नैवियर–स्टोक्स मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम के बारे में

हम नैवियर–स्टोक्स के एग्ज़िस्टेंस और स्मूदनेस प्रॉब्लम का सॉल्यूशन शेयर कर रहे हैं, जो मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स में से एक है. OpenAI के एक इंटरनल सिस्टम से तैयार यह प्रूफ़ दिखाता है कि फ़्लूइड मोशन के लिए नैवियर–स्टोक्स इक्वेशन्स की डायनैमिक्स में सीमित समय के अंदर सिंगुलैरिटी बन सकती है. हम इस प्रूफ़ का राइटअप और Lean में इसकी फ़ॉर्मलाइज़ेशन, दोनों शेयर कर रहे हैं.

मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स⁠(एक नई विंडो में खुलेगा), मैथेमैटिक्स की सबसे मुश्किल और गहरी अनसुलझी समस्याओं में शामिल हैं. स्मूद थ्री-डायमेंशनल फ़्लूइड मोशन का ब्रेकडाउन सकता है या नहीं, यह सवाल करीब 90 साल से अनसुलझा था.

हमारे काम का एक बड़ा मकसद साइंटिस्ट्स को ऐसी क्षमताएँ देना है कि वे रिसर्च और टेक्नोलॉजी को इस तरह से आगे बढ़ा पाएँ, जिससे पूरी मानवता को फ़ायदा हो. नैवियर–स्टोक्स प्रॉब्लम को हल करने के लिए हमने एक ऐसा इंटरनल मॉडल इस्तेमाल किया, जिसकी क्षमता GPT‑6 Astra से काफ़ी ज़्यादा है. हमारा मानना है कि दुनिया को AI की तेज़ प्रोग्रेस और आने वाले मॉडल्स से क्या उम्मीद की जा सकती है, इसके बारे में बताना ज़रूरी है.

नैवियर–स्टोक्स इक्वेशन्स, फ़्लूइड कैसे मूव करते हैं यह बताने के लिए न्यूटन के सेकंड लॉ ऑफ़ मोशन ("F=ma") का इस्तेमाल करते हैं. अहम बात यह है कि ये हर मॉलिक्यूल को अलग-अलग ट्रैक करने के बजाय फ़्लूइड को एक लगातार जुड़े मीडियम की तरह देखते हैं. इन इक्वेशन्स का इस्तेमाल एयरक्राफ़्ट के डिज़ाइन, मौसम की फ़ोरकास्टिंग और ब्लड फ़्लो की स्टडी में होता है.

इन डायनैमिक इक्वेशन्स से जुड़ा एक अहम सवाल यह रहा है कि फ़्लूइड को एक कंटिन्यूअस मीडियम मानने वाला मॉडल कभी ब्रेकडाउन कर सकता है या नहीं. खास तौर पर, क्या एक जैसी डेंसिटी वाले थ्री-डायमेंशनल इनकम्प्रेसिबल फ़्लूइड के नैवियर–स्टोक्स इक्वेशन्स में "सिंगुलैरिटी" बन सकती है, भले ही शुरुआत में मोशन स्मूद हो? यहाँ सिंगुलैरिटी का मतलब है कि सीमित समय के अंदर फ़्लूइड की स्पीड बिना किसी सीमा के बढ़ने लगे. ऐसा विस्कॉसिटी की मौजूदगी के बावजूद होना होगा, जो आम तौर पर मोशन को स्मूद करती है. असली फ़्लूइड कभी न खत्म होने वाली स्पीड से मूव नहीं कर सकता, इसलिए ऐसा होना यह दिखाएगा कि इक्वेशन्स फ़्लूइड को मॉडल करने में एक सीमा तक पहुँच गए हैं. इसके बाद सिस्टम को मॉडल करने के लिए हर पार्टिकल के व्यवहार को अलग-अलग ट्रैक करना होगा.

इन इक्वेशन्स की शुरुआत 19वीं सदी में क्लोद-लुई नैवियर और जॉर्ज गैब्रियल स्टोक्स के काम से हुई. 1934 में जाँ लेरे ने साबित किया कि एक जनरलाइज़्ड अर्थ में सॉल्यूशन्स मौजूद होते हैं, लेकिन क्या वे हमेशा स्मूद रहते हैं, यह एक बड़ा अनसुलझा सवाल बन गया. 2000 में क्ले मैथेमैटिक्स इंस्टीट्यूट ने नैवियर–स्टोक्स एग्ज़िस्टेंस और स्मूदनेस प्रॉब्लम को सात मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स में शामिल किया.

हमारे सिस्टम ने एक एनालिटिकल प्रूफ़ और Lean फ़ॉर्मलाइज़ेशन तैयार किया, जो दिखाता है कि शुरुआत में स्मूद और स्थिर फ़्लूइड में सीमित समय के अंदर सिंगुलैरिटी बन सकती है. फ़्लूइड पर एक स्मूद फ़ोर्स लगाई जाती है और स्थिर स्थिति से सिंगुलैरिटी बनने तक पूरी डायनैमिक्स के दौरान उसकी एनर्जी सीमित रहती है. इससे ऑफ़िशियल मिलेनियम प्राइज़ फ़ॉर्म्युलेशन⁠(एक नई विंडो में खुलेगा) के स्टेटमेंट "C" और "D" को साबित करके नैवियर–स्टोक्स मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम हल हो जाती है.

यह सॉल्यूशन एक वॉर्टेक्स है, यानी घूमता हुआ फ़्लूइड का भँवर, जो अंदर की ओर स्पाइरल बनाता है और नूडल्स की तरह लगातार लंबा होता जाता है. यह बीच का हिस्सा सिकुड़ता है और साथ ही तेज़ होता जाता है, लेकिन इसकी एनर्जी फिर भी सीमित रहती है, जैसा फ़िज़िक्स के नियमों के मुताबिक होना चाहिए. टेक्निकल चैलेंज यह है कि ब्रेकडाउन फ़्लूइड के अपने मोशन से बने, न कि, उदाहरण के लिए, हम बाहर से कभी न खत्म होने वाली फ़ोर्स डाल दें. मैथेमैटिक्स की भाषा में, नैवियर–स्टोक्स इक्वेशन्स में मोशन को बताने वाले टर्म्स—एक्सेलरेशन, प्रेशर ग्रेडिएंट्स, मोमेंटम ट्रांसफ़र और विस्कॉसिटी—बहुत बड़े होने चाहिए, लेकिन साथ ही एक सटीक तरीके से एक-दूसरे को कैंसिल भी करना चाहिए. इस बारीक बैलेंस की वजह से एक्सटर्नल फ़ोर्स स्मूद बनी रहती है, भले ही फ़्लूइड की वेलोसिटी बिना किसी सीमा के बढ़ती जाए.

28 अगस्त से हम एक नए इंटरनल मॉडल को ट्रेन कर रहे हैं, जिसने हमारे बेंचमार्क्स में, मैथेमैटिक्स समेत, पहले कभी न देखी गई परफ़ॉर्मेंस दिखाई है. इस मॉडल की ट्रेनिंग अभी जारी है और इसकी परफ़ॉर्मेंस लगातार बेहतर हो रही है.

मंगलवार, 1 सितंबर को हमने ऐसी अफ़वाहें सुनीं कि दो मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स हल हो चुकी हैं. इन अफ़वाहों और हमारे इंटरनल मॉडल की परफ़ॉर्मेंस में आए बड़े सुधार से प्रेरित होकर हमने इसे सभी अनसुलझे मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स और कुछ दूसरे हाई-इम्पैक्ट प्रॉब्लम्स पर इवैल्यूएट करने का काम शुरू किया.

हमने अपने इंटरनल मॉडल से चलने वाले कोऑर्डिनेटेड एजेंट्स का एक सिस्टम इस्तेमाल किया. इन एजेंट्स के पास इंटरनेट के कैश्ड वर्ज़न से पढ़ने और कोड रन करने जैसे टूल्स का एक्सेस था. एजेंट्स को अलग-अलग ग्रुप्स में बाँटा गया था और एक ही ग्रुप के एजेंट आपस में कम्युनिकेट कर सकते थे. इन ग्रुप्स का साइज़ अलग-अलग था. नैवियर–स्टोक्स का सॉल्यूशन तैयार करने वाले ग्रुप में करीब 10,000 एजेंट एक साथ काम कर रहे थे. इस पूरे समय हमने वही सख्त सेफ़गार्ड्स बनाए रखे जो हम अपने सभी फ़्रंटियर मॉडल इवैल्यूएशन्स में इस्तेमाल करते हैं, जिनमें मॉनिटरिंग और आइसोलेशन भी शामिल हैं.

हर प्रॉब्लम के लिए हमने एजेंट्स के अलग-अलग ग्रुप्स को प्रॉब्लम स्टेटमेंट के अलग-अलग वर्ज़न दिए, ताकि प्रॉब्लम के सभी वेरिएंट कवर हो सकें. नैवियर–स्टोक्स प्रॉब्लम के लिए अलग-अलग एजेंट ग्रुप्स को वर्ज़न "A" और "B" दिए गए, जिनसे प्रूफ़ मिल सकता था, और वर्ज़न "C" और "D" दिए गए, जिनसे डिसप्रूफ़ मिल सकता था.

पूरे मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स के साथ-साथ हमने अपने मल्टी-एजेंट सिस्टम से कुछ "आसान" प्रॉब्लम्स भी हल करने को कहा. इनमें से एक नैवियर–स्टोक्स प्रॉब्लम की लिमिट से जुड़ा मिलता-जुलता ब्लोअप सवाल था, जिसमें विस्कॉसिटी टर्म हटा दिया जाता है. इसे ऑयलर इक्वेशन्स की रेग्युलैरिटी प्रॉब्लम कहा जाता है और हमारे एजेंट्स ने इसे हल करके हमें हैरान कर दिया. उन्होंने इस सवाल का अनफ़ोर्स्ड वर्ज़न हल किया, जिसमें फ़्लूइड पर कोई एक्सटर्नल फ़ोर्स नहीं लगाई जाती. करीब 100 एजेंट्स ने लगभग 50 घंटे साथ काम करके हमारा ऑयलर रेग्युलैरिटी डिसप्रूफ़ तैयार किया¹.

ऑयलर सॉल्यूशन देखने के बाद हमें लगा कि नैवियर–स्टोक्स पर काम करने की संभावना सबसे बेहतर है. इसलिए हमने अपने रिसोर्सेज़ नैवियर–स्टोक्स पर लगाने का फ़ैसला किया. इसके लिए हमने दूसरे मिलेनियम प्रॉब्लम्स से एजेंट्स हटाकर उन्हें ऑयलर के सॉल्यूशन की जानकारी दी. इस काम के दौरान जब हमारे इंटरनल मॉडल का और ज़्यादा ट्रेन किया गया वर्ज़न उपलब्ध मिला, तो हमने एजेंट्स को उस मॉडल पर अपडेट कर दिया.

हमने एजेंट्स के अलग-अलग ग्रुप्स को कई तरह के तरीके आज़माने को कहा. कुछ समय बाद हमने Codex का इस्तेमाल करके हर एजेंट ग्रुप से सबसे काम की इनसाइट्स को एक साथ जोड़ा और उन्हें दूसरे ग्रुप्स तक पहुँचाया. इसके बाद दिए गए प्रॉम्प्ट्स में एजेंट्स के अपने इंटरमीडिएट रिज़ल्ट्स का इस्तेमाल किया गया. नैवियर–स्टोक्स का सॉल्यूशन खोजने वाले ग्रुप को भी इसी तरह गाइड किया गया था.

पहले एजेंट्स को लॉन्च करने के करीब 88 घंटे बाद, शनिवार, 5 सितंबर को एजेंट्स इस सॉल्यूशन तक पहुँचे. इसके बाद GPT‑6 Astra के ज़रिए Lean फ़ॉर्मलाइज़ेशन और वेरिफ़िकेशन में 17 घंटे और लगे.

आज़माई गई सभी प्रॉब्लम्स में एजेंट्स ने कुल 49 लाख मैसेज भेजे और करीब 300 बिलियन आउटपुट टोकन्स इस्तेमाल किए. नैवियर–स्टोक्स प्रॉब्लम को हल करने के प्रोसेस में एजेंट्स ने 27 लाख मैसेज भेजे और करीब 130 बिलियन आउटपुट टोकन्स इस्तेमाल किए.

हमारा काम 1 सितंबर को एक अफ़वाह सुनने के बाद शुरू हुआ. बाद में हमें पता चला कि यह अफ़वाह Anthropic के कर्मचारी लेवेंट अल्पोगे और NYU में मैथेमैटिक्स के प्रोफ़ेसर ट्रिस्टन बकमास्टर के काम से जुड़ी थी². हमारा पूरा प्रोजेक्ट और Lean वेरिफ़िकेशन (6 सितंबर को) पूरा होने के बाद, उस अफ़वाह की वजह से हमें लगा कि उनके पास भी नैवियर–स्टोक्स का सॉल्यूशन है. इसलिए हमने उनसे संपर्क किया और अपने रिज़ल्ट को उनके साथ एक ही समय पर रिलीज़ करने की पेशकश की, ताकि जॉइंट अनाउंसमेंट में उनके काम की प्रायॉरिटी को भी माना जा सके. तब हमें पता चला कि उन्होंने Anthropic के एक इंटरनल मॉडल का इस्तेमाल करके फ़ोर्स्ड ऑयलर प्रॉब्लम का सॉल्यूशन तैयार किया था. इन चर्चाओं में हमने उन्हें अपने इस्तेमाल किए गए सभी प्रॉम्प्ट्स देखने की पेशकश की और बाद में प्रूफ़ देखने की भी. हम फ़ोर्स्ड ऑयलर पर उनके काम की प्रायॉरिटी को मानते हैं और उनकी इस शानदार मैथेमैटिकल उपलब्धि के लिए उन्हें बधाई देते हैं.

हममें से किसी ने भी (न रिसर्चर्स ने, न एजेंट्स ने) उनके काम को पब्लिक रिलीज़ से पहले किसी भी तरह नहीं देखा था — खास तौर पर, इस प्रॉब्लम को हल करने के लिए किसी यूज़र का कोई खास डेटा एक्सेस नहीं किया गया.

जाँच के बाद हमने पाया कि इस अनाउंसमेंट और 8 सितंबर, 2026 को आए पेपर से पहले के दो महीनों में बकमास्टर के Codex प्रॉम्प्ट्स इस सिस्टम को किसी भी तरह प्रभावित नहीं कर सकते थे, ट्रेनिंग के ज़रिए भी नहीं. इस रिज़ल्ट के लिए इस्तेमाल किया गया OpenAI का इंटरनल मॉडल, पहले से ट्रेन किए गए मॉडल के ऊपर बड़े पैमाने की रीइंफ़ोर्समेंट लर्निंग से डेवलप किया गया था. हमारे प्रूफ़ भी काफ़ी अलग हैं. ऑयलर केस में अल्पोगे और बकमास्टर ने एक्सटर्नल फ़ोर्सिंग के साथ रिज़ल्ट साबित किया, जबकि OpenAI के सिस्टम ने बिना एक्सटर्नल फ़ोर्सिंग के रिज़ल्ट साबित किया.

इस रिज़ल्ट को रिलीज़ करने का हमारा मकसद अपने AI मॉडल्स की बड़ी प्रोग्रेस के बारे में बताना है. इस रिज़ल्ट के लिए हम मिलेनियम प्राइज़ का दावा नहीं करना चाहते.

यह उपलब्धि मैथेमैटिशियन्स और AI रिसर्चर्स के बड़े काम का नतीजा है. लेकिन यह आखिरी पड़ाव नहीं है. यह AI डेवलपमेंट में हो रही प्रोग्रेस की इस समय की एक झलक है.

हमारा मानना है कि हम अब AI प्रोग्रेस के अगले दौर में हैं⁠ और आज के रिज़ल्ट्स इसका एक और संकेत हैं. अभी हमारा फ़ोकस इस मॉडल को बेहतर तरीके से समझने और उससे मिली सीख के आधार पर आगे की क्षमताओं को किस दिशा और किस रफ़्तार से बढ़ाना है, यह तय करने पर है. हमारा एक अहम लक्ष्य⁠ ऐसे AI सिस्टम बनाना है जिन्हें सही दिशा दी जा सके, जिनकी जवाबदेही साफ़ हो और जो लोगों से जुड़े रहें. इसके लिए आगे बढ़ने की रफ़्तार पर ज़्यादा सोच-समझकर फ़ैसले लेने पड़ सकते हैं, ताकि AGI से पूरी मानवता को फ़ायदा पहुँचाने का हमारा मिशन आगे बढ़ता रहे.