Նավիե–Ստոքսի Հազարամյակի մրցանակային խնդրի մասին

Ներկայացնում ենք Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներից մեկի՝ Նավիե–Ստոքսի գոյության և ողորկության խնդրի լուծումը։ OpenAI-ի ներքին համակարգի ստացած այս ապացույցը ցույց է տալիս, որ հեղուկի շարժումը նկարագրող Նավիե–Ստոքսի հավասարումների դինամիկան կարող է վերջավոր ժամանակում եզակիություն առաջացնել։ Հրապարակում ենք թե՛ ապացույցի շարադրանքը, թե՛ դրա ձևականացումը Lean-ում։

Հազարամյակի մրցանակային խնդիրները⁠(բացվում է նոր պատուհանում) մաթեմատիկայի առաջադեմ ոլորտի ամենախոր հարցերից են։ Մոտ 90 տարի անպատասխան էր մնում այն հարցը, թե արդյոք հարթ եռաչափ հեղուկային շարժումը կարող է խզվել։

Մեր աշխատանքի գլխավոր նպատակներից է գիտնականներին հնարավորություն տալ զարգացնելու ողջ մարդկությանը օգտակար հետազոտություններն ու տեխնոլոգիաները։ Նավիե–Ստոքսի խնդիրը լուծելու համար օգտագործեցինք ներքին մոդել, որը զգալիորեն ավելի ունակ է, քան GPT‑6 Astra-ն։ Կարծում ենք՝ կարևոր է աշխարհին տեղեկացնել AI-ի առաջընթացի տեմպի և առաջիկա մոդելներից ակնկալվող հնարավորությունների մասին։

Նավիե–Ստոքսի հավասարումները հեղուկների շարժումը նկարագրում են Նյուտոնի շարժման երկրորդ օրենքի («F=ma») միջոցով։ Կարևոր է, որ դրանք հեղուկը դիտարկում են որպես անընդհատ միջավայր՝ առանձին մոլեկուլների շարժմանը հետևելու փոխարեն։ Այս հավասարումներն օգտագործվում են ինքնաթիռների նախագծման, եղանակի կանխատեսման և արյան հոսքի ուսումնասիրության համար։

Այս դինամիկական հավասարումների հիմնարար չլուծված հարցն այն էր, թե արդյոք հեղուկի անընդհատ միջավայրի մոտարկումը կարող է խզվել։ Մասնավորապես, կարո՞ղ են հաստատուն խտությամբ եռաչափ չսեղմվող հեղուկի Նավիե–Ստոքսի հավասարումներում «եզակիություն» առաջանալ, նույնիսկ եթե շարժումը սկզբում հարթ է։ Այստեղ եզակիությունը նշանակում է, որ դինամիկայի հետևանքով հեղուկի արագությունները վերջավոր ժամանակահատվածում աճում են՝ առանց սահմանի։ Եզակիությունը պետք է առաջանար՝ չնայած մածուցիկությանը, որը միտված է հարթեցնելու շարժումը։ Քանի որ իրական հեղուկը չի կարող անվերջ մեծ արագությամբ շարժվել, սա կնշանակեր, որ հավասարումներն այլևս ճիշտ չեն մոդելավորում հեղուկը։ Համակարգի մոդելավորումը շարունակելու համար այդ դեպքում անհրաժեշտ կլիներ առանձին հետևել յուրաքանչյուր մասնիկի վարքագծին։

Հավասարումները սկիզբ են առնում Կլոդ-Լուի Նավիեի և Ջորջ Գաբրիել Ստոքսի՝ տասնիններորդ դարի աշխատանքներից։ 1934 թվականին Ժան Լերեյն ապացուցեց, որ ընդհանրացված իմաստով լուծումներ գոյություն ունեն, սակայն դրանց մշտապես հարթ մնալու հարցը դարձավ առանցքային չլուծված խնդիր։ 2000 թվականին Քլեյի մաթեմատիկայի ինստիտուտը Նավիե–Ստոքսի գոյության և հարթության խնդիրը ներառեց Հազարամյակի յոթ մրցանակային խնդիրների շարքում։

Մեր համակարգը ներկայացրել է վերլուծական ապացույց և Lean ձևականացում, ըստ որոնց՝ սկզբում հանգստի վիճակում գտնվող հարթ հեղուկում կարող է վերջավոր ժամանակում եզակիություն առաջանալ։ Հեղուկի վրա ազդում է հարթ ուժ, իսկ նրա էներգիան ամբողջ դինամիկայի ընթացքում՝ հանգստից մինչև եզակիության առաջացումը, մնում է վերջավոր։ Սա լուծում է Նավիե–Ստոքսի Հազարամյակի մրցանակային խնդիրը՝ հաստատելով Հազարամյակի մրցանակի պաշտոնական ձևակերպման «C» (ինչպես նաև «D») պնդումը⁠(բացվում է նոր պատուհանում)։

Լուծումը հորձանուտ է՝ հեղուկի պտտվող շրջապտույտ, որը պարուրաձև շարժվում է դեպի ներս և սպագետիի պես ավելի ու ավելի է երկարում։ Այս կենտրոնական շրջանը փոքրանում և արագանում է այնպես, որ դրա էներգիան, ֆիզիկայի օրենքների պահանջով, շարունակում է վերջավոր մնալ։ Տեխնիկական բարդությունն այն է, որ հավասարումների խզումը պետք է առաջանա հենց հեղուկի շարժման հետևանքով, այլ ոչ թե, օրինակ, մեր կողմից արհեստականորեն անվերջ մեծ ուժ կիրառելու պատճառով։ Ավելի մաթեմատիկորեն՝ շարժումը նկարագրող Նավիե–Ստոքսի հավասարումների անդամները՝ արագացումը, ճնշման գրադիենտները, իմպուլսի փոխանցումը և մածուցիկությունը, պետք է միաժամանակ մեծանան և ճշգրիտ կերպով փոխհատուցեն միմյանց։ Այս ճշգրիտ հավասարակշռության շնորհիվ արտաքին ուժը մնում է հարթ, նույնիսկ երբ հեղուկի արագությունն աճում է՝ առանց սահմանի։

Օգոստոսի 28-ից վերապատրաստում ենք նոր ներքին մոդել, որը մեր չափորոշիչներում, այդ թվում՝ մաթեմատիկայում, աննախադեպ արդյունքներ է ցուցադրել։ Այս մոդելի ուսուցումը շարունակվում է, և դրա արդյունավետությունը շարունակում է բարելավվել։

Երեքշաբթի՝ սեպտեմբերի 1-ին, լուրեր լսեցինք, որ Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներից երկուսը լուծվել են։ Այս լուրերից և մեր ներքին մոդելի արդյունավետության կտրուկ աճից ոգեշնչված՝ սկսեցինք այն գնահատել Հազարամյակի բոլոր չլուծված մրցանակային խնդիրների և մեծ ազդեցություն ունեցող մի քանի այլ խնդիրների վրա։

Մենք օգտագործեցինք մեր ներքին մոդելով աշխատող՝ միմյանց գործողությունները համակարգող ագենտների համակարգ։ Ագենտներին հասանելի էին գործիքներ, օրինակ՝ համացանցի քեշավորված տարբերակից կարդալու և կոդ գործարկելու հնարավորությունները։ Ագենտները բաժանվել էին խմբերի և կարող էին հաղորդակցվել իրենց խմբի ներսում։ Խմբերի չափերը տարբեր էին, իսկ Նավիե–Ստոքսի լուծումը ստացած խմբում միաժամանակ աշխատում էր մոտ 10 000 ագենտ։ Ամբողջ ընթացքում պահպանել ենք նույն խիստ պաշտպանական միջոցները, որոնք կիրառում ենք մեր բոլոր առաջադեմ մոդելների գնահատումներում, այդ թվում՝ մշտադիտարկումն ու մեկուսացումը։

Յուրաքանչյուր խնդրի համար ագենտների տարբեր խմբերին տվել ենք խնդրի ձևակերպման տարբեր տարբերակներ՝ ընդգրկելով դրա բոլոր ձևերը։ Նավիե–Ստոքսի խնդրի դեպքում ագենտների առանձին խմբերին առաջարկել ենք «A» և «B» տարբերակները (խնդրի հատուկ ձևեր, որոնց լուծումը կապացուցեր պնդումը) և «C» ու «D» տարբերակները (որոնց լուծումը կհերքեր այն)։

Հազարամյակի մրցանակային ամբողջական խնդիրներից բացի, մեր բազմաագենտ համակարգին հանձնարարեցինք փորձել լուծել մի շարք «ավելի հեշտ» խնդիրներ։ Դրանցից մեկը եզակիության առաջացման համանման հարց էր Նավիե–Ստոքսի խնդրի այն սահմանային դեպքի համար, որտեղ մածուցիկության անդամը հանված է։ Սա հայտնի է որպես Էյլերի հավասարումների կանոնավորության խնդիր, և մեր ագենտները զարմացրին մեզ՝ լուծելով այն։ Նրանք լուծել են հարցի այն տարբերակը, որտեղ հեղուկի վրա արտաքին ուժ չի ազդում՝ առանց հարկադրող ուժի տարբերակը։ Մոտ 100 ագենտ շուրջ 50 ժամ համատեղ աշխատեց՝ Էյլերի կանոնավորությունը հերքող մեր ապացույցը ստանալու համար¹։

Էյլերի լուծումը տեսնելուց հետո որոշեցինք, որ Նավիե–Ստոքսը հետագա աշխատանքի ամենախոստումնալից խնդիրն է։ Ուստի որոշեցինք մեր ռեսուրսները կենտրոնացնել Նավիե–Ստոքսի վրա։ Դրա համար ագենտներին տեղափոխեցինք Հազարամյակի մյուս խնդիրներից և նրանց տրամադրեցինք Էյլերի խնդրի լուծումը։ Երբ աշխատանքի ընթացքում հասանելի դարձավ մեր ներքին մոդելի՝ հետագայում ուսուցանված տարբերակը, ագենտներին փոխանցեցինք այդ մոդելին։

Ագենտների տարբեր խմբերին խրախուսում էինք ուսումնասիրել բազմազան մոտեցումներ։ Որոշ ժամանակ անց Codex-ի միջոցով միավորեցինք ագենտների խմբերը՝ ամփոփելով յուրաքանչյուր խմբի առավել օգտակար դիտարկումները և տարածելով դրանք մյուս խմբերում։ Հետագա հուշումները հիմնված էին հենց ագենտների միջանկյալ արդյունքների վրա։ Նավիե–Ստոքսի լուծումը գտած խումբն առաջնորդվել է հենց այս եղանակով։

Ագենտներն իրենց լուծումը ստացան շաբաթ՝ սեպտեմբերի 5-ին, առաջին ագենտների գործարկումից մոտ 88 ժամ անց։ Lean ձևականացումն ու ստուգումը GPT‑6 Astra-ի միջոցով ևս 17 ժամ տևեցին։

Փորձարկված բոլոր խնդիրների շրջանակում ագենտներն ուղարկել են 4,9 միլիոն հաղորդագրություն և օգտագործել մոտ 300 միլիարդ ելքային տոկեն։ Նավիե–Ստոքսի խնդիրը լուծելիս ագենտներն ուղարկել են 2,7 միլիոն հաղորդագրություն և օգտագործել մոտ 130 միլիարդ ելքային տոկեն։

Մեր աշխատանքը սկսվեց սեպտեմբերի 1-ին՝ մի լուր լսելուց հետո, որը, ինչպես ավելի ուշ հասկացանք, վերաբերում էր Anthropic-ի աշխատակից Լևենթ Ալփյոգեին և NYU-ի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Թրիստան Բաքմաստերին։² Մեր ամբողջ նախագիծն ու Lean ստուգումն ավարտելուց հետո՝ սեպտեմբերի 6-ին, լուրից ենթադրելով, որ նրանք նույնպես լուծել են Նավիե–Ստոքսի խնդիրը, կապվեցինք նրանց հետ՝ առաջարկելով միաժամանակ հրապարակել մեր արդյունքը և համատեղ հայտարարությամբ ճանաչել նրանց առաջնությունը։ Այդ ժամանակ իմացանք, որ Anthropic-ի ներքին մոդելի միջոցով նրանք լուծել էին արտաքին ուժով Էյլերի խնդիրը։ Այս քննարկումների ընթացքում նրանց առաջարկեցինք ծանոթանալ մեր օգտագործած բոլոր հուշումներին, իսկ ավելի ուշ՝ նաև տեսնել ապացույցը։ Մենք ճանաչում ենք արտաքին ուժով Էյլերի խնդրի վերաբերյալ նրանց աշխատանքի առաջնությունը և շնորհավորում նրանց մաթեմատիկական ուշագրավ նվաճման առթիվ։

Մինչև նրանց աշխատանքի հրապարակումը մենք՝ հետազոտողներս և ագենտները, ոչ մի եղանակով չէինք տեսել այն։ Մասնավորապես, այս խնդիրը լուծելու համար օգտատերերի որևէ կոնկրետ տվյալ չի հասանելիացվել։

Հետաքննությունից հետո հաստատել ենք, որ 2026 թվականի սեպտեմբերի 8-ի այս հայտարարությանը և հոդվածին նախորդող երկու ամիսներին Բաքմաստերի Codex հուշումները որևէ կերպ, այդ թվում՝ ուսուցման միջոցով, չէին կարող ազդել համակարգի վրա։ Այս արդյունքի համար օգտագործված OpenAI-ի ներքին մոդելը մշակվել է նախապես ուսուցանված մոդելի հիման վրա՝ լայնածավալ ամրապնդումով ուսուցման միջոցով։ Մեր ապացույցները նույնպես էապես տարբերվում են։ Էյլերի դեպքում Ալփյոգեն և Բաքմաստերն ապացուցել են արտաքին ուժով արդյունք, իսկ OpenAI-ի համակարգը՝ առանց արտաքին ուժի արդյունք։

Այս արդյունքը հրապարակելու մեր նպատակն է ներկայացնել AI մոդելների զգալի առաջընթացը։ Մենք չենք պատրաստվում այս արդյունքի համար հավակնել Հազարամյակի մրցանակին։

Այս կարևոր հանգրվանը մաթեմատիկոսների և AI հետազոտողների մեծածավալ աշխատանքի արդյունքն է։ Սակայն սա ոչ թե ավարտնակետ է, այլ AI-ի զարգացման առաջընթացի տվյալ պահի պատկերը։

Կարծում ենք՝ այժմ թևակոխել ենք AI-ի առաջընթացի հաջորդ շրջանը⁠, և այսօրվա արդյունքները դրա ևս մեկ վկայությունն են։ Կենտրոնացել ենք այս մոդելը հասկանալու և ստացած գիտելիքներն օգտագործելու վրա՝ կարողությունների հետագա զարգացումն ուղղորդելու և դրա տեմպը կարգավորելու համար։ Մեր առանցքային նպատակներից⁠ է ստեղծել ուղղորդելի, հաշվետու և մարդկանց հետ կապված AI համակարգեր։ Դա կարող է պահանջել առաջընթացի տեմպի վերաբերյալ ավելի կշռադատված որոշումներ, մինչ շարունակում ենք ապահովել, որ AGI-ն օգուտ բերի ողջ մարդկությանը։