ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં દસ પ્રગતિઓ

અમે વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓને શોધની ગતિ વધારતાં સાધનોથી સશક્ત બનાવવા માગીએ છીએ. એટલે જ અમે તાજેતરમાં શૈક્ષણિક સંશોધકો માટે ChatGPT⁠ની જાહેરાત કરી હતી. આ પહેલ દ્વારા 100,000 વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓને અમારા શ્રેષ્ઠ ChatGPT મોડલનો મફત ઉપયોગ મળે છે. વિકાસ દરમિયાન અમે ખુલ્લી સંશોધન સમસ્યાઓ પર પણ અમારા મોડલનું મૂલ્યાંકન કરતા રહીએ છીએ.

મે મહિનામાં અમે એર્ડોશના એકમ-અંતર અનુમાનનું કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તાએ તૈયાર કરેલું ખંડન⁠ રજૂ કર્યું હતું, જે અપ્રકાશિત મોડલનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે મળ્યું હતું. આ કાર્યએ ગણિત અને સૈદ્ધાંતિક કમ્પ્યુટર વિજ્ઞાનમાં વધુ વિકાસને પહેલેથી જ પ્રેરણા આપી છે¹. આજે અમે દસ પરિણામોની પસંદગી રજૂ કરી રહ્યા છીએ, જેમાંથી દરેક લાંબા સમયથી વણઉકેલાયેલી સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે છે અથવા તેના ઉકેલમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ કરે છે. આ સમસ્યાઓ ઉચ્ચ-પરિમાણીય ભૂમિતિ, સંકેતન સિદ્ધાંત, અંકગણિતીય પરિપથની જટિલતા, સમૂહ સિદ્ધાંત, Operator બીજગણિત, ક્વોન્ટમ જટિલતા, જાળીકૃત ગુપ્તલેખન અને ચરમ સંયોજનશાસ્ત્રને આવરી લે છે. આ તમામ સમસ્યાઓ પોતપોતાના ગણિતીય સમુદાયો માટે નોંધપાત્ર રસ ધરાવે છે અને તેમાંની કેટલીક સમગ્ર ગણિત માટે વ્યાપક મહત્ત્વ ધરાવે છે.

અમે નીચેની સમસ્યાઓ માટે નવાં પરિણામો રજૂ કરીએ છીએ. આ પરિણામો અમારા આગામી મુખ્ય મોડલ એસ્ટ્રાના આંતરિક સંસ્કરણ દ્વારા મેળવવામાં આવ્યાં હતાં. આ સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધવા માટે જરૂરી કુલ ટોકનનો ખર્ચ Sol APIના દરે આશરે $2,000 થાય. પછી મનુષ્યોએ એ જ મોડલની મદદથી આ દલીલોને સંશોધનપત્રોના સ્વરૂપમાં તૈયાર કરી. ત્યારબાદ મોડલે દરેક દલીલને Lean પ્રમાણપત્ર⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે)માં ઔપચારિક રૂપ આપ્યું. અમે દરેક ઉકેલ માટે મોડલે રજૂ કરેલું તેની વિચારપ્રક્રિયાનું વર્ણન પણ પ્રકાશિત કરી રહ્યા છીએ.

1. ઉચ્ચ-પરિમાણીય ગોળક-સંકુલન. કોન–એલ્કિસ સીમા સુધીની ગોળક-સંકુલન ઘનતા માટે નવી ઉપલી સીમાઓ.
2. દ્વિઆધારી અને ગોળીય સંકેતો: કોઈ પણ નિર્ધારિત લઘુતમ અંતરે દ્વિઆધારી સંકેતોના મહત્તમ કદ માટે ઘાતાંકીય રીતે સુધારેલી સીમાઓ, તેમજ ઉચ્ચ-પરિમાણીય ગોળીય સંકેતો માટે સમાન પરિણામો.
3. બિન-સોફિક સમૂહો. બિન-સોફિક સમૂહોનું અસ્તિત્વ સ્થાપિત કરતી રચના, જે સમૂહ સિદ્ધાંતના એક કેન્દ્રીય ખુલ્લા પ્રશ્નને ઉકેલે છે.
4. કોન્સનું દૃઢતા અનુમાન. ચોક્કસ સમૂહો તેમના વોન નોયમન બીજગણિત દ્વારા અનન્ય રીતે નિર્ધારિત થાય છે એવા લાંબા સમયથી ચાલતા અનુમાનનું ખંડન.
5. અંકગણિતીય પરિપથની જટિલતા. અંકગણિતીય પરિપથો અને સૂત્રો વડે પરમેનન્ટની ગણતરી કરવા માટે નવી નીચલી સીમાઓ, જેમાં n⁴/log n ક્રમની અંકગણિતીય-સૂત્ર નીચલી સીમાનો સમાવેશ થાય છે.
6. ક્વોન્ટમ સમાંતર પુનરાવર્તન. સામાન્ય બે-ખેલાડી ક્વોન્ટમ રમતો માટે ઘાતાંકીય સમાંતર પુનરાવર્તન પ્રમેય, જે શાસ્ત્રીય જટિલતા સિદ્ધાંતના પાયાના સિદ્ધાંતને વિસ્તારે છે.
7. નિકટતમ સદિશ સમસ્યા. નિકટતમ સદિશ સમસ્યાના સન્નિકટન માટે બહુપદી-અવયવની કઠિનતા, જે ક્વોન્ટમોત્તર ગુપ્તલેખન સાથે સંકળાયેલો પાયાનો જાળીકૃત પ્રશ્ન છે.
8. એરહાર્ટનું ઘનફળ અનુમાન. દરેક પરિમાણમાં એવા બહિર્ગોળ પિંડનું મહત્તમ સંભવિત ઘનફળ નક્કી કરવું, જેનું ભારકેન્દ્ર તેનું એકમાત્ર આંતરિક જાળીકૃત બિંદુ હોય.
9. બહુરંગી રેમ્ઝી સંખ્યાઓ. બહુરંગી ત્રિકોણ રેમ્ઝી સંખ્યાઓ માટે અતિઘાતાંકીય નીચલી સીમા, જે એર્ડોશ સમસ્યા 183ને ઉકેલે છે.
10. ચરમ સંખ્યાનાં અનુમાનો. ચરમ આલેખ સિદ્ધાંતમાં સંહતિ અને અપક્ષયના અનુમાનો અંગે પરિણામો, જે એર્ડોશ સમસ્યા 146 અને 180ને ઉકેલે છે.

ગણિતીય સંશોધનમાં યોગદાન આપી શકે તેવી પ્રણાલીઓના ઉદભવથી એવા પ્રશ્નો ઊભા થાય છે, જેના જવાબ કોઈ એક ટેક્નોલોજી કંપની આપી શકતી નથી. ગણિતમાં કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તાની ભૂમિકા વિશે અનેક મતો છે. તેની અસર અંગે ચિંતિત લોકો પ્રત્યે અમને ઊંડો આદર અને સમજ છે, જેમાં કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તા અને ગણિત અંગેની લાઇડન ઘોષણા⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે) પર હસ્તાક્ષર કરનારાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. અમારું માનવું છે કે પરિણામ કેવી રીતે તૈયાર થયું તે શ્રેયમાં પ્રામાણિકપણે પ્રતિબિંબિત થવું જોઈએ. કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તા પ્રણાલીએ સંપૂર્ણપણે તૈયાર કરેલા પુરાવા માટે માનવીય લેખકત્વનો દાવો કરવાથી પ્રણાલીના યોગદાન અને વાસ્તવિક માનવીય બૌદ્ધિક કાર્ય, બંનેનું ખોટું નિરૂપણ થશે. અમે સંશોધનપત્રો તૈયાર કરવામાં અને પુરાવાઓને Leanમાં ઔપચારિક રૂપ આપવામાં મદદ કરી છે અને તેમની શુદ્ધતાની જવાબદારી લઈએ છીએ, જ્યારે ગણિતીય દલીલો અમારી પ્રણાલીએ તૈયાર કરી હતી. અમને આશા છે કે ગણિતીય સમુદાય આ પરિણામો સાથે ઊંડાણપૂર્વક જોડાશે, તેમને યોગ્ય સંદર્ભમાં મૂલવશે અને નવા સંશોધન તથા શોધ દ્વારા તેમની પાછળના વિચારોને સાકાર કરશે.

કૃત્રિમ બુદ્ધિમત્તા પ્રણાલીઓ વધુ સુવિકસિત સંશોધન સહયોગીઓ બનતી જાય છે ત્યારે વ્યાપક સુલભતા સુનિશ્ચિત કરવી આવશ્યક છે, જેથી પરિવર્તનના આ યુગમાં વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ પોતપોતાના ક્ષેત્રોના ભવિષ્યને સમજીને તેને આકાર આપી શકે.