрсэлдэг Навье–Стоксын тэгшитгэлийн динамикт төгсгөлөг хугацаанд сингуляр байдал үүсэж болохыг харуулж байна. Бид баталгааны тайлбар болон Lean дахь албан ёсны хувилбарыг хамтад нь нийтэлж байна.

Мянганы шагналт бодлогууд⁠(шинэ цонхонд нээгдэнэ) нь математикийн хил хязгаар дахь хамгийн гүнзгий асуултуудын зарим юм. Гурван хэмжээст шингэний гөлгөр хөдөлгөөн алдагдаж болох эсэх асуулт 90 орчим жилийн турш шийдэгдээгүй байна.

Бидний ажлын нэг гол зорилго бол хүн төрөлхтөнд тустай судалгаа, технологийг урагшлуулах боломжийг эрдэмтдэд олгох явдал юм. Навье–Стоксын бодлогыг шийдэхдээ бид GPT‑6 Astra-аас үлэмж өндөр чадвартай дотоод загвар ашигласан. Хиймэл оюуны ахицын хурд болон удахгүй гарах загваруудаас юу хүлээж болохыг дэлхий нийтэд мэдээлэх нь чухал гэж бид үздэг.

Навье–Стоксын тэгшитгэлүүд шингэн хэрхэн хөдөлдгийг дүрслэхдээ Ньютоны хөдөлгөөний хоёрдугаар хууль буюу “F=ma”-г ашигладаг. Хамгийн чухал нь эдгээр тэгшитгэл молекул бүрийг тусад нь мөшгөхийн оронд шингэнийг тасралтгүй орчин гэж үздэг. Эдгээр тэгшитгэлийг нисэх онгоцны загварчлал, цаг агаарын урьдчилсан мэдээ, цусны урсгалын судалгаанд ашигладаг.

Эдгээр динамик тэгшитгэлийн үндсэн нээлттэй асуулт нь шингэнийг тасралтгүй орчин гэж ойролцоо дүрслэх арга алдагдаж болох эсэх байв. Тодруулбал, тогтмол нягттай, шахагддаггүй гурван хэмжээст шингэний хөдөлгөөн гөлгөр эхэлсэн ч Навье–Стоксын тэгшитгэлд “сингуляр байдал” үүсэж болох уу? Энд сингуляр байдал гэдэг нь динамикийн улмаас шингэний хурд төгсгөлөг хугацаанд хязгааргүй өсөхийг хэлнэ. Хөдөлгөөнийг жигдрүүлэх хандлагатай зуурамтгай чанар байсаар атал сингуляр байдал үүсэх ёстой. Бодит шингэн хязгааргүй хурдан хөдөлж чадахгүй тул энэ нь тэгшитгэл шингэнийг дүрслэх чадвараа алдсаныг илтгэнэ. Үүний дараа системийг үргэлжлүүлэн загварчлахын тулд бөөм бүрийн төлөвийг тусад нь мөшгөх шаардлагатай болно.

Эдгээр тэгшитгэл Клод-Луи Навье, Жорж Габриель Стокс нарын XIX зууны бүтээлээс эхтэй. 1934 онд Жан Лерэ шийд ерөнхий утгаараа оршин байдгийг баталсан ч үргэлж гөлгөр хэвээр байх эсэх нь хариултгүй гол асуулт болж үлдсэн. 2000 онд Клэйн математикийн хүрээлэн Навье–Стоксын оршин байх ба гөлгөр чанарын бодлогыг Мянганы шагналт долоон бодлогын нэгээр нэрлэсэн.

Анх тайван, гөлгөр байсан шингэнд төгсгөлөг хугацаанд сингуляр байдал үүсэж болохыг харуулсан аналитик баталгаа болон Lean албан ёсны хувилбарыг манай систем гаргасан. Шингэнд гөлгөр хүч үйлчлэх бөгөөд тайван төлөвөөс сингуляр байдал үүсэх хүртэлх бүх динамикийн турш энерги нь төгсгөлөг хэвээр байна. Энэ нь Мянганы шагналын албан ёсны томьёолол⁠(шинэ цонхонд нээгдэнэ) дахь “C” (мөн “D”) өгүүлбэрийг тогтоож, Навье–Стоксын Мянганы шагналт бодлогыг шийдэж байна.

Шийдэл нь шпагетти мэт дотогш мушгиран, улам сунадаг эргэлдэгч шингэний хуйлрал юм. Энэ төв хэсэг агшин, хурдсах боловч физикийн хуулийн шаардсанаар энерги нь төгсгөлөг хэвээр үлдэнэ. Техникийн гол бэрхшээл нь, жишээлбэл хязгааргүй хүчийг зориуд оруулахын оронд тэгшитгэлийн эвдрэлийг шингэний өөрийн хөдөлгөөнөөр үүсгэх явдал юм. Математикийн хэлээр бол Навье–Стоксын тэгшитгэл дэх хөдөлгөөнийг дүрсэлдэг хурдатгал, даралтын градиент, импульсийн шилжилт, зуурамтгай чанар зэрэг гишүүн нэгэн зэрэг ихсэх атлаа нарийн тодорхой байдлаар харилцан саарах ёстой. Энэхүү нарийн тэнцвэрийн ачаар шингэний хурд хязгааргүй өссөн ч гаднын хүч гөлгөр хэвээр байна.

Наймдугаар сарын 28-наас хойш бид математик зэрэг жишиг сорилтуудад урьд байгаагүй гүйцэтгэл үзүүлсэн шинэ дотоод загварыг сургаж байна. Энэ загварын сургалт үргэлжилж байгаа бөгөөд гүйцэтгэл нь сайжирсаар байна.

Есдүгээр сарын 1-ний мягмар гарагт Мянганы шагналт хоёр бодлогыг шийдсэн гэх цуурхал бидэнд хүрсэн. Энэ цуурхал болон дотоод загварын маань гүйцэтгэлийн огцом ахиц бидэнд сэдэл өгч, нээлттэй бүх Мянганы шагналт бодлого болон өндөр ач холбогдолтой өөр хэдэн бодлогоор загварыг үнэлэх ажлыг эхлүүлсэн.

Бид дотоод загварт тулгуурласан, үйл ажиллагаагаа уялдуулдаг агентуудын систем ашигласан. Агентууд интернэтийн кэшилсэн хувилбарыг унших, код ажиллуулах зэрэг хэрэгслийг ашиглах боломжтой байв. Агентуудыг дотроо харилцах боломжтой бүлгүүдэд хуваасан. Бүлгүүдийн хэмжээ харилцан адилгүй байсан бөгөөд Навье–Стоксын шийдлийг гаргасан бүлэгт зэрэг ажилласан 10,000 орчим агент багтсан. Бид хяналт, тусгаарлалт зэрэг хил хязгаар загварын бүх үнэлгээнд мөрддөг хатуу хамгаалалтаа бүх үед хэвээр хадгалсан.

Бодлого бүрийн хувьд бид бодлогын бүх хувилбарыг хамруулан, өөр өөр агентын бүлэгт өгүүлбэрийн өөр өөр хувилбарыг команд болгон өгсөн. Навье–Стоксын бодлогын хувьд баталгаа гаргах “A”, “B” хувилбарууд болон няцаалт гаргах “C”, “D” хувилбаруудыг агентын тусдаа бүлгүүдэд санал болгосон.

Мянганы шагналт бодлогуудыг бүрэн эхээр нь өгөхийн зэрэгцээ олон агентат системээсээ “хялбар” хэдэн бодлогыг туршихыг хүссэн. Тэдгээрийн нэг нь зуурамтгай чанарын гишүүнийг хассан Навье–Стоксын бодлогын хязгаар дахь хязгааргүй өсөлтийн ижил төстэй асуулт байв. Үүнийг Эйлерийн тэгшитгэлийн регуляр чанарын бодлого гэдэг бөгөөд манай агентууд уг асуултыг шийдэж биднийг гайхшруулсан. Тэд шингэнд гаднын хүч үйлчлэхгүй хүчгүй хувилбарыг шийдсэн. 100 орчим агент ойролцоогоор 50 цаг хамтран ажиллаж, Эйлерийн регуляр чанарын тухай няцаалтыг гаргасан¹.

Эйлерийн шийдлийг харсны дараа Навье–Стокс хамгийн ирээдүйтэй бодлого гэж бид үзсэн. Тиймээс нөөцөө Навье–Стоксын бодлогод зориулахаар шийдсэн. Үүний тулд агентуудыг Мянганы шагналт бусад бодлогоос шилжүүлж, Эйлерийн шийдлийг командад нь оруулсан. Ажлын явцад дотоод загварын маань нэмэлт сургалттай хувилбар бэлэн болоход агентуудаа тэр загварт шинэчилсэн.

Бид агентын бүлгүүдийг олон янзын арга барил туршихыг дэмжсэн. Хэсэг хугацааны дараа Codex ашиглан агентын бүлэг бүрийн хамгийн хэрэгтэй санааг нэгтгэж, бүлгүүдийн хооронд мэдлэг солилцуулсан. Дараагийн командууд агентуудын өөрсдийнх нь завсрын үр дүнд тулгуурласан. Навье–Стоксын шийдлийг олсон бүлгийг ийм аргаар чиглүүлсэн.

Эхний агентуудыг ажиллуулснаас ойролцоогоор 88 цагийн дараа буюу есдүгээр сарын 5-ны бямба гарагт тэд шийдэлд хүрсэн. Lean албан ёсны болголт, баталгаажуулалтыг GPT‑6 Astra ашиглан хийхэд дахин 17 цаг зарцуулсан.

Туршсан бүх бодлогын хүрээнд агентууд 4.9 сая зурвас илгээж, 300 орчим тэрбум гаралтын токен ашигласан. Навье–Стоксын бодлогыг шийдэх явцад агентууд 2.7 сая зурвас илгээж, ойролцоогоор 130 тэрбум гаралтын токен ашигласан.

Манай ажил есдүгээр сарын 1-нд нэгэн цуурхал сонссоноор эхэлсэн. Хожим нь уг цуурхал Anthropic-ийн ажилтан Левент Алпөгэ болон NYU-ийн математикийн профессор Тристан Бакмастер нартай холбоотой байсныг ойлгосон.² Бүрэн төсөл болон Lean баталгаажуулалтаа есдүгээр сарын 6-нд дуусгасны дараа цуурхлаас үүдэн тэднийг мөн Навье–Стоксын шийдэлтэй гэж үзэж, үр дүнгээ зэрэг нийтлэх санал тавих, хамтарсан мэдэгдэлдээ тэдний түрүүлж хийснийг хүлээн зөвшөөрөхөөр холбогдсон. Тэгэхэд тэд Anthropic-ийн дотоод загвар ашиглан гаднын хүчтэй Эйлерийн бодлогыг шийдсэнийг мэдсэн. Эдгээр хэлэлцүүлгийн үеэр бид ашигласан бүх командуудаа тэдэнд үзүүлж, дараа нь баталгаатай танилцах боломж олгохыг санал болгосон. Гаднын хүчтэй Эйлерийн бодлого дээрх тэдний ажлын анхдагч эрхийг бид хүлээн зөвшөөрч, математикийн гайхамшигтай амжилтад нь баяр хүргэж байна.

Тэд ажлаа нийтэд нээлттэй болгох хүртэл бид буюу судлаачид, агентууд ямар ч сувгаар уг ажилтай танилцаагүй. Ялангуяа энэ бодлогыг шийдэхийн тулд хэрэглэгчийн ямар нэг тодорхой өгөгдөлд хандаагүй.

Шалгалтын дүнд 2026 оны есдүгээр сарын 8-ны энэхүү мэдэгдэл, өгүүллээс өмнөх хоёр сарын хугацаанд Бакмастерын Codex-д өгсөн командууд сургалт зэрэг ямар ч замаар системд нөлөөлөх боломжгүй байсныг бид тогтоосон. Энэ үр дүнд ашигласан OpenAI-ийн дотоод загварыг өмнө нь урьдчилан сургасан загвар дээр өргөн цар хүрээтэй бататгах сургалт хийж хөгжүүлсэн. Манай баталгаанууд ч мөн ихээхэн ялгаатай. Эйлерийн хувьд Алпөгэ, Бакмастер нар гаднын хүчтэй үр дүнг баталсан бол OpenAI-ийн систем гаднын хүчгүй үр дүнг баталсан.

Энэ үр дүнг нийтэлж буй зорилго маань хиймэл оюуны загваруудын үлэмж ахицын талаар мэдээлэх явдал юм. Бид энэ үр дүнд үндэслэн Мянганы шагналыг нэхэмжлэх зорилгогүй.

Энэхүү чухал үе шат нь математикчид болон хиймэл оюуны судлаачдын ихээхэн хөдөлмөрийн үр дүн юм. Гэхдээ энэ бол оргил төгсгөл бус, хиймэл оюуны хөгжлийн ахицын тухайн агшны зураглал юм.

Бид хиймэл оюуны ахицын дараагийн үед хэдийн орсон гэж үзэж байна⁠. Өнөөдрийн үр дүн үүнийг дахин нотолж байна. Бид энэ загварыг ойлгоход анхаарч, олж авсан мэдлэгээрээ чадварыг цааш ахиулах чиглэл, хурдаа удирдаж байна. Хүмүүсийн чиглүүлж болох, хариуцлага хүлээдэг, хүмүүстэй холбоотой хиймэл оюуны систем бүтээх нь манай гол зорилгуудын⁠ нэг юм. AGI-г бүх хүн төрөлхтөнд тустай байлгах эрхэм зорилгоо үргэлжлүүлэхдээ ахицын хурдыг илүү нухацтай сонгох шаардлага гарч магадгүй.