수학과 이론 컴퓨터 과학의 10가지 새로운 성과

OpenAI는 과학자와 수학자가 새로운 발견을 더 빠르게 이룰 수 있도록 지원하는 도구를 제공하고자 합니다. 이를 위해 최근 100,000명의 과학자와 수학자에게 최고의 ChatGPT 모델을 무료로 제공하는 프로그램인 ChatGPT for Academic Researchers⁠를 발표했습니다. 또한 모델 개발 과정에서도 미해결 연구 문제를 활용해 모델 성능을 지속적으로 평가하고 있습니다.

지난 5월에는 아직 공개되지 않은 모델을 평가하는 과정에서 발견된 Erdős 단위 거리 추측의 AI 생성 반증⁠을 공개했습니다. 이 연구는 이미 수학과 이론 컴퓨터 과학 분야에서 후속 연구로 이어지고 있습니다¹. 오늘은 그중에서도 오랫동안 해결되지 않은 미해결 문제를 해결하거나 의미 있는 진전을 이룬 10가지 연구 성과를 소개합니다. 이 문제들은 고차원 기하학, 부호 이론, 산술 회로 복잡도, 군론, 연산자 대수, 양자 복잡도, 격자 기반 암호학, 극값 조합론에 걸쳐 있습니다. 모두 각 분야의 수학계에서 중요한 관심을 받아온 문제이며, 그중 일부는 수학 전반에서도 폭넓은 관심을 받는 주제입니다.

다음과 같은 문제들에 대한 새로운 연구 결과를 소개합니다. 이러한 성과는 OpenAI의 차세대 주요 모델인 Astra의 내부 버전을 통해 도출되었습니다. 이 문제들의 해법을 찾는 데 사용된 전체 토큰 수를 Sol API 요금 기준으로 환산하면 약 2,000달러에 해당합니다. 이후 사람 연구자들이 동일한 모델의 도움을 받아 이러한 논증을 논문 원고로 정리했으며, 이어 모델이 각 논증을 Lean 증명서⁠(새 창에서 열기)로 형식화했습니다. 또한 각 해법과 함께 모델이 해당 결과에 이르기까지의 추론 과정을 설명한 자료도 공개합니다.

1. 고차원 구 충전. Cohn–Elkies 임계값까지 구 충전 밀도에 대한 새로운 상한을 제시했습니다.
2. 이진 부호와 구면 부호: 임의의 최소 거리에 대해 이진 부호의 최대 크기에 대한 경계를 지수적으로 개선했으며, 고차원 구면 부호에서도 이에 상응하는 결과를 도출했습니다.
3. 비소픽 군. 비소픽 군의 존재를 보이는 구성을 제시해 군론의 핵심 미해결 문제에 답했습니다.
4. Connes의 강직성 추측. 특정 군이 자신의 von Neumann 대수에 의해 유일하게 결정된다는 오랜 추측을 반증했습니다.
5. 산술 회로 복잡도. 산술 회로와 산술 수식을 이용해 퍼머넌트를 계산하는 새로운 하한을 제시했으며, 그중에는 차수가 n⁴/log n인 산술 수식 하한도 포함됩니다.
6. 양자 병렬 반복. 일반적인 2인 양자 게임에 대한 지수적 병렬 반복 정리를 제시해 고전 계산 복잡도 이론의 기본 원리를 확장했습니다.
7. 최근접 벡터 문제. 포스트 양자 암호학과 관련된 격자 이론의 핵심 문제인 최근접 벡터 문제에 대해 다항식 계수 수준의 근사 난이도를 제시했습니다.
8. Ehrhart의 부피 추측. 모든 차원에서, 내부에 있는 유일한 격자점이 무게중심인 볼록체의 최대 가능한 부피를 규명했습니다.
9. 다색 Ramsey 수. 다색 삼각형 Ramsey 수에 대한 초지수적 하한을 제시해 Erdős 문제 183번을 해결했습니다.
10. 극값 함수 추측. 극값 그래프 이론의 콤팩트성 추측과 퇴화성 추측에 관한 결과를 제시하여 에르되시 문제 146번과 180번을 해결했습니다.

수학 연구에 기여할 수 있는 시스템이 등장하면서, 기술 기업만으로는 답할 수 없는 새로운 질문들이 제기되고 있습니다. 수학에서 AI가 맡아야 할 역할에 대해서는 다양한 견해가 있으며, OpenAI는 Leiden declaration on AI and Mathematics⁠(새 창에서 열기)에 서명한 연구자들을 비롯해 AI의 영향에 우려를 갖는 모든 분들의 의견을 깊이 존중하고 이해합니다. OpenAI는 연구 성과의 기여 표시는 결과가 만들어진 과정을 있는 그대로 반영해야 한다고 생각합니다. AI 시스템이 전적으로 생성한 증명을 사람이 작성한 것이라고 주장하는 것은 시스템의 기여는 물론, 인간의 지적 작업이 지닌 본질까지도 왜곡하게 됩니다. OpenAI는 논문 원고를 준비하고 증명을 Lean으로 형식화하는 작업을 지원했으며, 그 정확성에 대한 책임도 집니다. 다만 수학적 논증 자체는 OpenAI의 시스템이 생성했습니다. 이러한 연구 결과가 수학계에서 깊이 검토되고 적절한 맥락 속에서 이해되어, 그 안에 담긴 아이디어가 새로운 연구와 발견으로 이어지기를 바랍니다.

AI 시스템이 더욱 뛰어난 연구 협력자로 발전해 나가는 가운데, 과학자와 수학자가 이 변화의 시대에 각자의 분야의 미래를 만들어 갈 수 있도록 폭넓은 접근성을 보장하는 것이 중요합니다.