गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में दस प्रगतियां

हम वैज्ञानिकों और गणितज्ञों को ऐसे साधन देना चाहते हैं जो खोजों की गति बढ़ाएं. इसीलिए हमने हाल ही में अकादमिक शोधकर्ताओं के लिए ChatGPT⁠ की घोषणा की है. इस पहल के तहत 100,000 वैज्ञानिकों और गणितज्ञों को हमारे सर्वश्रेष्ठ ChatGPT मॉडलों का निःशुल्क उपयोग मिलेगा. हम विकास के दौरान अपने मॉडलों का मूल्यांकन अनसुलझी शोध समस्याओं पर भी करते रहते हैं.

मई में हमने एर्दोश की इकाई-दूरी परिकल्पना का एआई द्वारा तैयार किया गया खंडन⁠ साझा किया था, जो एक अप्रकाशित मॉडल का मूल्यांकन करते समय मिला था. यह कार्य गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में आगे के विकास को पहले ही प्रेरित कर चुका है¹. आज हम दस परिणामों का एक चयन साझा कर रहे हैं. इनमें से प्रत्येक किसी लंबे समय से अनसुलझी समस्या को हल करता है या उस पर उल्लेखनीय प्रगति करता है. इन समस्याओं में उच्च-विमीय ज्यामिति, कूट सिद्धांत, अंकगणितीय परिपथ जटिलता, समूह सिद्धांत, Operator बीजगणित, क्वांटम जटिलता, जालक कूटलेखन और चरम संयोजनशास्त्र शामिल हैं. ये सभी समस्याएं अपने-अपने गणितीय समुदायों के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं और इनमें से कई संपूर्ण गणित जगत के लिए व्यापक महत्व रखती हैं.

हम निम्नलिखित समस्याओं के लिए नए परिणाम प्रस्तुत करते हैं. ये परिणाम हमारे अगले प्रमुख मॉडल एस्ट्रा के एक आंतरिक संस्करण ने हासिल किए हैं. इन समस्याओं के समाधान खोजने के लिए आवश्यक टोकन की कुल लागत Sol एपीआई की दरों पर लगभग $2,000 होती. इसके बाद मनुष्यों ने उसी मॉडल की सहायता से इन तर्कों को पांडुलिपियों का रूप दिया. इसके बाद मॉडल ने प्रत्येक तर्क को एक Lean प्रमाणपत्र⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) के रूप में औपचारिक बनाया. हम प्रत्येक समाधान के साथ मॉडल द्वारा उसकी चिंतन प्रक्रिया का विवरण भी जारी कर रहे हैं.

1. उच्च-विमीय गोला संकुलन. गोला-संकुलन घनत्व के लिए कोन–एल्कीज सीमा तक नई ऊपरी सीमाएं.
2. द्विआधारी और गोलीय कूट: किसी भी निर्धारित न्यूनतम दूरी पर द्विआधारी कूटों के अधिकतम आकार की सीमाओं में घातांकीय सुधार और उच्च-विमीय गोलीय कूटों के लिए समान परिणाम.
3. गैर-सॉफिक समूह. गैर-सॉफिक समूहों का अस्तित्व स्थापित करने वाली एक रचना, जो समूह सिद्धांत के एक केंद्रीय अनसुलझे प्रश्न का समाधान करती है.
4. कोन्स की दृढ़ता परिकल्पना. लंबे समय से चली आ रही उस परिकल्पना का खंडन कि कुछ समूह अपने वॉन न्यूमन बीजगणितों से विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं.
5. अंकगणितीय परिपथ जटिलता. अंकगणितीय परिपथों और सूत्रों से परमानेंट की गणना के लिए नई निचली सीमाएं, जिनमें n⁴/log n कोटि की अंकगणितीय-सूत्र निचली सीमा शामिल है.
6. क्वांटम समानांतर पुनरावृत्ति. सामान्य दो-खिलाड़ी क्वांटम खेलों के लिए एक घातांकीय समानांतर पुनरावृत्ति प्रमेय, जो शास्त्रीय जटिलता सिद्धांत के एक मूलभूत सिद्धांत का विस्तार करता है.
7. निकटतम सदिश समस्या. निकटतम सदिश समस्या के सन्निकटन की बहुपद-गुणक कठिनता. यह उत्तर-क्वांटम कूटलेखन से जुड़ा एक मूलभूत जालक प्रश्न है.
8. एहरहार्ट की आयतन परिकल्पना. हर विमा में उस उत्तल पिंड का अधिकतम संभावित आयतन निर्धारित करना, जिसका केंद्रक उसका एकमात्र आंतरिक जालक बिंदु हो.
9. बहुरंगी रैम्ज़ी संख्याएं. बहुरंगी त्रिभुज रैम्ज़ी संख्याओं के लिए एक अतिघातांकीय निचली सीमा, जिससे एर्दोश समस्या 183 हल होती है.
10. चरम संख्या परिकल्पनाएं. चरम आलेख सिद्धांत में संहतता और अपकर्ष परिकल्पनाओं के परिणाम, जिनसे एर्दोश समस्याएं 146 और 180 हल होती हैं.

गणितीय शोध में योगदान दे सकने वाली प्रणालियों का उदय ऐसे प्रश्न खड़े करता है जिनका उत्तर कोई प्रौद्योगिकी कंपनी अकेले नहीं दे सकती. गणित में एआई की भूमिका को लेकर कई मत हैं. हम इसके प्रभाव को लेकर चिंतित लोगों के दृष्टिकोण का गहरा सम्मान करते और उसे समझते हैं. इनमें एआई और गणित पर लीडेन घोषणा⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) के हस्ताक्षरकर्ता भी शामिल हैं. हमारा मानना है कि श्रेय से ईमानदारी से स्पष्ट होना चाहिए कि परिणाम कैसे तैयार हुआ. पूरी तरह एआई प्रणाली द्वारा तैयार प्रमाण को मनुष्य की रचना बताना प्रणाली के योगदान और वास्तविक मानवीय बौद्धिक कार्य, दोनों की प्रकृति को गलत रूप में प्रस्तुत करेगा. हमने पांडुलिपियां तैयार करने और प्रमाणों को Lean में औपचारिक बनाने में सहायता की तथा उनकी शुद्धता की जिम्मेदारी लेते हैं, जबकि गणितीय तर्क हमारी प्रणाली ने तैयार किए हैं. हमें आशा है कि गणितीय समुदाय इन परिणामों का गहराई से अध्ययन करेगा, उन्हें उचित संदर्भ में रखेगा और नए शोध व खोजों के माध्यम से उनके पीछे के विचारों को साकार करेगा.

जैसे-जैसे एआई प्रणालियां अधिक उन्नत शोध सहयोगियों के रूप में विकसित हो रही हैं, उनकी व्यापक उपलब्धता सुनिश्चित करना अत्यंत आवश्यक है, ताकि इस परिवर्तनकारी युग में वैज्ञानिक और गणितज्ञ अपने क्षेत्रों के भविष्य को समझते और परिभाषित करते समय समर्थ बने रहें.