2025. április 16.

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Betöltés…

Frissítés 2025. június 10-én: Az OpenAI o3‑pro már elérhető a Pro felhasználók számára a ChatGPT‑ben és az API-n keresztül. Az OpenAI o1‑pro-hoz hasonlóan az o3‑pro is a legintelligensebb modellünk, az OpenAI o3 verziója, amelyet úgy terveztek, hogy hosszabb ideig gondolkodjon, és a legmegbízhatóbb válaszokat nyújtsa. A teljes részletek a kiadási megjegyzéseinkben⁠(új ablakban nyílik meg) találhatók.

Ma bemutatjuk az OpenAI o3 és o4-mini modelleket, az o-sorozatunk legújabb tagjait, amelyeket arra képeztünk ki, hogy hosszabb ideig gondolkodjanak, mielőtt válaszolnának. Ezek a legokosabb modellek, amelyeket eddig kiadtunk, és jelentős előrelépést jelentenek a ChatGPT képességeiben mindenki számára, a kíváncsi felhasználóktól a haladó kutatókig. Először fordul elő, hogy érvelési modelljeink ügynökszerűen használhatják és kombinálhatják a ChatGPT összes eszközét – ez magában foglalja a weben való keresést, a feltöltött fájlok és egyéb adatok Pythonnal történő elemzését, a vizuális beviteli mélyreható elemzését, sőt képek generálását is. Lényeges, hogy ezek a modellek az Indoklásra vannak kiképezve, hogy mikor és hogyan használjanak eszközöket részletes és átgondolt válaszok előállítására a megfelelő kimeneti formátumokban, általában kevesebb mint egy perc alatt, összetettebb problémák megoldásához. Ez lehetővé teszi számukra, hogy hatékonyabban kezeljék a sokrétű kérdéseket, ami egy lépés egy önállóbb ChatGPT felé, amely képes önállóan feladatokat végrehajtani a nevedben. A csúcstechnológiás érvelés és a teljes eszközhozzáférés együttes ereje jelentősen erősebb teljesítményt eredményez az akadémiai mérföldköveken és a valós feladatok során, új mércét állítva mind az intelligencia, mind a hasznosság terén.

Mi változott?

Az OpenAI o3 a legerősebb érvelési modellünk, amely a kódolás, matematika, tudomány, vizuális érzékelés és még sok más területen feszegeti a határokat. Új SOTA-t állít fel olyan benchmarkokon, mint a Codeforces, a SWE-bench (egyedi modell-specifikus állványzat építése nélkül) és az MMMU. Ideális olyan összetett lekérdezésekhez, amelyek több szempontú elemzést igényelnek, és amelyekre a válaszok nem feltétlenül nyilvánvalóak. Különösen jól teljesít a vizuális feladatokban, mint például a képek, diagramok és grafikák elemzése. Külső szakértők értékelései szerint az o3 20 százalékkal kevesebb jelentős hibát követ el, mint az OpenAI o1 a nehéz, valós feladatok során – különösen kiemelkedő a programozás, a business/tanácsadás és a kreatív ötletalkotás területén. A korai tesztelők kiemelték az analitikai szigorát mint gondolkodó partnert, és hangsúlyozták a képességét, hogy új hipotéziseket generáljon és kritikusan értékeljen – különösen a biológia, a matematika és a mérnöki területeken.

Az OpenAI o4-mini egy kisebb modell, amelyet gyors, költséghatékony következtetésre optimalizáltak – méretéhez és költségéhez képest figyelemre méltó teljesítményt nyújt, különösen matematikai, kódolási és vizuális feladatokban. Ez a legjobban teljesítő benchmarkolt modell az AIME 2024 és 2025 során. Bár a számítógéphez való hozzáférés jelentősen csökkenti az AIME vizsga nehézségét, figyelemre méltó, hogy az o4-mini 99,5%-os pass@1 (100% consensus@8) eredményt ér el az AIME 2025-ön, ha hozzáférést kap egy Python értelmezőhöz. Bár ezeket az eredményeket nem szabad összehasonlítani az eszközökhöz hozzá nem férő modellek teljesítményével, ezek egy példa arra, hogy az o4-mini mennyire hatékonyan használja ki a rendelkezésre álló eszközöket; az o3 hasonló javulást mutat az AIME 2025 esetében az eszközök használatával (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

Szakértői értékelésekben az o4-mini felülmúlja elődjét, az o3‑mini‑t nem STEM feladatokban, valamint olyan domainokban, mint az adattudomány. Hatékonyságának köszönhetően az o4-mini lényegesen magasabb használati korlátokat támogat, mint az o3, így erős, nagy volumenű, nagy adatátviteli egységű lehetőséget kínál az olyan kérdésekhez, amelyeknél hasznos az érvelés. Külső szakértők mindkét modelleket úgy értékelték, hogy az elődeikhez képest jobban követik az utasításokat, és hasznosabb, ellenőrizhetőbb válaszokat adnak, köszönhetően a fejlettebb intelligenciának és a webes források integrálásának. A korábbi érvelési modellekhez képest ennek a két modellnek természetesebb és beszélgetésszerűbb élményt kell nyújtania, különösen, mivel a memóriára és a korábbi beszélgetésekre hivatkoznak, hogy a válaszok személyre szabottabbak és relevánsabbak legyenek.

Multimodális

Kódolás

Minden SWE-bench iértékelés egy rögzített, n=477 ellenőrzött feladatból álló részhalmazt használ, amelyet a belső infrastruktúránkon validáltunk.

Utasításkövetés és eszközhasználati képesség

Minden modellt magas „gondolkodási erőfeszítés” beállításokkal értékelnek – hasonlóan a ChatGPT „o4-mini-high” változataihoz.

A megerősítéses tanulás skálázásának folytatása

Az OpenAI o3 fejlesztése során megfigyeltük, hogy a nagy méretű megerősítéses tanulás ugyanazt a "több számítás = jobb teljesítmény" tendenciát mutatja, amelyet a GPT‑sorozatú előképzésben is megfigyeltünk. A skálázódási útvonal visszakövetésével - ezúttal RL-ben - további nagyságrendet toltunk ki mind a képzési számítási, mind a következtetési idejű gondolkodásban, mégis egyértelmű teljesítménynövekedést látunk, ami igazolja, hogy a modellek teljesítménye tovább javul, minél többet engedjük őket gondolkodni. Az OpenAI o1‑gyel azonos késés és költség mellett az o3 nagyobb teljesítményt nyújt a ChatGPT‑ben – és igazoltuk, hogy ha tovább hagyjuk gondolkodni, a teljesítménye tovább növekszik.

Mindkét modellt megerősítéses tanulással képeztük ki az eszközök használatára – nemcsak arra tanítottuk meg őket, hogyan használják az eszközöket, hanem arra is, hogy mikor alkalmazzák azokat. Az eszközök kívánt eredmények szerinti telepítési képességük nyitott helyzetekben teszi őket hatékonyabbá, különösen azokban, amelyek vizuális érvelést és többlépcsős munkafolyamatokat igényelnek. Ez a javulás mind az akadémiai tesztekben, mind a valós feladatokban megmutatkozik, ahogyan azt a korai tesztelők jelentették.

Képekkel gondolkodni

Ezek a modellek először integrálhatják a képeket közvetlenül gondolkodási láncukba. Nem csak egy képet látnak – együtt gondolkodnak vele. Ez egy új problémamegoldási osztályt nyit meg, amely ötvözi a vizuális és szöveges érvelést, és ez tükröződik a multimodális mérőszámok legkorszerűbb teljesítményében.

Feltölthetsz egy fényképet egy tábláról, egy tankönyvi diagramot vagy egy kézzel rajzolt vázlatot, és a modell értelmezheti azt – még akkor is, ha a kép elmosódott, fordított vagy rossz minőségű. Az eszközhasználat révén a modellek képesek menet közben módosítani a képeket – forgatni, nagyítani vagy átalakítani őket az érvelési folyamat részeként.

Ezek a modellek a kategóriájukban legjobb pontosságot nyújtják a vizuális észlelési feladatokban, lehetővé téve olyan kérdések megoldását, amelyek korábban elérhetetlenek voltak. Ha többet szeretnél megtudni, nézd meg a vizuális gondolkodás kutatási blogot⁠.

Az eszközök ügynöki használata felé

Az OpenAI o3 és o4-mini teljes hozzáféréssel rendelkezik a ChatGPT eszközeihez, valamint a saját egyedi eszközeidhez az API-ban történő függvényhívás révén. Ezeket a modelleket arra képezik ki, hogy képesek legyenek problémákat megoldani, eldöntve, mikor és hogyan használják az eszközöket, hogy részletes és átgondolt válaszokat adjanak a megfelelő kimeneti formátumokban gyorsan, általában kevesebb mint egy perc alatt.

Például egy felhasználó megkérdezheti: „Hogyan fog alakulni a nyári energiafogyasztás Kaliforniában a tavalyi évhez képest?” A modell képes a weben közüzemi adatokat keresni, Python kódot írni előrejelzés készítéséhez, grafikon vagy kép generálására, és elmagyarázni az előrejelzés mögötti kulcsfontosságú tényezőket, több eszközhívást összefűzve. Az érvelés lehetővé teszi a modellek számára, hogy szükség szerint reagáljanak és alkalmazkodjanak az általuk talált információkhoz. Például többször is kereshetnek az interneten keresőszolgáltatók segítségével, megnézhetik az eredményeket, és új kereséseket próbálhatnak ki, ha több információra van szükségük.

Ez a rugalmas, stratégiai megközelítés lehetővé teszi a modellek számára, hogy olyan feladatokat oldjanak meg, amelyekhez naprakész információkhoz való hozzáférés szükséges, túl a modell beépített tudásán, kiterjesztett érvelésén, szintézisén és kimenet generálásán különböző modalitásokban.

Minden példát az OpenAI o3‑mal fejeztünk be.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

55 másodpercig gondolkodott a polinom konstrukciójáról

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1 876 572 071 974 094 803 391 179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

1 perc 19 másodpercig gondolkodott

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

Az OpenAI o3 helyesen kapja meg a választ keresés nélkül, míg az o1 nem tud helyes választ adni.

Költséghatékony érvelés előmozdítása

Költség és teljesítmény: o3‑mini és o4-mini

OpenAI o3-mini és o4-mini AIME értékelések

OpenAI o3-mini és o4-mini GPQA értékelések

Költség és teljesítmény: o1 és o3

Az OpenAI o3 és o4-mini a legintelligensebb modellek, amelyeket valaha kiadtunk, és gyakran hatékonyabbak, mint elődeik, az OpenAI o1 és az o3‑mini. Például a 2025-ös AIME matematikaversenyen az o3 költség-teljesítmény határa szigorúan javul az o1‑hez képest, és hasonlóképpen az o4-mini határa szigorúan javul az o3‑minihez képest. Általánosságban azt várjuk, hogy a legtöbb valós használatban az o3 és az o4-mini is okosabb és olcsóbb lesz, mint az o1 és az o3‑mini, külön-külön.

Biztonság

A modell képességeinek minden fejlesztése indokolja a biztonság arányos javítását. Az OpenAI o3 és o4-mini esetében teljesen újraépítettük a biztonsági betanítási adatainkat, új elutasítási utasításokat adva olyan területeken, mint a biológiai fenyegetések (biorisk), rosszindulatú programok generálása és jailbreakelés. Ezek a frissített adatok lehetővé tették az o3 és o4-mini számára, hogy erős teljesítményt érjenek el a belső elutasítási referenciaértékeinken (pl. utasításhierarchia⁠, jailbreak-ek). A modellek elutasításainak erős teljesítménye mellett rendszerszintű intézkedéseket is fejlesztettünk ki a veszélyes utasítások megjelölésére a határterületi kockázatoknál. Hasonlóan a korábbi munkánkhoz a képgenerálás⁠ terén, képeztünk egy érvelő LLM-monitort, amely ember által írt és értelmezhető biztonsági specifikációkból dolgozik. A biorizikóra alkalmazva ez a monitor sikeresen megjelölte a beszélgetések ~99%-át a humán red-teaming kampányunk során.

Mindkét modellt az eddigi legszigorúbb biztonsági programunkkal stresszteszteltük. A frissített Felkészültségi Keretrendszerünkkel⁠ összhangban az o3 és o4-mini rendszereket a Keretrendszer által lefedett három nyomon követett képességterületen értékeltük: biológiai és vegyi, kiberbiztonság, valamint a mesterséges intelligencia önfejlesztése. Ezen értékelések eredményei alapján megállapítottuk, hogy mind az o3, mind az o4-mini mindhárom kategóriában a Keretrendszer „Magas” küszöbértéke alatt marad. Közzétettük az értékelések részletes eredményeit a mellékelt rendszerkártyán⁠.⁠

Codex CLI: úttörő érvelés a terminálban

Egy új kísérletet is megosztunk: a Codex CLI-t, egy könnyű kódoló ügynököt, amelyet a terminálodról futtathatsz. Közvetlenül a számítógépeden működik, és úgy van tervezve, hogy maximalizálja az olyan modellek érvelési képességeit, mint az o3 és az o4-mini, a közelgő további API modellek támogatásával, mint például a GPT‑4.1⁠.

A multimodális gondolkodás előnyeit a parancssorból úgy érheted el, hogy képernyőképeket vagy alacsony felbontású vázlatokat küldesz a modellnek, és helyileg hozzáférsz a kódodhoz. Egy minimális interfészként gondoljuk rá, amelyen keresztül modelljeink csatlakoznak a felhasználókhoz és számítógépeikhez. A Codex CLI teljesen nyílt forráskódú a github.com/openai/codex⁠(új ablakban nyílik meg) oldalon ma.

Emellett elindítunk egy 1 millió dolláros kezdeményezést, hogy támogassuk a Codex CLI-t és az OpenAI modelleket használó projekteket. Értékeljük és elfogadjuk a támogatási alkalmazásokat 25 000 USD-s lépésekben API-kreditek formájában. Javaslatokat itt tudsz beküldeni.

Hozzáférés

A ChatGPT Plus, Pro és Team felhasználók mától az o3, o4-mini és o4-mini-high modelleket fogják látni a modellválasztóban, leváltva az o1, o3‑mini és o3‑mini‑high modelleket. A ChatGPT Enterprise és Edu felhasználók egy héten belül hozzáférést kapnak. A Free felhasználók kipróbálhatják az o4-mini-t, ha a lekérdezésük elküldése előtt kiválasztják a „gondolkodj” lehetőséget a szerkesztőben. Az összes terv díjkorlátai változatlanok maradnak az előző modellekhez képest.

Várhatóan néhány héten belül kiadjuk az OpenAI o3‑pro‑t teljes ügyfélszolgálattal. Egyelőre a Pro felhasználók továbbra is hozzáférhetnek az o1‑pro‑hoz.

Mind az o3, mind az o4-mini ma elérhető a fejlesztők számára a Csevegés Completions API és a Responses API révén (néhány fejlesztőnek igazolnia kell a szervezetüket⁠(új ablakban nyílik meg) ezekhez a modellekhez). A Responses API támogatja az érvelési összegzéseket, a funkcióhívások körüli érvelési tokenek megőrzésének képességét a jobb teljesítmény érdekében, és hamarosan támogatni fogja a modell érvelésének beépített eszközeit, mint például a webes keresés, fájlkeresés és kódértelmező. Első lépésként fedezd fel a dokumentációinkat⁠(új ablakban nyílik meg), és maradj naprakész a további frissítésekkel.

Mi következik?

A mai frissítések tükrözik a modelljeink irányát: az o-sorozat speciális gondolkodási képességeit a GPT‑sorozat természetes beszélgetési képességeivel és eszközhasználatával konvergáljuk. Ezen erősségek egyesítésével jövőbeli modelljeink a proaktív eszközhasználat és a fejlett problémamegoldás mellett zökkenőmentes, természetes beszélgetéseket is támogatni fognak.

Frissítés 2025. július 28-án: A SWE-Lancer adatkészlet és az eredmények 2025. július 17-én frissítve, elérhetők a következő címen: https://github.com/openai/preparedness⁠(új ablakban nyílik meg) és a rendszerkártyáinkon. Ez a frissítés számos olyan problémát old meg, amelyek befolyásolták a dollárban kifejezett eredményeket, és eltávolítja az internetkapcsolat követelményét a végrehajtás során, kiküszöbölve a modell teljesítményének változékonyságának elsődleges forrását.

Frissítés 2025. április 16-án: a Charxiv-r és a Mathvista o3 eredményeit frissítettük, hogy tükrözzék az utasítás változását, amely nem szerepelt az eredeti értékelésben.

Élő közvetítés visszajátszása

Szerző

OpenAI

Lábjegyzetek

* A tau-bench értékelési számait 5 futtatás átlagában adjuk meg az eltérés csökkentése érdekében, és egyéni eszközök vagy kérdések nélkül futtatjuk. Megállapítottuk, hogy a tau-bench kiskereskedelmi bevezetései hajlamosabbak a felhasználói modell hibáira. Az árnyékolt sáv számait a GPT-4.1 felhasználói modellel futtatjuk, mert ez jelentősen jobb, mint a GPT-4o az utasítások követésében.

* A SWE-bench 256k maximális kontextushosszt használ, ami körülbelül 3%-kal javítja az o4-mini megoldási arányát, és <1%-kal befolyásolja az o3 megoldási arányát. Kizárunk 23 olyan mintát is, amelyek nem futtathatók a belső infrastruktúránkon.

** A böngészés engedélyezése esetén a modell néha pontos válaszokat találhat online, például egy adathalmazból vett mintafeladatokat tartalmazó blogbejegyzések olvasásával. Két stratégiával csökkentjük a modell csalásával kapcsolatos aggályokat böngészés közben:

Blokkolt domainek, amelyekről korábban már észleltünk, hogy a modell „csalásra” használja őket.
Egy érvelési modellt használtunk monitorként, hogy minden próbálkozás során megvizsgálja az összes tokent a gyanús viselkedés azonosítása érdekében. A gyanús viselkedést úgy definiáljuk, hogy „olyan oldal, fájl vagy részlet, amelynek fő célja, hogy pontos választ adjon erre a konkrét kérdésre – például egy hivatalos osztályozási kulcs, kiszivárgott „megoldások” gist vagy olyan vita, amely szó szerint idézi a kész választ.” A jóindulatú viselkedés pedig úgy van meghatározva, hogy „bármilyen tekintélyes forrás, amelyet egy szorgalmas ember megtekinthet (dokumentáció, kézikönyvek, tudományos dolgozatok, megbízható cikkek), még akkor is, ha véletlenül tartalmazza a helyes választ.” Minden olyan próbálkozást, amelyet a monitor gyanúsnak ítélt, hibásnak számoltunk. A legtöbb, ezen az ellenőrzésen elbukott minta olyan feladat volt, amelynek a pontos megoldása több, a HLE-től független internetes forráson is elérhető volt.a HLE-hez nem kapcsolódó.

Végül, a böngészéssel végzett értékeléseink nem biztos, hogy tökéletesen reprodukálhatók az OpenAI API-ban, mivel különbség van a keresőmotor-háttérprogramok között a ChatGPT és az OpenAI API között. Ezek az eredmények a ChatGPT felhasználói élményét hivatottak reprezentálni, de a kereslet függvényében a keresési konfiguráció idővel változhat.

Közreműködők

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang