16. apríl 2025

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Hleður inn...

Uppfærsla 10. júní 2025: OpenAI o3‑pro er nú fáanlegt fyrir Pro notendur í ChatGPT, sem og í forritaskilum okkar. Líkt og OpenAI o1‑pro er o3‑pro útgáfan af gáfasta líkaninu okkar, OpenAI o3, sem er hannað til að hugsa lengur og veita áreiðanlegustu svörin. Nánari upplýsingar má finna í útgáfuskýringum⁠(opnast í nýjum glugga) okkar.

Í dag kynnum við OpenAI o3 og o4-mini, nýjustu líkönin í o-seríu okkar sem eru þjálfuð til að hugsa lengur áður en þau svara. Þetta eru snjöllustu líkönin sem við höfum gefið út hingað til, sem tákna stórt skref í getu ChatGPT fyrir alla, allt frá forvitnum notendum til háþróaðra rannsakenda. Í fyrsta sinn geta röksemdalíkön okkar notað og sameinað öll verkfæri sjálfstætt innan ChatGPT—þetta felur í sér að leita á vefnum, greina skrár sem hefur verið hlaðið upp og önnur gögn með Python, hugsa djúpt um sjónræn inntök og jafnvel búa til myndir. Mikilvægt er að þessi líkön séu þjálfuð til að rökstyðja hvenær og hvernig á að nota verkfæri til að búa til nákvæm og ígrunduð svör í réttum frálagsformum, yfirleitt á innan við mínútu, til að leysa flóknari vandamál. Þetta gerir þeim kleift að takast á við margþættar spurningar á skilvirkari hátt, skref í átt að sjálfstæðara ChatGPT sem getur framkvæmt verkefni sjálfstætt fyrir þig. Sameinaður kraftur háþróaðrar rökhugsunar með fullum aðgangi að verkfærum leiðir til verulega betri frammistöðu á fræðilegum viðmiðum og raunverulegum verkefnum, sem setur nýjan staðal í bæði greind og notagildi.

Hvað hefur breyst?

OpenAI o3 er öflugasta rökhugsunarlíkan okkar sem færir mörkin á sviði forritunar, stærðfræði, vísinda, sjónrænnar skynjunar og fleira. Það setur nýtt SOTA á viðmið, þar á meðal Codeforces, SWE-bench (án þess að byggja sérsniðið líkanasértækt kerfi) og MMMU. Það er tilvalið fyrir flóknar fyrirspurnir sem krefjast marghliða greiningar og þar sem svörin eru kannski ekki strax augljós. Það stendur sig sérstaklega vel í sjónrænum verkefnum eins og að greina myndir, töflur og grafík. Í mati utanaðkomandi sérfræðinga gerir o3 20 prósent færri stórar villur en OpenAI o1 í erfiðum, raunverulegum verkefnum – sérstaklega á sviðum eins og forritun, viðskiptum/ráðgjöf og skapandi hugmyndavinnu. Fyrstu prófararnir lögðu áherslu á greiningarnákvæmni þess sem hugsunarfélaga og undirstrikuðu getu þess til að búa til og gagnrýna nýjar tilgátur—sérstaklega innan samhengis líffræði, stærðfræði og verkfræði.

OpenAI o4-mini er minna líkan sem er hannað fyrir hraða og hagkvæma rökhugsun—það nær ótrúlegum árangri miðað við stærð og kostnað, sérstaklega í stærðfræði, forritun og sjónrænum verkefnum. Það er besta viðmiðunarlíkanið á AIME 2024 og 2025. Þó að aðgangur að tölvu dragi verulega úr erfiðleikastigi AIME prófsins var það einnig athyglisvert að o4-mini nær 99,5% pass@1 (100% consensus@8) á AIME 2025 þegar það hefur aðgang að Python-túlki. Þó að ekki eigi að bera þessar niðurstöður bera saman við frammistöðu líkana án aðgangs að verkfærum, eru þær eitt dæmi um hversu vel o4-mini nýtir tiltæk verkfæri; o3 sýnir svipaðar framfarir á AIME 2025 með notkun verkfæra (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

Í sérfræðimati stendur o4-mini sig einnig betur en forveri sinn, o3‑mini, í verkefnum utan STEM sem og á sviðum á borð við gagnavísindi. Þökk sé skilvirkni sinni veitir o4-mini mun hærri notkunarmörk en o3, sem gerir það að öflugum valkosti fyrir mikla notkun og afköst fyrir spurningar þar sem rökhugsun kemur að gagni. Utanaðkomandi sérfræðingar mátu bæði líkönin sem sýna betri eftirfylgni við kennslu og gagnlegri, sannreynanlegri svör en forverar þeirra, þökk sé bættri greind og notkun vefheimilda. Í samanburði við fyrri útgáfur af rökhugsunarlíkönum okkar ættu þessi tvö líkön einnig að vera náttúrulegri og samtalslegri, sérstaklega þar sem þau vísa í minni og fyrri samtöl til að gera svörin persónulegri og viðeigandi.

Fjölþætt

Kóðun

Allar keyrslur á mati í SWE-viðmiði nota fast undirmengi af n=477 staðfestum verkefnum sem hafa verið staðfest á innri innviðum okkar.

Fylgja leiðbeiningum og notkun á fulltrúaverkfærum

Öll líkön eru metin á háum stillingum fyrir „rökhugsunarátak“ stillingum - svipað og afbrigði eins og „o4-mini-high“ í ChatGPT.

Continuing to scale reinforcement learning

Throughout the development of OpenAI o3, we’ve observed that large-scale reinforcement learning exhibits the same “more compute = better performance” trend observed in GPT‑series pretraining. By retracing the scaling path—this time in RL—we’ve pushed an additional order of magnitude in both training compute and inference-time reasoning, yet still see clear performance gains, validating that the models’ performance continues to improve the more they’re allowed to think. At equal latency and cost with OpenAI o1, o3 delivers higher performance in ChatGPT—and we've validated that if we let it think longer, its performance keeps climbing.

We also trained both models to use tools through reinforcement learning—teaching them not just how to use tools, but to reason about when to use them. Their ability to deploy tools based on desired outcomes makes them more capable in open-ended situations—particularly those involving visual reasoning and multi-step workflows. This improvement is reflected both in academic benchmarks and real-world tasks, as reported by early testers.

Að hugsa með myndum

Í fyrsta skipti geta þessi líkön samþætt myndir beint í hugsanaþráð sinn. Þeir sjá ekki bara mynd — þeir hugsa með henni. Þetta opnar nýjan flokk vandamálalausna sem sameinar sjónræna og textalega rökhugsun, sem endurspeglast í háþróaðri frammistöðu þeirra á fjölþættum viðmiðum.

Fólk getur hlaðið upp mynd af töfluspjaldi, kennslubókarskýringarmynd eða handteiknaðri skissu, og líkanið getur túlkað hana — jafnvel þótt myndin sé óskýr, öfug eða í lágum gæðum. Með notkun verkfæra geta líkön unnið með myndir í rauntíma — snúið, notað aðdrátt eða umbreytt þeim sem hluta af rökhugsunarferli sínu.

Þessi líkön skila bestu nákvæmni í sínum flokki þegar kemur að sjónskynjunarverkefnum, sem gerir þeim kleift að leysa spurningar sem áður var ekki hægt að ráða við. Skoðaðu rannsóknarbloggið um sjónræna rökhugsun⁠ til að fá frekari upplýsingar.

Í átt að notkun fulltrúatækja

OpenAI o3 og o4-mini hafa fullan aðgang að verkfærum innan ChatGPT, sem og að eigin sérsniðnu verkfærum með aðgerðaköllum í API-inu. Þessi líkön eru þjálfuð til að rökstyðja hvernig á að leysa vandamál, velja hvenær og hvernig á að nota verkfæri til að búa til nákvæm og ígrunduð svör í réttum frálögum hratt—yfirleitt á innan við mínútu.

Til dæmis gæti notandi spurt: „Hvernig verður orkunotkun í Kaliforníu yfir sumarið í samanburði við síðasta ár?“ Líkanið getur leitað á vefnum að gögnum um almenningsþjónustu, skrifað Python-kóða til að búa til spá, búið til graf eða mynd og útskýrt lykilþætti á bak við spána, með því að tengja saman mörg verkfæraköll. Röksemdafærsla gerir líkönunum kleift að bregðast við og aðlaga sig eftir þörfum að upplýsingum sem þau mæta. Til dæmis geta þau leitað á netinu mörgum sinnum með hjálp leitaraðila, skoðað niðurstöður og prófað nýjar leitir ef þau þurfa meiri upplýsingar.

Þessi sveigjanlega, stefnumótandi nálgun gerir líkönunum kleift að takast á við verkefni sem krefjast aðgangs að nýjustu upplýsingum umfram innbyggða þekkingu líkansins, útvíkkaða rökhugsun, samþættingu og frálags yfir mismunandi aðferðir.

Öllum dæmunum var lokið með OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Hugsaði um margliðugerð í 55 sekúndur

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1.876.572.071.974.094.803.391.179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Hugsaði í 1m 19s

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 fær rétt svar án þess að nota leit, á meðan o1 tekst ekki að skila réttu svari.

Framþróun kostnaðarhagkvæmrar röksemdarfærslu

Kostnaður í samanburði við afköst: o3‑mini og o4-mini

Kostnaður í samanburði við afköst: o1 og o3

OpenAI o3 og o4-mini eru gáfuðustu líkönin sem við höfum nokkurn tíma gefið út, og þau eru einnig oft skilvirkari en forverar þeirra, OpenAI o1 og o3‑mini. Í AIME stærðfræðikeppninni 2025 batnar t.d. kostnaðar-frammstaða fyrir o3 verulega miðað við o1, og á sama hátt batnar mörk o4-mini verulega miðað við o3‑mini. Almennt búumst við við að fyrir flesta raunnotkun verði o3 og o4-mini bæði snjallari og ódýrari en o1 og o3‑mini, í sömu röð.

Safety

Each improvement in model capabilities warrants commensurate improvements to safety. For OpenAI o3 and o4-mini, we completely rebuilt our safety training data, adding new refusal prompts in areas such as biological threats (biorisk), malware generation, and jailbreaks. This refreshed data has led o3 and o4-mini to achieve strong performance on our internal refusal benchmarks (e.g., instruction hierarchy⁠, jailbreaks). In addition to strong performance for model refusals, we have also developed system-level mitigations to flag dangerous prompts in frontier risk areas. Similar to our earlier work in image generation⁠, we trained a reasoning LLM monitor which works from human-written and interpretable safety specifications. When applied to biorisk, this monitor successfully flagged ~99% of conversations in our human red‑teaming campaign.

We stress tested both models with our most rigorous safety program to date. In accordance with our updated Preparedness Framework⁠, we evaluated o3 and o4-mini across the three tracked capability areas covered by the Framework: biological and chemical, cybersecurity, and AI self-improvement. Based on the results of these evaluations, we have determined that both o3 and o4‑mini remain below the Framework's "High" threshold in all three categories. We have published the detailed results from these evaluations in the accompanying system card⁠.⁠

Codex CLI: Frontier röksemdafærsla í gáttinni

Við erum einnig að deila nýrri tilraun: Codex CLI, léttum kóðunarfulltrúa sem þú getur keyrt úr gáttinni þinni. Hann virkar beint á tölvunni þinni og er hannaður til að hámarka rökhugsunargetu líkana eins og o3 og o4-mini, með væntanlegri aðstoð við viðbótar forritaskilalíkön eins og GPT‑4.1⁠.

Þú getur nýtt þér ávinninginn af fjölþættri röksemdafærslu úr skipanalínunni með því að senda skjáskot eða skissur til líkansins, ásamt staðbundnum aðgangi að kóðanum þínum. Við lítum á það sem lágmarksviðmót til að tengja líkönin okkar við notendur og tölvur þeirra. Codex CLI er að fullu opinn hugbúnaður á github.com/openai/codex⁠(opnast í nýjum glugga) í dag.

Samhliða þessu erum við að hleypa af stokkunum 1 milljón dollara átaki til að veita aðstoð við verkefni sem nota Codex CLI og OpenAI líkön. Við munum meta og samþykkja snjallforrit um styrki í þrepum upp á $25.000 USD í formi API-eininga. Hægt er að senda inn tillögur hér.

Aðgangur

Notendur ChatGPT Plus, Pro og Team munu sjá o3, o4-mini og o4-mini-high í líkanavalinu frá og með deginum í dag, sem kemur í stað o1, o3‑mini og o3‑mini‑high. Notendur ChatGPT Enterprise og Edu munu fá aðgang eftir viku. Free notendur geta prófað o4-mini með því að velja 'hugsa' í hönnuðinum áður en þeir senda inn fyrirspurn sína. Gjaldtakmörk fyrir allar áætlanir haldast óbreytt frá fyrri líkanasettum.

Við búumst við því að gefa út OpenAI o3‑pro eftir nokkrar vikur með fullum stuðningi. Í bili geta Pro notendur ennþá nálgast o1‑pro.

Bæði o3 og o4-mini eru einnig aðgengileg forriturum í dag í gegnum Chat Completions forritaskil og Responses forritaskil (sumir forritarar þurfa að staðfesta samtök sín eða fyrirtæki⁠(opnast í nýjum glugga) til að fá aðgang að þessum líkönum). Responses forritaskilin styðja röksemdasamantekt, getu til að varðveita tóka í kringum virkniköll til að bæta frammistöðu, og mun brátt styðja innbyggð verkfæri eins og vefleit, skráarleit og kóðatúlk innan röksemdafærslu líkansins. Til að byrja skaltu kanna skjölin okkar⁠(opnast í nýjum glugga) og fylgjast með fyrir frekari uppfærslur.

What's next

Today's updates reflect the direction our models are heading in: we’re converging the specialized reasoning capabilities of the o-series with more of the natural conversational abilities and tool use of the GPT‑series. By unifying these strengths, our future models will support seamless, natural conversations alongside proactive tool use and advanced problem-solving.

Update on July 28, 2025: SWE-Lancer dataset and results updated as of July 17, 2025, available at: https://github.com/openai/preparedness⁠(opnast í nýjum glugga) and in our system cards. This update resolves several issues that were impacting the dollars earned results and removes the requirement for internet connectivity during execution, eliminating a primary source of variability in model performance.

Update on April 16, 2025: results for o3 on Charxiv-r and Mathvista were updated to reflect a system prompt change that wasn't present in the original evaluation.

Endurspilun á streymi í beinni útsendingu

Höfundur

OpenAI

Neðanmálsgreinar

* Matstölur fyrir tau-bench eru reiknaðar að meðaltali yfir 5 keyrslur til að draga úr frávikum og keyrðar án sérsniðinna verkfæra eða leiðbeininga. Við komumst að því að smásöluútgáfum tau-bench eru hættara við villum í notendalíkönum. Tölur fyrir skyggða súlu eru keyrðar með GPT-4.1 sem notendalíkani því það er marktækt betra en GPT-4o við að fylgja leiðbeiningum.

* SWE-bench notar 256k hámarkssamhengislengd, sem bætir úrlausnarhlutfall o4-mini um u.þ.b. 3% og hefur áhrif á lausnarhlutfall o3 um <1%. Við útilokum einnig 23 dæmi sem ekki er hægt að keyra á innri innviðum okkar.

** Þegar vafri er virkjaður getur líkanið stundum fundið nákvæm svör á netinu, til dæmis með því að lesa bloggfærslur með sýnidæmum úr gagnasafni. Við drögum úr áhyggjum af því að líkanið svindli meðan það vafrar með tveimur aðferðum:

Útilokuð lén sem við höfum fylgst með líkaninu svindla frá í fortíðinni.
Rökfræðilíkan var notað sem eftirlit til að skoða öll tákn í hverri tilraun til að greina grunsamlega hegðun. Grunsamleg hegðun er skilgreind sem „síða, skrá eða bútur þar sem megintilgangurinn er að veita nákvæmlega svarið við þessari tilteknu spurningu – t.d. opinber einkunnarlykill, „lausnir“ sem hefur verið lekið eða umræða þar sem vitnað er í orðrétt lokasvar.“ Góðkynja hegðun er skilgreind sem „sérhvert heimildarúrræði sem kostgæfinn einstaklingur gæti haft samráð við (skjöl, handbækur, fræðigreinar, virtar greinar) jafnvel þótt það tilviljunarkennt innihaldi rétt svar.“ Allar tilraunir þar sem eftirlitið taldi kynningu grunsamlega eru taldar rangar. Flest dæmi sem mistókust með þessari athugun voru vandamál þar sem nákvæm lausn var fáanleg á mörgum netheimildum ótengdum HLE.

Að lokum gæti mat okkar með vefskoðun ekki verið fullkomlega endurtekjanlegt í OpenAI API vegna mismunar á leitarvélabakenda milli ChatGPT og OpenAI API. Þessar niðurstöður eiga að vera dæmigerðar fyrir notandaupplifun ChatGPT, en eftirspurn getur haft áhrif á leitarstillingarnar sem gætu breyst með tímanum.

Þátttakendur

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang