Негізгі мазмұнға өту
OpenAI

2025 ж. 16 сәуір

ШығарылымӨнім

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

ChatGPT-та көріп көріңіз(жаңа терезеде ашылады)
Жүктелуде…

2025 жылғы 10 маусымдағы жаңарту: OpenAI o3‑pro енді ChatGPT‑тағы Pro пайдаланушыларына, сондай-ақ API-імізде қолжетімді. OpenAI o1‑pro сияқты, o3‑pro — ең интеллектуалды моделіміз OpenAI o3‑тің ұзағырақ ойлап, барынша сенімді жауаптар беру үшін жасалған нұсқасы. Толық мәліметті біздің шығарылым ескертпелерінен⁠(жаңа терезеде ашылады) табуға болады.

Бүгін біз жауап бермес бұрын ұзағырақ ойлауға үйретілген o-series модельдеріміздің ең жаңалары — OpenAI o3 және o4-mini, модельдерін шығарамыз. Бұл — осы күнге дейін шығарған ең ақылды модельдеріміз және олар қызығушылығы бар пайдаланушылардан бастап озық зерттеушілерге дейін барлығы үшін ChatGPT мүмкіндіктеріндегі сапалық серпілісті білдіреді. Алғаш рет біздің ойлайтын модельдер ChatGPT ішіндегі әрбір құралды агенттік түрде қолданып, біріктіре алады — бұған веб іздеу, Python көмегімен жүктелген файлдар мен өзге деректерді талдау, көрнекі кірістер туралы терең ой қорыту, тіпті суреттерді генерациялау да кіреді. Ең маңыздысы, бұл модельдер дұрыс шығыс форматтарында егжей-тегжейлі әрі ойластырылған жауаптар беру үшін құралдарды қашан және қалай қолдану керегін ой қорытуға үйретілген, әдетте бір минутқа жетпей, күрделірек мәселелерді шешеді. Бұл оларға көпқырлы сұрақтарды әлдеқайда тиімді шешуге мүмкіндік береді — сіздің атыңыздан тапсырмаларды өз бетінше орындай алатын агенттік ChatGPT бағытына қарай бір қадам. Озық ой қорыту мен толық құрал қолжетімділігінің біріктірілген қуаты академиялық бенчмарктерде де, шынайы өмір тапсырмаларында да едәуір күштірек өнімділікке айналып, интеллект пен пайдалықта жаңа стандарт орнатады.

Не өзгерді

OpenAI o3 — кодтау, математика, ғылым, көрнекі қабылдау және өзге де салаларда озық шекті ілгерілететін ең қуатты ойлайтын модельіміз. Ол Codeforces, SWE-bench (модельге арнайы жеке scaffold құрмай-ақ) және MMMU сияқты бенчмарктерде жаңа SOTA орнатты. Ол көпқырлы талдауды қажет ететін және жауабы бірден айқын болмауы мүмкін күрделі сұраулар үшін өте қолайлы. Ол әсіресе суреттерді, диаграммаларды және графикаларды талдау сияқты көрнекі тапсырмаларда өте мықты нәтиже көрсетеді. Сыртқы сарапшылардың бағалауында o3 қиын, шынайы өмірдегі тапсырмаларда OpenAI o1‑ге қарағанда 20 пайызға аз ірі қате жібереді — әсіресе бағдарламалау, бизнес/консалтинг және креативті идея ұсыну сияқты салаларда озады. Алғашқы тестілеушілер оның аналитикалық қатаңдығын ой серіктесі ретінде атап өтіп, жаңа гипотезаларды тудыру және оларды сыни бағалау қабілетін ерекше көрсетті — әсіресе биология, математика және инженерия контексттерінде.

OpenAI o4-mini — жылдам әрі шығын жағынан тиімді ой қорытуға оңтайландырылған шағын модель; ол өз өлшемі мен құнына шаққанда, әсіресе математика, кодтау және көрнекі тапсырмаларда керемет өнімділікке жетеді. Ол AIME 2024 және 2025 бойынша бенчмарктелген модельдер ішінде ең үздік нәтиже көрсетеді. Компьютерге қолжетімділік AIME емтиханының күрделілігін едәуір төмендететініне қарамастан, Python интерпретаторына қолжетімділік берілгенде o4-mini-дің AIME 2025 бойынша 99.5% pass@1 (100% consensus@8) көрсеткішіне жетуі де назар аударарлық. Бұл нәтижелерді құралдарға қолжетімділігі жоқ модельдердің өнімділігімен салыстыруға болмайды, бірақ олар o4-mini-дің қолжетімді құралдарды қаншалық тиімді пайдаланатынының бір мысалы; o3 те AIME 2025 бойынша құралдарды пайдаланудан ұқсас жақсару көрсетеді (98.4% pass@1, 100% consensus@8).

Сарапшылық бағалауларда o4-mini STEM емес тапсырмаларда да, деректер ғылымы сияқты салаларда да өзінің ізашары o3‑mini-ден асып түседі. Тиімділігінің арқасында o4-mini o3‑ке қарағанда едәуір жоғары пайдалану лимиттерін қолдайды, сондықтан ой қорыту пайдалы болатын сұрақтар үшін жоғары көлемді, жоғары өткізу қабілетті нұсқа болып табылады. Сыртқы сарапшы-бағалаушылар екі модельді де жетілдірілген интеллект пен веб дереккөздерінің қосылуының арқасында нұсқауларды жақсырақ орындайды және өз ізашарларына қарағанда анағұрлым пайдалы, тексерілетін жауаптар береді деп бағалады. Ойлайтын модельдеріміздің алдыңғы нұсқаларымен салыстырғанда, бұл екі модель жад пен өткен әңгімелерге сілтеме жасап, жауаптарды жекелендірілген әрі өзекті етуі себепті табиғи және әңгімелесуге жақынырақ сезілуі тиіс.

Мультимодаль

Кодтау

Барлық SWE-bench бағалау іске қосудары ішкі инфрақұрылымымызда тексерілген n=477 расталған тапсырманың тұрақты ішкі жиынын пайдаланады.

Нұсқауды орындау және агенттік құрал қолдану

Барлық модельдер ChatGPT‑тағы ‘o4-mini-high’ сияқты нұсқаларға ұқсас жоғары ‘ой қорыту күші’ баптауларында бағаланады.

Күшейтпелі оқытуды әрі қарай масштабтау

OpenAI o3‑ті әзірлеу барысында біз ауқымды күшейтпелі оқытудың GPT‑series алдын ала оқытуында байқалған “есептеу көбірек = өнімділік жақсырақ” үрдісін көрсететінін байқадық. Масштабтау жолын — бұл жолы RL-де — қайта жүріп өтіп, біз оқыту есептеуінде де, inference кезіндегі ой қорытуда да қосымша бір реттік шамалық өсімге қол жеткіздік, бірақ бәрібір өнімділіктің айқын өсімін көріп отырмыз, бұл модельдерге көбірек ойлануға мүмкіндік берілген сайын олардың өнімділігі жақсара беретінін растайды. OpenAI o1‑пен бірдей кідіріс пен құнда o3 ChatGPT‑та жоғарырақ өнімділік береді — және біз оны ұзағырақ ойландырсақ, оның өнімділігі әрі қарай өсе беретінін растадық.

Біз сондай-ақ екі модельді де күшейтпелі оқыту арқылы құралдарды қолдануға үйреттік — оларға тек құралдарды қалай қолдануды ғана емес, оларды қашан қолдану керегін де ой қорытуға үйреттік. Қажетті нәтижелерге қарай құралдарды іске қоса алу қабілеті оларды ашық ұшты жағдайларда — әсіресе көрнекі ой қорыту мен көпқадамды жұмыс ағындарын қамтитын жағдайларда — анағұрлым қабілетті етеді. Бұл жақсару академиялық бенчмарктерде де, алғашқы тестілеушілер хабарлаған шынайы тапсырмаларда да көрінеді.

Суреттермен ойлау

ChatGPT thinking with images

Алғаш рет бұл модельдер суреттерді өз ойлау тізбегіне тікелей біріктіре алады. Олар суретті жай ғана көрмейді — онымен ойлайды. Бұл көрнекі және мәтіндік ой қорытуды біріктіретін мәселе шешудің жаңа класын ашады, бұл олардың мультимодаль бенчмарктердегі озық өнімділігінен көрінеді.

Адамдар ақтақтадағы фотосуретті, оқулықтағы диаграмманы немесе қолдан салынған нобайды жүктей алады, ал модель оны түсіндіре алады — тіпті сурет бұлыңғыр, кері аударылған немесе сапасы төмен болса да. Құралдарды қолдана отырып, модельдер суреттерді ой қорыту үдерісінің бір бөлігі ретінде бірден айналдырып, үлкейтіп не түрлендіре алады.

Бұл модельдер көрнекі қабылдау тапсырмаларында өз класындағы ең үздік дәлдікті ұсынады, соның арқасында бұрын қолжетімсіз болған сұрақтарды шеше алады. Толығырақ білу үшін көрнекі ой қорыту туралы зерттеу блогын⁠ қараңыз.

Агенттік құрал қолдануға қарай

OpenAI o3 және o4-mini ChatGPT ішіндегі құралдарға толық қол жеткізе алады, сондай-ақ API-дегі функция шақыру арқылы өзіңіздің арнайы құралдарыңызды да пайдалана алады. Бұл модельдер мәселелерді қалай шешу керегін ой қорытып, құралдарды қашан және қалай қолдану қажеттігін таңдай отырып, дұрыс шығыс форматтарында егжей-тегжейлі әрі ойластырылған жауаптарды жылдам — әдетте бір минуттан аз уақытта — беру үшін үйретілген.

Мысалы, пайдаланушы: “Калифорниядағы жазғы энергия тұтынуы былтырғымен салыстырғанда қандай болады?” деп сұрауы мүмкін. Модель қоғамдық коммуналдық деректерді іздеу үшін вебті шолып, болжам құру үшін Python кодын жазып, график не сурет жасап, болжамның негізгі факторларын түсіндіріп, бірнеше құрал шақыруын тізбектей алады. Ой қорыту модельдерге кездескен ақпаратқа қарай қажет болса әрекетін өзгертіп, бейімделуге мүмкіндік береді. Мысалы, олар іздеу провайдерлерінің көмегімен вебті бірнеше рет іздеп, нәтижелерді қарап, көбірек ақпарат керек болса жаңа іздеулерді байқап көре алады.

Бұл икемді, стратегиялық тәсіл модельдерге модельдің кірістірілген білімінен тыс өзекті ақпаратқа қолжетімділікті, кеңейтілген ой қорытуды, синтезді және модальділіктер арасындағы шығыс генерациясын қажет ететін тапсырмаларды орындауға мүмкіндік береді.

Барлық мысалдар OpenAI o3 көмегімен орындалды.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Көпмүше құрастыру туралы 55 секунд ой қорытты
  • The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
  • I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
  • I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19​(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19​(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn​(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
  • The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
  • I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19​(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19​(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
  • For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
  • Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn​(x)−Dn​(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19​(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Analyzed

Unknown component type: componentCodeExample

Done

A convenient way to force many factors in
p(x)  −  p(y)p(x) \;-\; p(y) is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter a∈Ca \in \mathbb{C} in math these are defined by

D0 ⁣(x, a)=2,  D1 ⁣(x, a)=x,  Dn ⁣(x, a)=x Dn−1 ⁣(x, a)−a Dn−2 ⁣(x, a)(n≥2),D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),

and satisfy the functional identity

Dn ⁣(u+au, a)=un+anun.D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.

1. Choosing the polynomial

Take a=1a = 1 and n=19n=19.
Because nn is odd, D19 ⁣(x, 1)D_{19}\!\left(x,\, 1\right) is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of xx is x=(−1)n−12 n=−19,x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19, so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

p(x)=D19 ⁣(x,1)=x19−19x17+152x15−665x13+1729x11−2717x9+2508x7−1254x5+285x3−19x . \boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.

2. Irreducible components of fX  =  { p(x)=p(y) }fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

Dn ⁣(x,1)  −  Dn ⁣(y,1)  =  (x−y) ∏j=1n−12(x2+y2−2cos⁡ ⁣(2πjn) xy−4sin⁡2 ⁣(πjn)),D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),

where each quadratic factor is irreducible over C\mathbb{C} (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For n=19n=19 this gives

  • one linear component x=y;x=y;
  • nine quadratic components (corresponding to (j=1, …, 9).\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).

Hence X⊂P1×P1X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1} has 1010 irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating p(19)p(19)

Using the recurrence (or the identity Dn ⁣(x, 1)  =  2 Tn ⁣(x2)D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) with Chebyshev TnT_n one obtains

p(19)  =  D19 ⁣(19, 1)  =  1 876 572 071 974 094 803 391 179.p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

p(19)  =  1,876,572,071,974,094,803,391,179.\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

1 м 19 с ойланды

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17​x17+…+a1​x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17​x17+…+a3​x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19​(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19​(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19​(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19​, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1)​ for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19​(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19​(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ​ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient −19-19 whose zero-locus relation { p(x)=p(y) } in P1×P1\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1} splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute p(19)p(19).

1. The polynomial

Consider

p(x)  =  x3 (x2−1)8  −  19x.p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.

We can expand

x3 (x2−1)8  =  x19  −  8x17  +  28x15  −  56x13  +  70x11  −  56x9  +  28x7  −  8x5  +  x3.x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.

Hence

p(x)  =  x19  −  8x17  +  28x15  −  56x13  +  70x11  −  56x9  +  28x7  −  8x5  +  x3  −  19x.p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is x19x^{19}with coefficient 11.

Odd polynomial:
All exponents are odd (19, 17, …, 3, 1),\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr), and the constant term is 00. Indeed,

p(−x)  =  − p(x),p(-x) \;=\; -\,p(x),

which makes pp an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient −19-19:
The coefficient of xx is clearly −19-19.

At least three irreducible components, not all linear:
Over C\mathbb{C}, the locus

X  =  { (x,y):p(x)=p(y) }  ⊂  P1×P1X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}

factors in part because p(x)p(x) has (for instance) the repeated factors (x2−1)8\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} in the big piece x3 (x2−1)8x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}. One sees that { p(x)=p(y) }\{\,p(x)=p(y)\,\} contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots x=0  or  x=±1,x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1, ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing p(19)p(19)

A direct substitution x=19x=19 gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

p(19)  =  1934999285524070399999639.p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] ​:contentReference[oaicite:0]{index=0}​

OpenAI o3 іздеуді қолданбай-ақ жауапты дұрыс береді, ал o1 дұрыс жауап ұсына алмайды.

Шығынға тиімді ой қорытуды ілгерілету

Құн мен өнімділік: o3‑mini және o4-mini
OpenAI o3-mini және o4-mini AIME бағалаулары
OpenAI o3-mini және o4-mini GPQA бағалаулары
Құн мен өнімділік: o1 және o3
OpenAI o3 және o4 AIME бағалаулары
OpenAI o3 және o4 GPQA бағалаулары

OpenAI o3 және o4-mini — біз шығарған ең интеллектуалды модельдер, әрі олар көбіне өз ізашарлары OpenAI o1 мен o3‑mini‑ден тиімдірек. Мысалы, 2025 жылғы AIME математика байқауында o3 үшін құн-өнімділік шегі o1‑ден анық жақсы, ал сол сияқты o4-mini-дің шегі o3‑mini‑ден анық жақсы. Жалпы алғанда, шынайы қолданыстардың көпшілігінде o3 пен o4-mini тиісінше o1 мен o3‑mini‑ден әрі ақылдырақ, әрі арзанырақ болады деп күтеміз.

Қауіпсіздік

Модель мүмкіндіктеріндегі әрбір жақсару қауіпсіздіктегі соған сай жақсартуларды талап етеді. OpenAI o3 пен o4-mini үшін біз биологиялық қатерлер (biorisk), зиянды бағдарлама генерациялау және jailbreak сияқты салаларда жаңа бас тарту көмексөздерін қосып, қауіпсіздікке арналған оқыту деректерін толық қайта құрдық. Осы жаңартылған деректер o3 пен o4-mini-дің ішкі бас тарту бенчмарктерімізде (мысалы, нұсқаулар иерархиясы⁠, jailbreaks) мықты нәтиже көрсетуіне әкелді. Модельдің бас тарту қабілетіндегі мықты нәтижелерден бөлек, біз шекаралық тәуекел аймақтарындағы қауіпті көмексөздерді белгілеу үшін жүйе деңгейіндегі азайту шараларын да әзірледік. Бұрынғы суретті генерациялау⁠ жұмысымызға ұқсас, біз адам жазған және түсіндіруге болатын қауіпсіздік сипаттамаларына негізделіп жұмыс істейтін монитор ретінде reasoning LLM-ді үйреттік. Biorisk саласында қолданылғанда, бұл монитор біздің адам red‑teaming науқанымыздағы әңгімелердің шамамен 99%-ын сәтті белгіледі.

Біз екі модельді де бүгінге дейінгі ең қатаң қауіпсіздік бағдарламамызбен стресс-тесттен өткіздік. Жаңартылған Preparedness Framework⁠ талаптарына сәйкес, біз o3 пен o4-mini-ді Шеңбер қамтитын бақыланатын үш мүмкіндік саласы бойынша бағаладық: биологиялық және химиялық, киберқауіпсіздік және AI-дың өзін-өзі жетілдіруі. Осы бағалаулар нәтижелеріне сүйене отырып, біз o3 пен o4‑mini екеуі де барлық үш санатта Шеңбердің "High" шегінен төмен күйде қалады деген қорытындыға келдік. Осы бағалаулардың егжей-тегжейлі нәтижелерін ілеспе жүйе картасында⁠⁠ жарияладық.

Codex CLI: терминалдағы озық ой қорыту

Біз сондай-ақ жаңа экспериментпен бөлісіп отырмыз: Codex CLI, терминалыңыздан іске қосуға болатын жеңіл кодтау агент. Ол тікелей компьютеріңізде жұмыс істейді және o3 пен o4-mini сияқты модельдердің ой қорыту қабілеттерін барынша арттыруға арналған, ал алдағы уақытта GPT‑4.1⁠ сияқты қосымша API модельдеріне қолдау көрсетіледі.

Пәрмен жолынан мультимодаль ой қорыту артықшылықтарын модельге скриншоттар не дәлдігі төмен нобайларды жіберу және жергілікті кодыңызға қолжетімділікті біріктіру арқылы пайдалана аласыз. Біз мұны модельдерімізді пайдаланушылармен және олардың компьютерлерімен байланыстыратын минимал интерфейс деп санаймыз. Codex CLI бүгінде github.com/openai/codex⁠(жаңа терезеде ашылады) мекенжайында толық ашық бастапқы кодпен қолжетімді.

Сонымен қатар, біз Codex CLI мен OpenAI модельдерін қолданатын жобаларды қолдау үшін $1 миллиондық бастаманы іске қосып жатырмыз. Біз API кредиттері түрінде $25,000 USD қадамдарымен грантқа өтінімдерді бағалап, қабылдаймыз. Ұсыныстарды осында жіберуге болады.

Қолжетімділік

ChatGPT Plus, Pro және Team пайдаланушылары бүгіннен бастап модель таңдағышында o1, o3‑mini және o3‑mini‑high орнына o3, o4-mini және o4-mini-high модельдерін көреді. ChatGPT Enterprise және Edu пайдаланушылары бір аптадан кейін қол жеткізеді. Тегін пайдаланушылар сұрауын жібермес бұрын композерде 'Think' параметрін таңдап, o4-mini-ді сынап көре алады. Барлық жоспарлардағы rate limit шектеулері алдыңғы модельдер жиынтығымен салыстырғанда өзгеріссіз қалады.

Біз бірнеше аптадан кейін толық құрал қолдауымен OpenAI o3‑pro шығаруды күтеміз. Әзірге Pro пайдаланушылары o1‑pro моделіне әлі де қол жеткізе алады.

o3 пен o4-mini бүгіннен бастап әзірлеушілерге Chat Completions API және Responses API арқылы да қолжетімді (кейбір әзірлеушілерге бұл модельдерге қол жеткізу үшін ұйымдарын растау⁠(жаңа терезеде ашылады) қажет болады). Responses API ой қорыту жиынтықтарын, жақсырақ өнімділік үшін функция шақырулар айналасында reasoning токендерін сақтау мүмкіндігін қолдайды және жақында модельдің ой қорытуы ішінде веб іздеу, файл іздеу және код интерпретаторы сияқты кірістірілген құралдарды да қолдайтын болады. Бастау үшін құжаттарымызды қарап шығыңыз⁠⁠(жаңа терезеде ашылады) және алдағы жаңартуларды күтіңіз.

Келесі не

Бүгінгі жаңартулар модельдеріміздің қай бағытқа бет алып бара жатқанын көрсетеді: біз o-series-тің маманданған ой қорыту қабілеттерін GPT‑series‑тің табиғи әңгімелесу қабілеттері мен құрал қолдану мүмкіндіктерімен көбірек біріктіріп жатырмыз. Осы күшті жақтарды біріктіру арқылы болашақ модельдеріміз белсенді құрал қолданумен және озық мәселе шешумен қатар үздіксіз, табиғи әңгімелерді қолдайтын болады.

2025 жылғы 28 шілдедегі жаңарту: SWE-Lancer деректер жиыны мен нәтижелері 2025 жылғы 17 шілдедегі жағдай бойынша жаңартылды, мына жерде қолжетімді: https://github.com/openai/preparedness⁠(жаңа терезеде ашылады) және біздің жүйе карталарымызда. Бұл жаңарту earned dollars нәтижелеріне әсер еткен бірнеше мәселені шешеді және орындау кезінде интернет байланысына қойылған талапты алып тастайды, осылайша модель өнімділігіндегі негізгі құбылмалылық көздерінің бірін жояды.

2025 жылғы 16 сәуірдегі жаңарту: o3 үшін Charxiv-r және Mathvista нәтижелері бастапқы бағалауда болмаған жүйелік көмексөз өзгерісін көрсету үшін жаңартылды.

Тікелей эфир жазбасы

Автор

OpenAI

Ескертпелер

* tau-bench бағалау сандары ауытқуды азайту үшін 5 іске қосу бойынша орташаланған және ешқандай арнайы құралдарсыз не көмексөзсіз орындалған. Біз tau-bench retail rollout-тары пайдаланушы модель қателеріне көбірек бейім екенін анықтадық. Көлеңкеленген баған сандары пайдаланушы моделі ретінде GPT-4.1 арқылы алынған, өйткені ол нұсқауларды орындауда GPT-4o-дан едәуір жақсы.

* SWE-bench 256k ең жоғары контекст ұзындығын қолданады, бұл o4-mini үшін шешу көрсеткішін шамамен 3%-ға жақсартады және o3-тің шешу көрсеткішіне <1% әсер етеді. Сондай-ақ ішкі инфрақұрылымымызда іске қосылмайтын 23 үлгіні алып тастаймыз.

** Шолуды қосқанда, модель кейде интернеттен дәл жауаптарды таба алады, мысалы, деректер жиынындағы үлгі есептер бар блог жазбаларын оқу арқылы. Модельдің шолу кезінде “алдауына” қатысты алаңдаушылықты біз екі стратегиямен азайтамыз:

  • Бұрын модель солардан “алдағанын” байқаған домендерді бұғаттадық.

  • Күдікті әрекетті анықтау үшін әр әрекеттегі барлық токендерді тексеретін монитор ретінде ойлайтын модельді қолдандық. Күдікті әрекет деп “негізгі мақсаты осы нақты сұраққа дәл жауап беру болып табылатын бет, файл немесе үзінді — мысалы, ресми бағалау кілті, тарап кеткен “шешімдер” gist-і немесе дайын жауапты сөзбе-сөз келтіретін талқылау” анықталады. Зиянсыз әрекет деп “ұқыпты адам қарай алатын кез келген беделді дереккөз (құжаттама, нұсқаулықтар, ғылыми мақалалар, сенімді мақалалар), тіпті онда дұрыс жауап кездейсоқ болса да” анықталады. Монитор rollout-ты күдікті деп таныған кез келген әрекет қате деп есептеледі. Бұл тексеруден өте алмаған үлгілердің көбі нақты шешімі HLE-ге қатысы жоқ бірнеше интернет көзінде қолжетімді болған мәселелер еді.

Соңында, іздеумен жүргізілген бағалауларымыз OpenAI API-де толық қайталанбай қалуы мүмкін, себебі ChatGPT мен OpenAI API арасындағы іздеу жүйесі бэкендтерінде айырмашылық бар. Бұл нәтижелер ChatGPT пайдаланушы тәжірибесін көрсетуге арналған, бірақ сұранысқа байланысты іздеу конфигурациясы уақыт өте өзгеруі мүмкін.

Үлес қосқандар

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang