16. travnja 2025.

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Učitavanje…

Ažuriranje 10. lipnja 2025.: OpenAI o3‑pro sada je dostupan Pro korisnicima u ChatGPT‑ju, kao i u našem API-ju. Kao i OpenAI o1‑pro, o3‑pro je verzija našeg najinteligentnijeg modela, OpenAI o3, dizajnirana za dulje razmišljanje i pružanje najpouzdanijih odgovora. Potpune detalje možete pronaći u našim bilješkama o izdanju⁠(otvara se u novom prozoru).

Danas predstavljamo OpenAI o3 i o4-mini, najnovije modele u našoj o-seriji, obučene da dulje razmišljaju prije nego što odgovore. Ovo su najpametniji modeli koje smo do sada objavili i predstavljaju značajan napredak u mogućnostima ChatGPT‑ja za sve, od znatiželjnih korisnika do naprednih istraživača. Po prvi put, naši modeli prosuđivanja mogu agentski koristiti i kombinirati sve alate unutar ChatGPT‑ja – što uključuje pretraživanje weba, analizu učitanih datoteka i drugih podataka pomoću Pythona, duboko razmišljanje o vizualnim upitima, pa čak i generiranje slika. Ključno je da se ovi modeli obuče da prosuđuju kada i kako koristiti alate za izradu detaljnih i promišljenih odgovora u ispravnim formatima izlaza, obično u manje od minute, za rješavanje složenijih problema. To im omogućuje učinkovitije rješavanje višestrukih pitanja, što je korak prema agentskom ChatGPT‑ju koji može samostalno izvršavati zadatke u vaše ime. Kombinirana snaga najsuvremenijeg rasuđivanja s potpunim pristupom alatima rezultira znatno boljim performansama u akademskim mjerilima i stvarnim zadacima, postavljajući novi standard u inteligenciji i korisnosti.

Što se promijenilo

OpenAI o3 naš je najmoćniji model zaključivanja koji pomiče granice u kodiranju, matematici, znanosti, vizualnoj percepciji i još mnogo toga. Postavlja novi SOTA na mjerilima, uključujući Codeforces, SWE-bench (bez izgradnje prilagođenog model-specifičnog okvira) i MMMU. Idealan je za složene upite koji zahtijevaju višestruku analizu i čiji odgovori možda nisu odmah očiti. Posebno je učinkovit u vizualnim zadacima kao što su analiza slika, grafikona i grafike. U procjenama vanjskih stručnjaka, o3 čini 20 posto manje većih pogrešaka od modela OpenAI o1 na teškim, stvarnim zadacima – posebno se ističući u područjima poput programiranja, poslovanja/savjetovanja i kreativnog stvaranja ideja. Rani testeri istaknuli su njegovu analitičku rigoroznost kao partnera za razmišljanje i naglasili njegovu sposobnost smišljanja i kritičke evaluacije novih hipoteza — osobito u kontekstima biologije, matematike i inženjerstva.

OpenAI o4-mini je manji model optimiziran za brzo i isplativo zaključivanje – postiže izvanredne performanse za svoju veličinu i cijenu, osobito u matematici, kodiranju i vizualnim zadacima. To je najbolje ocijenjeni model prema AIME 2024 i 2025. Iako pristup računalu značajno smanjuje težinu AIME ispita, također smo primijetili da o4-mini postiže 99,5 % pass@1 (100 % consensus@8) na AIME 2025 kada ima pristup Python interpreteru. Iako se ovi rezultati ne bi trebali uspoređivati s performansama modela bez pristupa alatu, oni su primjer koliko učinkovito o4-mini koristi dostupne alate; o3 pokazuje slična poboljšanja na AIME 2025 zahvaljujući korištenju alata (98,4 % pass@1, 100 % consensus@8).

U stručnim evaluacijama, o4-mini također nadmašuje svog prethodnika, o3‑mini, u zadacima izvan STEM područja kao i u domenama poput podatkovne znanosti. Zahvaljujući svojoj učinkovitosti, o4-mini ima znatno veću podršku za ograničenja korištenja od o3, što ga čini snažnom opcijom za pitanja velikog volumena i velike propusnosti koja imaju koristi od zaključivanja. Vanjski stručni evaluatori ocijenili su da oba modela pokazuju poboljšano praćenje uputa i korisnije, provjerljive odgovore od svojih prethodnika, zahvaljujući poboljšanoj inteligenciji i uključivanju web izvora. U usporedbi s prethodnim iteracijama naših modela zaključivanja, ova dva modela trebala bi se činiti prirodnijima i razgovornijima, osobito jer se oslanjaju na memoriju i prošle razgovore kako bi odgovori bili personaliziraniji i relevantniji.

Multimodalnost

Kodiranje

Svi SWE-bench testovi koriste fiksni podskup od n=477 potvrđenih zadataka koji su validirani na našoj internoj infrastrukturi.

Praćenje uputa i korištenje alata s elementima autonomije

Svi modeli evaluiraju se pri visokim postavkama 'napora rasuđivanja' – slično varijantama poput 'o4-mini-high' u ChatGPT‑ju.

Nastavljanje skaliranja učenja putem povratnih informacija

Tijekom razvoja modela OpenAI o3, primijetili smo da učenje putem povratnih informacija velikih razmjera pokazuje isti trend „više računalne snage = bolje performanse“ koji je uočen u predtreningu GPT‑serije. Ponavljanjem puta skaliranja – ovaj put u RL-u – pomaknuli smo se za dodatni red veličine u računalnoj obuci i prosuđivanju u vremenu zaključivanja, no i dalje vidimo jasna poboljšanja performansi, potvrđujući da se performanse modela nastavljaju poboljšavati što im je više dopušteno razmisliti. Uz jednako kašnjenje i troškove kao OpenAI o1, o3 pruža bolje performanse u ChatGPT‑ju – i potvrdili smo da, ako mu dopustimo da dulje razmišlja, njegove performanse nastavljaju rasti.

Također smo obučili oba modela da koriste alate putem učenja putem povratnih informacija – poučavajući ih ne samo kako koristiti alate, već i kako prosuditi kada ih koristiti. Njihova sposobnost primjene alata na temelju željenih ishoda čini ih sposobnijima u otvorenim situacijama – posebno onima koje uključuju vizualno prosuđivanje i tijekove rada u više koraka. Ovo poboljšanje odražava se i u akademskim mjerilima i u zadacima iz stvarnog svijeta, kako su izvijestili rani ispitivači.

Razmišljanje uz slike

Po prvi put, ovi modeli mogu integrirati slike izravno u svoj lanac zaključivanja. Oni ne vide samo sliku – oni razmišljaju njome. To otključava novu klasu rješavanja problema koja kombinira vizualno i tekstualno prosuđivanje, što se odražava u njihovim vrhunskim performansama na multimodalnim mjerilima.

Osobe mogu učitati fotografiju bijele ploče, dijagram iz udžbenika ili ručno nacrtanu skicu, a model ih može interpretirati – čak i ako je slika mutna, obrnuta ili niske kvalitete. Pomoću alata, modeli mogu manipulirati slikama u hodu – rotirajući, zumirajući ili transformirajući ih kao dio svog procesa prosuđivanja.

Ovi modeli pružaju najbolju točnost u klasi za zadatke vizualne percepcije, omogućavajući im rješavanje pitanja koja su prije bila izvan dosega. Posjetite blog o istraživanju vizualnog prosuđivanja⁠ kako biste saznali više.

Prema korištenju agentskih alata

OpenAI o3 i o4-mini imaju potpuni pristup alatima unutar ChatGPT‑ja, kao i vašim vlastitim prilagođenim alatima putem pozivanja funkcija u API-ju. Ovi modeli obučeni su da prosuđuju kako riješiti probleme, birajući kada i kako koristiti alate za brzo stvaranje detaljnih i promišljenih odgovora u ispravnim izlaznim formatima – obično u manje od minute.

Na primjer, korisnik bi mogao pitati: „Kako će se ljetna potrošnja energije u Kaliforniji usporediti s prošlom godinom?“ Model može pretraživati web za podatke o javnim uslugama, pisati Python kod za izradu prognoze, generirati graf ili sliku te objasniti ključne čimbenike iza prognoziranja, povezujući više poziva alata. Zaključivanje omogućuje modelima da reagiraju i prilagode se prema potrebi informacijama na koje naiđu. Na primjer, mogu pretraživati web više puta uz pomoć pružatelja pretraživanja, pregledavati rezultate i isprobavati nove pretrage ako im treba više informacija.

Ovaj fleksibilan, strateški pristup omogućuje modelima da rješavaju zadatke koji zahtijevaju pristup najnovijim informacijama izvan ugrađenog znanja modela, prošireno zaključivanje, sintezu i generiranje izlaza kroz različite modalitete.

Svi primjeri dovršeni su pomoću modela OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Prosuđivao je o konstrukciji polinoma 55 sekundi

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poli(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Prosuđivao je 1 minutu i 19 sekundi

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 ispravno dobiva odgovor bez korištenja pretraživanja, dok o1 ne uspijeva isporučiti točan odgovor.

Unapređenje isplativog zaključivanja

Cijena naspram performansi: o3‑mini i o4-mini

Evaluacije modela OpenAI o3-mini i o4-mini AIME

Evaluacije modela OpenAI o3-mini i o4-mini GPQA

Cijena naspram performansi: o1 i o3

OpenAI o3 i o4-mini su najinteligentniji modeli koje smo ikada izdali, a također su često učinkovitiji od svojih prethodnika, OpenAI o1 i o3‑mini. Na primjer, na matematičkom natjecanju AIME 2025., granica odnosa cijene i učinkovitosti za o3 strogo se poboljšava u odnosu na o1, a slično tome, granica za o4-mini strogo se poboljšava u odnosu na o3‑mini. Općenito, očekujemo da će za većinu stvarne upotrebe o3 i o4-mini biti i pametniji i jeftiniji od o1 i o3‑mini.

Sigurnost

Svako poboljšanje mogućnosti modela zahtijeva odgovarajuća poboljšanja sigurnosti. Za OpenAI o3 i o4-mini, potpuno smo obnovili podatke o sigurnosnoj obuci, dodajući nove upite za odbijanje u područjima kao što su biološke prijetnje (biorizik), generiranje zlonamjernog softvera i jailbreakovi. Ovi osvježeni podaci omogućili su modelima o3 i o4-mini da postignu snažne rezultate na našim internim mjerilima odbijanja (npr. hijerarhija uputa⁠, jailbreakovi). Osim snažnih performansi za odbijanja modela, razvili smo i sustavne mjere za označavanje opasnih upita u područjima graničnog rizika. Slično našem ranijem radu u generiranju slika⁠, obučili smo nadzornika za prosuđivanje LLM-a koji radi na temelju sigurnosnih specifikacija koje su napisali ljudi i koje se mogu interpretirati. Kada se primijeni na biorizik, ovaj je nadzornik uspješno označio ~99 % razgovora u našoj kampanji ljudskog red-teaminga.

Oba modela smo podvrgnuli stres testiranju koristeći naš dosad najrigorozniji sigurnosni program. U skladu s našim ažuriranim Okvirom za pripravnost⁠, procijenili smo o3 i o4-mini u tri područja praćenih sposobnosti koje pokriva Okvir: biološko i kemijsko, kibernetička sigurnost i samousavršavanje umjetne inteligencije. Na temelju rezultata ovih evaluacija, utvrdili smo da i o3 i o4‑mini ostaju ispod "visokog" praga Okvira u sve tri kategorije. Objavili smo detaljne rezultate ovih evaluacija u priloženoj kartici sustava⁠.

Codex CLI: pomicanje granica prosuđivanja u terminalu

Također dijelimo novi eksperiment: Codex CLI, lagani agent za kodiranje koji možete pokrenuti iz svog terminala. Radi izravno na vašem računalu i dizajniran je da maksimizira sposobnosti prosuđivanja modela poput o3 i o4-mini s nadolazećom podrškom za dodatne API modele poput modela GPT‑4.1⁠.

Prednosti multimodalnog prosuđivanja možete dobiti iz naredbenog retka slanjem snimki zaslona ili skica niske vjernosti modelu, u kombinaciji s lokalnim pristupom vašem kodu. Razmišljamo o tome kao o minimalnom sučelju za povezivanje naših modela s korisnicima i njihovim računalima. Codex CLI je potpuno otvorenog koda na github.com/openai/codex⁠(otvara se u novom prozoru) danas.

Uz to, pokrećemo inicijativu vrijednu 1 milijun dolara za podršku projektima koji koriste Codex CLI i OpenAI modele. Procijenit ćemo i prihvatiti aplikacije za bespovratna sredstva u iznosima od 25.000 USD u obliku API kredita. Prijedlozi se mogu poslati ovdje.

Pristup

Korisnici modela ChatGPT Plus, Pro i Team vidjet će o3, o4-mini i o4-mini-high u izborniku modela počevši od danas, zamjenjujući o1, o3‑mini i o3‑mini‑high. Korisnici modela ChatGPT Enterprise i Edu dobit će pristup za tjedan dana. Free korisnici mogu isprobati o4-mini odabirom opcije 'Razmisliti' u sastavljaču prije slanja upita. Ograničenja brzine u svim planovima ostaju nepromijenjena u odnosu na prethodni set modela.

Očekujemo da ćemo za nekoliko tjedana izdati OpenAI o3‑pro s potpunom podrškom za alate. Za sada, Pro korisnici još uvijek mogu pristupiti modelu o1‑pro.

I o3 i o4-mini danas su također dostupni razvojnim inženjerima putem čavrljanje Completions API-ja i Responses API-ja (neki razvojni inženjeri morat će provjeriti valjanost svoje organizacije⁠(otvara se u novom prozoru) kako bi pristupili tim modelima). API za odgovore podržava sažetke zaključivanja, mogućnost očuvanja tokena zaključivanja oko poziva funkcija za bolje performanse, a uskoro će podržavati ugrađene alate poput web pretraživanja, pretrage datoteka i tumača koda unutar modela zaključivanja.. Za početak, istražite našu dokumentaciju⁠(otvara se u novom prozoru) i budite u tijeku s daljnjim ažuriranjima.

Što je sljedeće

Današnja ažuriranja odražavaju smjer u kojem naši modeli idu: spajamo specijalizirane sposobnosti prosuđivanja o-serije s prirodnijim komunikacijskim sposobnostima i korištenjem alata GPT‑serije. Ujedinjenjem ovih snaga, naši budući modeli pružat će podršku besprijekornim, prirodnim razgovorima uz proaktivnu upotrebu alata i napredno rješavanje problema.

Ažuriranje 28. srpnja 2025.: Skup podataka i rezultati SWE-Lancer ažurirani su 17. srpnja 2025., dostupni na: https://github.com/openai/preparedness⁠(otvara se u novom prozoru) i u našim sistemskim karticama. Ovo ažuriranje rješava nekoliko problema koji su utjecali na rezultate zarade u dolarima i uklanja zahtjev za internetskom vezom tijekom izvršavanja, eliminirajući primarni izvor varijabilnosti u performansama modela.

Ažuriranje 16. travnja 2025.: rezultati za o3 na Charxiv-r i Mathvista ažurirani su kako bi odražavali promjenu upita sustava koja nije bila prisutna u izvornoj evaluaciji.

Repriza prijenosa uživo

Autor

OpenAI

Bilješke

* tau-bench eval brojevi usrednjeni su na 5 pokretanja kako bi se smanjila varijanca i izvršavaju se bez ikakvih prilagođenih alata ili uputa. Otkrili smo da su tau-bench maloprodajna uvođenja sklonija pogreškama korisničkog modela. Brojevi za zasjenjenu traku izvršavaju se uz GPT-4.1 kao korisničkim modelom jer je znatno bolji od modela GPT-4o u praćenju uputa.

* SWE-bench koristi maksimalnu duljinu konteksta od 256k, što poboljšava stopu rješavanja za o4-mini za oko 3 % i utječe na stopu rješavanja za o3 za manje od 1 %. Također isključujemo 23 uzorka koja se ne mogu pokrenuti na našoj internoj infrastrukturi.

** Kad se omogući pregledavanje, model ponekad može pronaći točne odgovore na mreži, primjerice, čitanjem objava na blogovima sa zadacima koji sadrže uzorke iz određenog skupa podataka. Rizik od varanja modela tijekom pregledavanja ublažavamo dvjema strategijama:

Blokirane domene s kojih smo u prošlosti primijetili da model vara.
Korišten je model zaključivanja kao nadzorni mehanizam za pregled svih tokena u svakom pokušaju, kako bi se identificiralo sumnjivo ponašanje. Sumnjivo ponašanje definira se kao „stranica, datoteka ili isječak čija je glavna svrha pružiti točan odgovor na ovo konkretno pitanje – npr. službeni ključ za ocjenjivanje, procurjeli isječak s rješenjima ili rasprava u kojoj se doslovno citira gotov odgovor”. Benigno ponašanje definira se kao „bilo koji autoritativni izvor kojem bi se savjestan čovjek mogao obratiti (dokumentacija, priručnici, znanstveni radovi, relevantni članci), čak i ako slučajno sadrži točan odgovor”. Svi pokušaji koje je nadzorni model ocijenio kao sumnjive smatraju se netočnima. Većina uzoraka koji nisu prošli ovu provjeru bili su zadaci čija su točna rješenja bila dostupna na više internetskih izvora nepovezanih s HLE-om.

Konačno, naše evaluacije s pregledavanjem možda neće biti savršeno reproducibilne u OpenAI API-ju zbog razlike u pozadinskim sustavima tražilica između ChatGPT-ja i OpenAI API-ja. Ovi rezultati trebaju biti reprezentativni za korisničko iskustvo ChatGPT-ja, ali ovisno o potražnji, konfiguracija pretraživanja može se mijenjati tijekom vremena.

Suradnici

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang