OpenAI-ийн загвар дискрет геометрийн гол таамаглалыг няцаалаа

Батлахад хялбар мэт боловч нэгэн ээдрээтэй асуултыг математикчид бараг 80 жилийн турш судалсаар байна: хэрэв та хавтгай дээр $n$ цэг байрлуулбал, тэдгээрээс хэдэн хос цэгийн хоорондох зай яг $1$-тай тэнцүү байх вэ?

Энэ бол 1946 онд Паул Эрдөш анх дэвшүүлсэн хавтгай нэгжийн зайн бодлого юм. Энэ бол комбинаторик геометрийн хамгийн алдартай асуултуудын нэг бөгөөд хэлэхэд хялбар боловч шийдвэрлэхэд гайхалтай хэцүү юм. Брасс, Мозер, Пач нарын 2005 онд хэвлүүлсэн "Дискрет геометрийн судалгааны асуудлууд " номонд үүнийг "комбинатор геометрийн хамгийн алдартай (мөн тайлбарлахад хамгийн хялбар) асуудал" гэж нэрлэжээ. Принстоны их сургуулийн тэргүүлэх комбинаторист Нога Алон үүнийг "Эрдөшийн дуртай асуудлуудын нэг" гэж тодорхойлжээ. Эрдөш энэ асуудлыг шийдсэний төлөө мөнгөн шагнал хүртэл амласан.

Өнөөдөр бид нэгжийн зайн бодлогын томоохон ахицыг хуваалцаж байна. Эрдошийн анхны бүтээлээс хойш доор дүрсэлсэн “квадрат тор” бүтэц нь нэгжийн зайн хосын тоог хамгийн их байлгахад үндсэндээ хамгийн оновчтой шийдэл гэсэн итгэл үнэмшил давамгайлсаар ирсэн. OpenAI-ийн дотоод загвар энэ олон жилийн таамгийг няцааж, полином сайжруулалтыг гаргаж авах хязгааргүй олон жишээг олж илрүүлсэн байна. Энэ баталгааг хөндлөнгийн математикчдын баг шалгаж баталгаажуулсан. Тэд мөн уг үндэслэлийг тайлбарлаж, үр дүнгийн ач холбогдлын талаар нэмэлт суурь мэдээлэл, нөхцөл байдлыг өгсөн хавсарсан өгүүлэл бичсэн.

Энэхүү үр дүнг олж илрүүлсэн арга нь мөн онцгой анхаарал татаж байгаа юм. Уг баталгааг тусгайлан математикт зориулж сургасан, баталгааны стратегийг хайх бүтэцтэй, эсвэл зөвхөн нэгж зайн бодлогод чиглэсэн системээр бус, харин ерөнхий зориулалттай шинэ төрлийн эргэцүүлэн бодох загвараар гаргаж авчээ. Өндөр түвшний загварууд шинжлэх ухааны тэргүүлэх чиглэлийн судалгаанд хувь нэмэр оруулж чадах эсэхийг шалгах илүү өргөн хүрээний хүчин чармайлтын нэг хэсэг болгон уг загварыг Эрдошийн цуврал бодлогууд дээр үнэлсэн. Энэ тохиолдолд уг нээлттэй асуудлыг шийдвэрлэсэн баталгааг гаргаж авсан.

Энэхүү баталгаа нь математик болон хиймэл оюун ухааны салбарын хувьд чухал түүхэн үйл явдал юм. Энэ нь математикийн нэгэн дэд салбарт голлох байр суурь эзэлдэг олны анхаарлын төвд байсан асуудлыг хиймэл оюун ухаан бие даан шийдвэрлэсэн тохиолдол болж байна. Мөн эдгээр системийн логик сэтгэлгээ, сэтгэн бодох чадвар ямар түвшинд хүрснийг батлан харууллаа. Математик нь сэтгэн бодох чадварыг шалгах онцгой тодорхой туршилтын талбар болдог: бодлогууд нь нарийн, боломжит баталгааг шалгах боломжтой бөгөөд урт хэмжээний үндэслэл нь эхнээсээ дуустал логик нь алдаагүй байж ажилладаг. Асуудлыг шийдсэн арга нь мөн анхаарал татаж байна. Энэ баталгаа нь энгийн геометрийн бодлогод алгебрын тооны онолын санаанд оромгүй, нарийн төвөгтэй санаануудыг ашигласан.

Хавсарсан өгүүлэлд бичсэн Филдсийн медальт Тим Гауэрс энэ үр дүнг “Хиймэл оюун ухааны математикийн салбарт гарсан чухал үе шат” гэж нэрлэсэн. Тооны онолын тэргүүлэх эрдэмтэн Арул Шанкар ийн хэлсэн“Миний бодлоор энэ өгүүлэл нь өнөөгийн хиймэл оюун ухааны загварууд хүн- математикчдад зүгээр туслагч байхаас илүүг хийдэг болсныг харуулж байна —Тэд цоо шинэ, гоц ухаалаг санаа дэвшүүлж, түүнийгээ эцсийг нь хүртэл бодит үр дүн болгох чадвартай гэдгээ нотолло”.

Баталгааг эндээс⁠(шинэ цонхонд нээгдэнэ) үзнэ үү. Гадаадын тэргүүлэх математикчдын хавсаргасан өгүүллийг эндээс⁠(шинэ цонхонд нээгдэнэ) авах боломжтой. Та загварын бодлын гинжин хэлхээний товчилсон хувилбарыг эндээс⁠(шинэ цонхонд нээгдэнэ) олж болно.

Хавтгай дахь n цэгүүдийн хоорондох нэгж зайн хосуудын боломжит хамгийн их тоог $u(n)$ гэж үзье. Шугаман өсөлтийн хурдад хүрэх жишээг бүтээхэд хялбар байдаг: шулуун шугамд $n$ цэгүүдийг байрлуулахад $n-1$ хос өгөгддөг бол дөрвөлжин тор нь ойролцоогоор $2n$ хос өгөгддөг. Өмнө нь хамгийн сайн мэдэгдэж байсан, дахин масштаблагдсан дөрвөлжин торноос гаргаж авсан бүтэц нь бүр ч илүү ихийг өгч байна: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ тогтмол $C$-ийн хувьд. $\log \log(n)$ нь $n$-тэй хамт хязгааргүй байх хандлагатай тул зэрэг дэх нэмэлт гишүүн нь $0$ хандлагатай байдаг тул эдгээр бүтэц нь шугаман бүтэцээс арай хурдан өсөлтийг бий болгодог гэсэн үг юм. Хэдэн арван жилийн турш энэ хурд нь үндсэндээ хамгийн сайн бөгөөд ямар ч барилга байгууламж дөрвөлжин торон дээр мэдэгдэхүйц сайжирч чадахгүй гэж өргөнөөр үздэг байсан. Техникийн хувьд Эрдөс нь нэмэлт (o(1)) нь (n)-тэй (0)-д чиглэсэн гишүүнийг илэрхийлдэг $n^{1+o(1)}$-ийн дээд хязгаарыг таамагласан.

Бидний шинэ үр дүн энэ таамаглалыг үгүйсгэж байна. Илүү нарийвчлалтайгаар, $n$-ийн хязгааргүй олон утгын хувьд баталгаа нь зарим тогтмол зэрэгтэй $\delta > 0$-ийн хувьд ядаж $n^{1+\delta}$ нэгж зайны хос бүхий $n$ цэгүүдийн тохиргоог байгуулдаг. (Хиймэл оюун ухааны анхны нотолгоо нь тодорхой \дельта-г өгөөгүй боловч Принстоны математикийн профессор Уилл Совины \дельта=0.014-г авч болохыг харуулсан тул удахгүй сайжруулалт хийгдэх болно.)

Асуудлын түүх нь үр дүнг яагаад гайхалтай болохыг ойлгоход тусалдаг. Хамгийн сайн мэдэгдэж буй доод хязгаар нь Эрдөшийн 1946 оны анхны загвараас хойш үндсэндээ өөрчлөгдөөгүй байв. Хамгийн сайн дээд хязгаар болох $O(n^{4/3})$ нь Спенсер, Семереди, Троттер нарын 1984 онд хийсэн бүтээл бөгөөд Секели, Кац, Силиер, Пах, Раз, Солимоси болон бусад хүмүүсийн хожим сайжруулалт, холбогдох бүтцийн ажлуудыг хийсэн ч дээд хязгаар нь үндсэндээ өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Таамаглалыг дэмжих нотолгоо болгон Матоушек, Алон-Бучич-Зауэрман нар хавтгайд Евклидийн бус зайн асуудлыг судалж, эдгээр Евклидийн бус зайн "ихэнх" нь ямар нэгэн утгаараа таамаглалыг дагаж мөрддөг болохыг нотолсон.

Гайхалтай нь уг бүтцийн гол орцууд нь алгебрийн тооны онол гэгддэг математикийн маш өөр хэсгээс гаралтай бөгөөд энэ нь алгебрийн тооны талбар гэгддэг бүхэл тоонуудын өргөтгөл дэх факторизаци гэх мэт ойлголтуудыг судалдаг.

Ерөнхий агуулгаар нь авч үзвэл, уг баталгаа нь бидний сайн мэдэх геометрийн санаанаас эхэлж, улмаар түүнийг хэн бүхний төсөөлөөгүй зүг рүү хөгжүүлэн гүнзгийрүүлсэн байна.

Эрдошийн анхны доод хязгаарыг Гауссын бүхэл тоонуудаар ойлгож болно: $a+bi$ хэлбэрийн, энд $a$ ба $b$ нь бүхэл тоо, $i$ нь $-1$-ийн квадрат язгуур юм. Гауссын бүхэл тоонууд нь энгийн бүхэл тоонуудын өргөтгөл бөгөөд тэдгээрийн адилаар анхны тоонуудын үржвэрт цор ганц байдлаар задардаг шинж чанарыг агуулдаг. Энгийн бүхэл тоо эсвэл рационал тоонуудын ийм өргөтгөлүүдийг алгебрын тоон талбар гэж нэрлэдэг. Шинэ үндэслэл нь Гауссын бүхэл тоонуудыг алгебр тооны онолын илүү нарийн төвөгтэй ерөнхийлөлүүдээр орлуулсан бөгөөд эдгээр нь нэгж урттай ялгаваруудыг хамаагүй олноор үүсгэх чадвартай, илүү баялаг тэгш хэмт чанартай юм.

Нарийн үндэслэл нь хязгааргүй class field tower болон Голод–Шафаревичийн онол зэрэг хэрэгслүүдийг ашиглан уг үндэслэлд шаардлагатай тоон талбарууд үнэхээр оршдогийг харуулдаг. Эдгээр санаа нь алгебрын тооны онолчдод сайн мэдэгдэж байсан ч Евклидийн хавтгайн геометрийн асуултуудад ийм үр дагавартай гэж гарсан нь маш том гэнэтийн зүйл байв.

Энэхүү үр дүн нь хиймэл оюун ухаан болон математикийн хоорондын харилцан үйлчлэлд нэгэн чухал үе шатыг тэмдэглэж байна. Учир нь хиймэл оюун ухааны систем нь идэвхтэй судлагдаж буй салбарын төвд байсаар ирсэн, удаан хугацааны турш шийдэгдээгүй байсан нээлттэй асуудлыг бие даан шийдлээ. Мөн энэ нь хиймэл оюун ухаан ба хүн-математикчдын хамтын ажиллагааны шинэ хэлбэрийн эхний дүр зургийг өгч байна. Энэ тохиолдолд, хөндлөнгийн математикчдын хамтарсан судалгаа нь зөвхөн анхны шийдлээс хамаагүй илүү баялаг, бүрэн дүүрэн дүр зургийг харуулж байна

Томас Блум хавсарсан тэмдэглэлдээ ийн бичжээ:

“Хиймэл оюун ухаанаар үүсгэсэн баталгааны ач холбогдол, нөлөөг үнэлэхдээ би өөрөөсөө нэг асуулт асуудаг: энэ нь бидэнд асуудлын талаар шинэ зүйл заасан уу? Бид одоо дискрет геометрийг илүү сайн ойлгож байна уу? Миний бодлоор хариулт нь болгоомжилсон маягтай тийм: энэ нь тооны онолын байгууламжууд ийм төрлийн асуултуудын талаар бидний сэжиглэснээс хавьгүй ихийг хэлж чаддагийг харуулж байна; цаашлаад шаардлагатай тооны онол нь маш гүн байж болдгийг ч харуулж байна. Ирэх саруудад олон алгебрын тооны онолчид дискрет геометрийн бусад нээлттэй асуудлыг анхааралтай ажиглах нь гарцаагүй.”

Шийдлээр ил болсон алгебрын тооны онол ба дискрет геометрийн санаанд оромгүй холбоо нь энэ үр дүнг онцгой болгож буй нэг хэсэг юм. Энэ нь зөвхөн тодорхой нэг таамгийг шийдээд зогсохгүй, математикчдад цаашдын холбоотой асуудлуудыг судалж эхлэх гүүр болж магадгүй юм.

Блум мөн илүү өргөн хүрээний боломжийг онцолж байна:

“Мэдлэгийн хил хязгаар маш жигд бус бөгөөд ирэх сар, жилүүдэд математикийн олон өөр салбарт үүнтэй төстэй амжилтууд гарна гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Тэнд AI санаанд оромгүй холбоонуудыг илчилж, одоо байгаа техникийн аппаратыг хязгаарт нь тулган, олон жилийн нээлттэй асуудлуудыг шийдэх болно. Хиймэл оюун ухаан нь бидний зууны турш бүтээсэн математикийн сүмийг илүү бүрэн судлахад тусалж байна; үүний цаана өөр ямар үл мэдэгдэх гайхамшгууд хүлээж байгаа бол?”

Энэ үр дүн ирээдүйтэй жишээ болж байна: Хиймэл оюун ухаан зөвхөн шийдэл бус, харин дараагийн хүний ойлголтоор ач холбогдол нь улам тодорч, баяжих математик нээлтэд хувь нэмэр оруулж байна.

Гол санаа нь энэ тодорхой үр дүнгээс ч том юм. Математик сэтгэлгээг сайжруулснаар хиймэл оюун ухааныг судалгааны илүү хүчирхэг түнш болгох боломжтой: энэ нь эргэцүүлэн бодох нарийн төвөгтэй явцыг тогтвортой хадгалах, мэдлэгийн алслагдсан салбаруудын санааг хооронд нь холбох, мэргэжилтнүүдийн орхигдуулсан байж болох ирээдүйтэй чиглэлүүдийг илрүүлэх, мөн судлаачдад өөрөөр шийдвэрлэхэд дэндүү ээдрээтэй эсвэл цаг хугацаа их шаардагдах байсан асуудлуудыг урагшлуулахад тусална.

Эдгээр чадварууд нь математикийн салбараас гадна чухал ач холбогдолтой юм. Хэрэв загвар төвөгтэй үндэслэлийг уялдаатай барьж, мэдлэгийн алслагдсан салбаруудын санааг холбож, мэргэжилтний нягт шалгалтыг давсан ажил гаргаж чадвал, эдгээр нь биологи, физик, материал судлал, инженерчлэл, анагаах ухаанд ч хэрэгтэй чадварууд бөгөөд илүү автоматжсан судалгаанд хүрэх бидний урт хугацааны замын нэг хэсэг юм: эрдэмтэн, инженерүүдэд илүү олон санааг судалж, илүү хэцүү техникийн асуултуудыг мөрдөхөд туслах системүүд.

Хиймэл оюун ухаан судалгааны бүтээлч хэсгүүдэд, тэр дундаа хиймэл оюун ухааны өөрийнх нь судалгаанд маш чухал үүрэг гүйцэтгэж эхлэхэд ойрхон байна. Хэдийгээр энэхүү ахиц дэвшил нь гэнэтийн зүйл биш боловч хиймэл оюун ухааны хөгжлийн дараагийн шат, нэн ухаалаг системүүдийг зөв нийцүүлэх сорилтууд болон хүн-хиймэл оюун ухааны ирээдүйн хамтын ажиллагааг ойлгох бидний хэрэгцээг улам бүр чухал болгож байна.

Тэрхүү ирээдүй нь хүний шийдвэрлэх чадвараас хамаарсаар байна. Нарийн мэргэшил, ур чадварын үнэ цэнэ буурах биш, харин ч улам бүр нэмэгдэнэ. Хиймэл оюун ухаан нь хайх, санал болгох, баталгаажуулахад тусалж чадна. Хүмүүс ямар асуудал чухал болохыг сонгож, үр дүнг тайлбарлаж, дараа нь ямар асуултыг дагахаа шийддэг.