નેવિયર–સ્ટોક્સ સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યા વિશે

અમે સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાઓમાંની એક, નેવિયર–સ્ટોક્સ અસ્તિત્વ અને સુગમતા સમસ્યાનો ઉકેલ રજૂ કરી રહ્યા છીએ. OpenAIની આંતરિક પ્રણાલીએ તૈયાર કરેલો આ પુરાવો દર્શાવે છે કે પ્રવાહીની ગતિ માટેનાં નેવિયર–સ્ટોક્સ સમીકરણોની ગતિકી સીમિત સમયમાં સિંગ્યુલારિટી વિકસાવી શકે છે. અમે પુરાવાનું લેખિત વર્ણન અને Leanમાં તેનું ઔપચારિકીકરણ, બંને રજૂ કરી રહ્યા છીએ.

સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાઓ⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે) ગણિતના અત્યાધુનિક ક્ષેત્રના કેટલાક અત્યંત ગહન પ્રશ્નો રજૂ કરે છે. સુગમ ત્રિ-પરિમાણીય પ્રવાહી ગતિ ભંગ થઈ શકે છે કે કેમ એ પ્રશ્ન લગભગ 90 વર્ષથી વણઉકેલાયેલો રહ્યો છે.

અમારા કાર્યનો એક મુખ્ય ઉદ્દેશ વૈજ્ઞાનિકોને સમગ્ર માનવજાતને લાભ પહોંચાડતાં સંશોધન અને ટેકનોલોજીને આગળ વધારવા સક્ષમ બનાવવાનો છે. નેવિયર–સ્ટોક્સ સમસ્યા ઉકેલવા માટે અમે GPT‑6 Astra કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સક્ષમ આંતરિક મોડલનો ઉપયોગ કર્યો. અમારું માનવું છે કે AIની પ્રગતિની ગતિ અને આગામી મોડલ્સ પાસેથી શું અપેક્ષા રાખવી તે વિશે વિશ્વને જાણ કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

નેવિયર–સ્ટોક્સ સમીકરણો પ્રવાહી કેવી રીતે વહે છે તેનું વર્ણન કરવા ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ (“F=ma”)નો ઉપયોગ કરે છે. મહત્વની વાત એ છે કે તેઓ અલગ-અલગ અણુઓ પર નજર રાખવાને બદલે પ્રવાહીને સતત માધ્યમ ગણે છે. આ સમીકરણોનો ઉપયોગ વિમાનની રચના, હવામાનની આગાહી અને રક્તપ્રવાહના અભ્યાસ માટે થાય છે.

આ ગતિશીલ સમીકરણો અંગેનો એક મૂળભૂત વણઉકેલાયેલો પ્રશ્ન એ રહ્યો છે કે પ્રવાહીનું સાતત્યક અનુમાન ભંગ થઈ શકે છે કે કેમ. ખાસ કરીને, ગતિ સુગમ રીતે શરૂ થાય તો પણ શું અચળ ઘનતા ધરાવતા ત્રિ-પરિમાણીય અસંકોચનીય પ્રવાહી માટેનાં નેવિયર–સ્ટોક્સ સમીકરણોમાં “સિંગ્યુલારિટી” વિકસી શકે છે? અહીં સિંગ્યુલારિટીનો અર્થ એ છે કે ગતિકીને કારણે સીમિત સમયની અંદર પ્રવાહીની ઝડપ કોઈ મર્યાદા વિના વધે. ગતિને સુગમ બનાવવાની વૃત્તિ ધરાવતી શ્યાનતા હાજર હોવા છતાં સિંગ્યુલારિટી વિકસવી પડે. વાસ્તવિક પ્રવાહી અનંત ઝડપે વહી શકતું નથી, તેથી આવું થવું એ સમીકરણો દ્વારા પ્રવાહીનું નિરૂપણ ભંગ થયાનું સૂચવે છે. ત્યાર પછી પ્રણાલીનું નિરૂપણ ચાલુ રાખવા માટે દરેક કણની વર્તણૂક પર અલગથી નજર રાખવી પડે.

આ સમીકરણોનો ઉદ્ભવ ઓગણીસમી સદીમાં ક્લોદ-લુઈ નેવિયર અને જ્યોર્જ ગેબ્રિયલ સ્ટોક્સે કરેલા કાર્યમાંથી થયો હતો. 1934માં ઝાં લેરે સાબિત કર્યું કે સામાન્યકૃત અર્થમાં ઉકેલો અસ્તિત્વ ધરાવે છે, પરંતુ તેઓ હંમેશાં સુગમ રહે છે કે કેમ એ એક કેન્દ્રીય વણઉકેલાયેલો પ્રશ્ન બન્યો. 2000માં ક્લે મેથેમેટિક્સ ઇન્સ્ટિટ્યૂટે નેવિયર–સ્ટોક્સ અસ્તિત્વ અને સુગમતા સમસ્યાને સાત સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાઓમાં સ્થાન આપ્યું.

અમારી પ્રણાલીએ વિશ્લેષણાત્મક પુરાવો અને Lean ઔપચારિકીકરણ તૈયાર કર્યાં કે શરૂઆતમાં સ્થિર અને સુગમ પ્રવાહી સીમિત સમયમાં સિંગ્યુલારિટી વિકસાવી શકે છે. પ્રવાહી પર સુગમ બળ લગાડવામાં આવે છે અને સ્થિર અવસ્થાથી સિંગ્યુલારિટીની રચના સુધીની સમગ્ર ગતિકી દરમિયાન તેની ઊર્જા સીમિત રહે છે. આ સહસ્રાબ્દી પુરસ્કારની સત્તાવાર રચના⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે)માંનું વિધાન “C” (અને “D” પણ) સ્થાપિત કરીને નેવિયર–સ્ટોક્સ સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાને ઉકેલે છે.

આ ઉકેલ એક વમળ છે, એટલે કે ફરતી પ્રવાહી ઘૂમરી, જે અંદર તરફ સર્પાકારે વળે છે અને સેવૈયાની જેમ વધુ ને વધુ લંબાય છે. આ કેન્દ્રીય ક્ષેત્ર સંકોચાતું જાય છે અને સાથે એવી રીતે વેગ પકડે છે કે ભૌતિકશાસ્ત્રના નિયમોની જરૂરિયાત મુજબ તેની ઊર્જા સીમિત રહે છે. તકનિકી પડકાર એ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાતે અનંત બળ દાખલ કરીએ તેના બદલે સમીકરણો પ્રવાહીની પોતાની ગતિ દ્વારા ભંગ વિકસાવે. વધુ ગાણિતિક રીતે કહીએ તો, નેવિયર–સ્ટોક્સ સમીકરણોમાં ગતિનું વર્ણન કરતા પદો—પ્રવેગ, દબાણના ઢાળ, વેગમાનનું સ્થાનાંતરણ અને શ્યાનતા—મોટાં પણ થવાં જોઈએ અને ચોક્કસ રીતે એકબીજાને રદ પણ કરવાં જોઈએ. આ સૂક્ષ્મ સંતુલનને કારણે પ્રવાહીની ઝડપ કોઈ મર્યાદા વિના વધતી હોવા છતાં બાહ્ય બળ સુગમ રહે છે.

28 ઑગસ્ટથી અમે એક નવા આંતરિક મોડલને તાલીમ આપી રહ્યા છીએ, જેણે ગણિત સહિતના અમારા માપદંડોમાં અભૂતપૂર્વ પ્રદર્શન કર્યું છે. આ મોડલની તાલીમ ચાલુ છે અને તેનું પ્રદર્શન સતત સુધરી રહ્યું છે.

મંગળવાર, 1 સપ્ટેમ્બરે અમને એવી અફવાઓ સાંભળવા મળી કે સહસ્રાબ્દી પુરસ્કારની બે સમસ્યાઓ ઉકેલાઈ ગઈ હતી. આ અફવાઓ અને અમારા આંતરિક મોડલના પ્રદર્શનમાં આવેલા મોટા પરિવર્તનથી પ્રેરાઈને અમે તમામ વણઉકેલાયેલી સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાઓ અને કેટલીક અન્ય વ્યાપક અસર ધરાવતી સમસ્યાઓ પર તેનું મૂલ્યાંકન શરૂ કર્યું.

અમે અમારા આંતરિક મોડલથી સંચાલિત પરસ્પર સંકલન કરતા એજન્ટોની પ્રણાલીનો ઉપયોગ કર્યો. એજન્ટો પાસે ઇન્ટરનેટની સંગ્રહિત આવૃત્તિ વાંચવા અને કોડ ચલાવવા જેવાં સાધનો ઉપલબ્ધ હતાં. એજન્ટોને એવા જૂથોમાં વહેંચવામાં આવ્યા હતાં કે જેમાં તેઓ પોતાના જૂથમાં પરસ્પર સંચાર કરી શકતા હતા. જૂથોનાં કદ અલગ-અલગ હતાં અને નેવિયર–સ્ટોક્સનો ઉકેલ તૈયાર કરનાર જૂથમાં આશરે 10,000 એજન્ટો એકસાથે કાર્યરત હતા. દેખરેખ અને અલગીકરણ સહિત, અત્યાધુનિક મોડલ્સના અમારા તમામ મૂલ્યાંકનમાં લાગુ કરતા કડક સુરક્ષા ઉપાયો અમે સમગ્ર સમય દરમિયાન જાળવી રાખ્યા.

દરેક સમસ્યા માટે અમે એજન્ટોનાં જુદાં જૂથોને સમસ્યાના વિધાનનાં અલગ સ્વરૂપો આપ્યાં, જેથી સમસ્યાનાં તમામ સ્વરૂપો આવરી લેવાય. નેવિયર–સ્ટોક્સ સમસ્યા માટે અમે એજન્ટોનાં અલગ જૂથોને આવૃત્તિ “A” અને “B” (નેવિયર–સ્ટોક્સ સમસ્યાનાં વિશિષ્ટ સ્વરૂપો, જે પુરાવો આપે) તથા આવૃત્તિ “C” અને “D” (જે ખંડન આપે) સૂચવી.

સંપૂર્ણ સહસ્રાબ્દી પુરસ્કાર સમસ્યાઓ ઉપરાંત, અમે અમારી બહુ-એજન્ટ પ્રણાલીને કેટલીક “સરળ” સમસ્યાઓનો પ્રયાસ કરવા કહ્યું. એમાંની એક સમસ્યા શ્યાનતાનું પદ દૂર કર્યા પછી નેવિયર–સ્ટોક્સ સમસ્યાની સીમામાં થતી એવી જ વિસ્ફોટક વૃદ્ધિ અંગેનો પ્રશ્ન હતો. આને ઑઇલર સમીકરણોની નિયમિતતા સમસ્યા કહેવામાં આવે છે અને અમારા એજન્ટોએ આ પ્રશ્ન ઉકેલીને અમને આશ્ચર્યચકિત કર્યા. તેમણે ઉકેલેલું પ્રશ્નનું વિશિષ્ટ સ્વરૂપ બળ વિનાનું હતું, જેમાં પ્રવાહી પર કોઈ બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવતું નથી. લગભગ 100 એજન્ટોએ આશરે 50 કલાક સાથે મળીને કાર્ય કરીને ઑઇલર નિયમિતતાનું અમારું ખંડન તૈયાર કર્યું¹.

ઑઇલરનો ઉકેલ જોયા પછી અમને લાગ્યું કે કાર્ય કરવા માટે નેવિયર–સ્ટોક્સ સૌથી આશાસ્પદ સમસ્યા હતી. તેથી અમે અમારા સંસાધનો નેવિયર–સ્ટોક્સ માટે ફાળવવાનો નિર્ણય કર્યો. એ માટે અમે એજન્ટોને અન્ય સહસ્રાબ્દી સમસ્યાઓ પરથી હટાવ્યા અને તેમને ઑઇલરના ઉકેલની માહિતી આપી. પ્રયાસ દરમિયાન અમારા આંતરિક મોડલની વધુ તાલીમ પામેલી આવૃત્તિ ઉપલબ્ધ થતાં અમે અમારા એજન્ટોને એ મોડલ પર સ્થાનાંતરિત કર્યા.

અમે એજન્ટોનાં અલગ જૂથોને વિવિધ અભિગમ અજમાવવા પ્રોત્સાહિત કર્યાં. થોડા સમય પછી દરેક એજન્ટ જૂથમાંથી સૌથી ઉપયોગી તારણો Codex દ્વારા એકત્રિત કરીને અમે જૂથો વચ્ચે વિચારોનું આદાનપ્રદાન કરાવ્યું. આ અનુવર્તી સૂચનાઓમાં એજન્ટોનાં પોતાનાં વચગાળાનાં પરિણામોનો ઉપયોગ થયો. નેવિયર–સ્ટોક્સનો ઉકેલ શોધનાર જૂથને આ જ રીતે માર્ગદર્શન આપવામાં આવ્યું હતું.

પ્રથમ એજન્ટો કાર્યરત કરાયાના લગભગ 88 કલાક પછી, શનિવાર, 5 સપ્ટેમ્બરે એજન્ટો ઉકેલ સુધી પહોંચ્યા. GPT‑6 Astra દ્વારા Lean ઔપચારિકીકરણ અને ચકાસણીમાં વધારાના 17 કલાક લાગ્યા.

પ્રયાસ કરાયેલી તમામ સમસ્યાઓમાં એજન્ટોએ 49 લાખ સંદેશા મોકલ્યા અને આશરે 300 અબજ આઉટપુટ ટોકન વાપર્યાં. નેવિયર–સ્ટોક્સ સમસ્યા ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં એજન્ટોએ 27 લાખ સંદેશા મોકલ્યા અને આશરે 130 અબજ આઉટપુટ ટોકન વાપર્યાં.

અમારો પ્રયાસ 1 સપ્ટેમ્બરે એક અફવા સાંભળ્યા પછી શરૂ થયો હતો, જે પછીથી અમને સમજાયું કે એન્થ્રોપિકના કર્મચારી લેવેન્ટ અલ્પોગે અને એનવાયયુના ગણિતના પ્રાધ્યાપક ટ્રિસ્ટન બકમાસ્ટર સાથે સંબંધિત હતી.² અમારો સંપૂર્ણ પ્રકલ્પ અને Lean ચકાસણી પૂરી થયા પછી (6 સપ્ટેમ્બરે), અફવાને આધારે તેમની પાસે પણ નેવિયર–સ્ટોક્સનો ઉકેલ હોવાનું માનીને અમે અમારા પરિણામને એકસાથે પ્રકાશિત કરવાની અને સંયુક્ત જાહેરાતમાં તેમની અગ્રતા સ્વીકારવાની દરખાસ્ત સાથે તેમનો સંપર્ક કર્યો. ત્યારે અમને જાણવા મળ્યું કે તેમણે એન્થ્રોપિકના આંતરિક મોડલનો ઉપયોગ કરીને બળયુક્ત ઑઇલર સમસ્યાનો ઉકેલ તૈયાર કર્યો હતો. આ ચર્ચાઓમાં અમે તેમને અમારી તમામ સૂચનાઓ જોવાની અને પછીથી પુરાવો જોવાની તક આપી. અમે બળયુક્ત ઑઇલર પરના તેમના કાર્યની અગ્રતા સ્વીકારીએ છીએ અને તેમની નોંધપાત્ર ગાણિતિક સિદ્ધિ બદલ તેમને અભિનંદન આપીએ છીએ.

તેમણે પોતાનું કાર્ય જાહેરમાં પ્રકાશિત કર્યું ત્યાં સુધી અમે—સંશોધકો અને એજન્ટો—કોઈ પણ માધ્યમથી તેમનું કોઈ કાર્ય જોયું ન હતું. ખાસ કરીને, આ સમસ્યા ઉકેલવા માટે કોઈ ચોક્કસ વપરાશકર્તાના ડેટાનો ઉપયોગ થયો ન હતો.

તપાસ બાદ અમે પુષ્ટિ કરી છે કે 8 સપ્ટેમ્બર, 2026ની આ જાહેરાત અને સંશોધનપત્ર પહેલાંના બે મહિનામાં બકમાસ્ટરે Codexને આપેલી સૂચનાઓ તાલીમ સહિત કોઈ પણ રીતે પ્રણાલીને પ્રભાવિત કરી શકી ન હોત. આ પરિણામ માટે વપરાયેલું OpenAIનું આંતરિક મોડલ અગાઉથી તાલીમ પામેલા મોડલ પર મોટા પાયે રીઇન્ફોર્સમેન્ટ લર્નિંગ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યું હતું. અમારા પુરાવાઓ પણ નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. ઑઇલરના કિસ્સામાં અલ્પોગે અને બકમાસ્ટરે બાહ્ય બળ સાથેનું પરિણામ સાબિત કર્યું, જ્યારે OpenAIની પ્રણાલીએ બાહ્ય બળ વિનાનું પરિણામ સાબિત કર્યું.

આ પરિણામ પ્રકાશિત કરવાનો અમારો હેતુ અમારા AI મોડલ્સની નોંધપાત્ર પ્રગતિ વિશે જાણ કરવાનો છે. અમે આ પરિણામ માટે સહસ્રાબ્દી પુરસ્કારનો દાવો કરવા ઇચ્છતા નથી.

આ સીમાચિહ્ન ગણિતશાસ્ત્રીઓ અને AI સંશોધકોએ કરેલા નોંધપાત્ર કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જોકે આ અંતિમ સિદ્ધિ નથી, પરંતુ AIના વિકાસમાં થયેલી પ્રગતિની આ ક્ષણની ઝલક છે.

અમારું માનવું છે કે હવે આપણે AIની પ્રગતિના આગામી તબક્કામાં છીએ⁠ અને આજનાં પરિણામો તેના વધુ પુરાવા આપે છે. અમે આ મોડલને સમજવા અને તેમાંથી મળતી શીખના આધારે ક્ષમતામાં વધુ પ્રગતિ કેવી રીતે અને કેટલી ઝડપે કરવી તેનું માર્ગદર્શન મેળવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી રહ્યા છીએ. અમારા મુખ્ય ઉદ્દેશોમાંનો એક⁠ એવી AI પ્રણાલીઓ બનાવવાનો છે જે માર્ગદર્શિત કરી શકાય, જવાબદેહ હોય અને લોકો સાથે જોડાયેલી હોય. AGI સમગ્ર માનવજાતને લાભ આપે તે સુનિશ્ચિત કરવાના અમારા ધ્યેય પર આગળ વધતાં, આ માટે પ્રગતિની ગતિ અંગે વધુ વિચારપૂર્વક નિર્ણયો લેવાની જરૂર પડી શકે છે.