OpenAIના એક મોડલે વિભાજિત ભૂમિતિમાં એક કેન્દ્રીય અનુમાનને ખોટું સાબિત કર્યું છે

લગભગ 80 વર્ષથી, ગણિતજ્ઞો એક ભ્રામક રીતે સરળ પ્રશ્નનો અભ્યાસ કરતા આવ્યા છે: જો તમે સમતલમાં $n$ બિંદુઓ મૂકો, તો બિંદુઓની કેટલી જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર ચોક્કસ $1$ હોઈ શકે?

આ સમતલીય એકમ અંતર સમસ્યા છે, જે પ્રથમ વખત Paul Erdős દ્વારા ૧૯૪૬ માં રજૂ કરવામાં આવી હતી। તે સંયોજકીય ભૂમિતિના સૌથી જાણીતા પ્રશ્નોમાંથી એક છે, કહેવામાં સરળ અને ઉકેલવામાં અદ્ભુત રીતે મુશ્કેલ છે. 2005માં બ્રાસ, મોસેર અને પેચ દ્વારા લખાયેલું પુસ્તક Research Problems in Discrete Geometry, તેને “સંભવતઃ સંયોજકીય ભૂમિતિમાં સૌથી જાણીતો (અને સમજાવવા માટે સૌથી સરળ) પ્રશ્ન” કહે છે. પ્રિન્સ્ટનના અગ્રણી સંયોજનિકશાસ્ત્રી નોગા અલોન તેને “એર્ડોશની પ્રિય સમસ્યાઓમાંની એક” તરીકે વર્ણવે છે. આ સમસ્યાનું ઉકેલ લાવવા માટે એર્ડોશે નાણાકીય ઇનામ પણ જાહેર કર્યું હતું.

આજે, આપણે એકમ-અંતર સમસ્યામાં એક મહત્ત્વપૂર્ણ પ્રગતિ શેર કરીએ છીએ. એર્ડોસના મૂળ કાર્ય પછીથી, પ્રચલિત માન્યતા એવી રહી છે કે નીચે આગળ દર્શાવેલી “ચોરસ ગ્રીડ” રચનાઓ એકમ-અંતરની જોડીઓની સંખ્યા મહત્તમ કરવા માટે મૂળભૂત રીતે શ્રેષ્ઠ હતી. OpenAIના એક આંતરિક મોડલે આ લાંબા સમયથી ચાલતા અનુમાનને ખોટું સાબિત કર્યું છે અને ઉદાહરણોની એક અનંત શ્રેણી આપી છે જે બહુપદીય સુધારો આપે છે. આ પુરાવો બાહ્ય ગણિતજ્ઞોના એક જૂથ દ્વારા ચકાસવામાં આવ્યો છે. તેમણે દલીલ સમજાવતો અને પરિણામના મહત્ત્વ માટે વધુ પૃષ્ઠભૂમિ અને સંદર્ભ આપતો એક સહાયક લેખ પણ લખ્યો છે.

આ પરિણામ કેવી રીતે મળ્યું તે માટે પણ નોંધપાત્ર છે. આ પુરાવો ખાસ ગણિત માટે તાલીમ અપાયેલી, પુરાવાની વ્યૂહરચનાઓ શોધવા માટે માળખાબદ્ધ કરાયેલી અથવા ખાસ કરીને એકમ-અંતર સમસ્યાને નિશાન બનાવતી સિસ્ટમમાંથી નહીં પરંતુ એક નવા સામાન્ય-હેતુના રિઝનિંગ મોડલમાંથી આવ્યો હતો. અત્યાધુનિક સંશોધનમાં અદ્યતન મોડલો યોગદાન આપી શકે છે કે નહીં તે તપાસવાના વ્યાપક પ્રયત્નના ભાગરૂપે, અમે એર્ડોસના પ્રશ્નોના એક સંગ્રહ પર તેનું મૂલ્યાંકન કર્યું. આ કિસ્સામાં, તેણે ઉકેલાયા વગરની સમસ્યાનો ઉકેલ આપતો એક પુરાવો તૈયાર કર્યો.

આ પુરાવો ગણિત અને AI સમુદાયો માટે એક મહત્ત્વપૂર્ણ માઇલસ્ટોન છે. આમાં પહેલી વાર એવું બન્યું છે કે ગણિતના એક ઉપક્ષેત્રના કેન્દ્રમાં રહેલી એક પ્રખ્યાત ઉકેલાયા વગરની સમસ્યા AI દ્વારા સ્વાયત્ત રીતે ઉકેલાઈ છે. તે આ સિસ્ટમો હવે કેટલું ઊંડું રિઝનિંગ સમર્થન આપે છે તેવું પણ દર્શાવે છે. ગણિત રિઝનિંગ માટે ખાસ કરીને સ્પષ્ટ પરીક્ષણ-મંચ આપે છે: પ્રશ્નો ચોક્કસ હોય છે, સંભવિત પુરાવાઓ ચકાસી શકાય છે અને લાંબી દલીલ ત્યારે જ કામ કરે છે જ્યારે શરૂઆતથી અંત સુધી રિઝનિંગ એકસાથે ટકીને રહે. જે પદ્ધતિથી આ સમસ્યા ઉકેલાઈ તે પણ નોંધપાત્ર છે. આ પુરાવો એક પ્રાથમિક ભૂમિતિય પ્રશ્ન પર બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંતમાંથી આવેલા અનપેક્ષિત અને સુસંસ્કૃત વિચારો લાગુ કરે છે.

Fields પદક વિજેતા ટીમ ગ્રોનર્સ, સહાયક લેખમાં લખતાં, આ પરિણામને “AI ગણિતમાં એક માઇલસ્ટોન” કહે છે. અગ્રણી સંખ્યા સિદ્ધાંતકાર અરુલ શંકરના જણાવ્યા મુજબ, “મારા મત મુજબ આ લેખ દર્શાવે છે કે વર્તમાન AI મોડલો માત્ર માનવીય ગણિતજ્ઞોના સહાયકથી આગળ જાય છે – તેઓ મૂળ અને કુશળ વિચારો આપી શકે છે અને પછી તેમને સફળ અંત સુધી લઈ જઈ શકે છે”.

પુરાવો અહીં⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે) ઉપલબ્ધ છે. અગ્રણી બાહ્ય ગણિતજ્ઞો દ્વારા લખાયેલ સહાયક લેખ અહીં⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે) ઉપલબ્ધ છે. તમે મોડલની વિચારશૃંખલાનું સંક્ષિપ્ત સંસ્કરણ અહીં⁠(નવી વિન્ડોમાં ખૂલે છે) જોઈ શકો છો.

માનો કે u(n), સમતલમાં આવેલા n બિંદુઓ વચ્ચેના એકમ અંતર ધરાવતા જોડાઓની શક્ય તેટલી મહત્તમ સંખ્યા દર્શાવે છે. રેખીય વૃદ્ધિ દર પ્રાપ્ત કરતા ઉદાહરણો બનાવવા સરળ છે: $n$ બિંદુઓને એક રેખામાં મૂકવાથી $n-1$ જોડીઓ મળે છે, જ્યારે ચોરસ ગ્રીડ લગભગ $2n$ જોડીઓ આપે છે. અગાઉ જાણીતી શ્રેષ્ઠ રચના, જે ફરી માપેલા ચોરસ ગ્રીડમાંથી આવે છે, હકીકતમાં વધુ પણ આપે છે: અચલાંક $C$ માટે $n^{1 + C / \log \log(n)}$. કારણ કે $\log \log(n)$, $n$ સાથે અનંત તરફ જાય છે, ઘાતમાંનું વધારાનું પદ $0$ તરફ જાય છે, એટલે આ રચનાઓ માત્ર રેખીય કરતાં થોડી જ ઝડપી વૃદ્ધિ હાંસલ કરે છે. દાયકાઓ સુધી વ્યાપક માન્યતા એવી હતી કે આ દર મૂળભૂત રીતે શક્ય તેટલો શ્રેષ્ઠ હતો અને કોઈ રચના ચોરસ ગ્રીડ કરતાં નોંધપાત્ર સુધારો કરી શકતી નહોતી. તકનીકી ભાષામાં, એર્ડોસે $n^{1+o(1)}$ ની ઉપરની મર્યાદાનું અનુમાન કર્યું હતું, જેમાં વધારાનું $o(1)$ એ એવું પદ દર્શાવે છે જે $n$ સાથે $0$ તરફ જાય છે.

અમારું નવું પરિણામ આ અનુમાનને ખોટું સાબિત કરે છે. વધુ ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, $n$ ના અનંત ઘણા મૂલ્યો માટે, આ પુરાવો $n$ બિંદુઓની એવી ગોઠવણો બનાવે છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $n^{1+\delta}$ એકમ-અંતરની જોડીઓ હોય, જ્યાં $\delta > 0$ કોઈ સ્થિર ઘાત છે. (મૂળ AI પુરાવો સ્પષ્ટ $\delta$ આપતો નથી, પરંતુ Princetonના ગણિત પ્રોફેસર વિસ સ્વેઇન દ્વારા આવનારી સુધારેલી આવૃત્તિએ બતાવ્યું છે કે $\delta=0.014$ લઈ શકાય.)

સમસ્યાનો ઇતિહાસ એ સમજવામાં મદદ કરે છે કે પરિણામ આશ્ચર્યજનક કેમ છે. સૌથી સારી જાણીતી નીચલી મર્યાદા એર્ડોસની 1946ની મૂળ રચના પછીથી લગભગ અપરિવર્તિત રહી હતી. સૌથી સારી જાણીતી ઉપરની મર્યાદા, $O(n^{4/3})$, 1984માં સ્પેન્સર, ઝેમેર્ડી અને ટ્રોટ્ટરના કાર્ય સુધી જાય છે અને પછી ઝેકેલી, કેટ્ઝ અને સિલ્લિર, પેચ, રેઝ અને સોલીમોસી તેમજ અન્ય લોકોના સુધારાઓ અને સંબંધિત માળખાકીય કાર્ય છતાં, ઉપરની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે અપરિવર્તિત રહી છે. અનુમાનના સમર્થનમાં પુરાવા તરીકે, મેતૌસેક અને એલોન-બુસીસ-સુરેમેને સમતલમાં યુક્લિડિયન અંતરો સાથે આ પ્રશ્નનો અભ્યાસ કર્યો અને સાબિત કર્યું કે આ યુક્લિડિયન અંતરોમાંથી "મોટાભાગના" કોઈ અર્થમાં આ અનુમાનનું પાલન કરે છે.

આશ્ચર્યજનક રીતે, આ રચનાના મુખ્ય ઘટકો ગણિતના એક બહુ જુદા ક્ષેત્રમાંથી આવે છે જેને બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંત કહે છે, જે બીજગણિતીય સંખ્યા ક્ષેત્રો તરીકે ઓળખાતા પૂર્ણાંકોના વિસ્તારોમાં ગુણાકાર વિભાજન જેવી સંકલ્પનાઓનો અભ્યાસ કરે છે.

ઉચ્ચ સ્તરે, આ પુરાવો એક પરિચિત ભૂમિતિય વિચારથી શરૂ થાય છે અને તેને અનપેક્ષિત દિશામાં આગળ ધપાવે છે.

એર્ડોસની મૂળ નીચલી મર્યાદાને ગૌસિયન પૂર્ણાંકો દ્વારા સમજાવી શકાય છે: $a+bi$ સ્વરૂપની સંખ્યાઓ, જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક છે અને $i$, $-1$ નું વર્ગમૂળ છે. ગૌસિયન પૂર્ણાંકો સામાન્ય પૂર્ણાંકોને વિસ્તારે છે અને તેમની જેમ જ, અભાજ્યોમાં એકમાત્ર ગુણાકાર વિભાજન જેવી વિશેષતાઓ ધરાવે છે. સામાન્ય પૂર્ણાંકો અથવા પરિમેય સંખ્યાઓના આવા વિસ્તરણોને બીજગણિતીય સંખ્યા ક્ષેત્રો કહેવામાં આવે છે. નવી દલીલ ગૌસિયન પૂર્ણાંકોને બદલે બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંતમાંથી આવેલી વધુ જટિલ સામાન્યકરણોનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં વધુ સમૃદ્ધ સંમિતિઓ છે અને જે ઘણી વધુ એકમ-લંબાઈની તફાવતો બનાવી શકે છે.

ચોક્કસ દલીલ અનંત વર્ગ ક્ષેત્ર ટાવરો અને Golod–Shafarevich સિદ્ધાંત જેવા સાધનોનો ઉપયોગ કરીને બતાવે છે કે દલીલ માટે જરૂરી સંખ્યા ક્ષેત્રો ખરેખર અસ્તિત્વમાં છે. આ વિચારો બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંતકારોમાં સારી રીતે જાણીતા હતા, પરંતુ આ સંકલ્પનાઓના યુક્લિડિયન સમતલના ભૂમિતિય પ્રશ્નો પર પણ પ્રભાવ પડે છે તે મોટું આશ્ચર્ય હતું.

આ પરિણામ AI અને ગણિત વચ્ચેની પરસ્પર ક્રિયામાં એક મહત્ત્વપૂર્ણ ક્ષણ દર્શાવે છે: AI સિસ્ટમે સક્રિય ક્ષેત્રના કેન્દ્રમાં રહેલી લાંબા સમયથી ઉકેલાયા વગરની સમસ્યાનો સ્વાયત્ત ઉકેલ આપ્યો છે. તે AI અને માનવીય ગણિતજ્ઞો વચ્ચેના નવા પ્રકારના સહકારની પ્રારંભિક ઝલક પણ આપે છે. આ કિસ્સામાં, બાહ્ય ગણિતજ્ઞોનું સહાયક કાર્ય મૂળ ઉકેલ એકલો આપે તે કરતાં ઘણું વધુ સમૃદ્ધ ચિત્ર રજૂ કરે છે.

થોમસ બ્લૂમ સહાયક નોંધમાં લખે છે:

“AI દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા પુરાવાના મહત્ત્વ અને પ્રભાવનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, હું મારી જાતને એક પ્રશ્ન પૂછું છું: શું આણે અમને પ્રશ્ન વિશે કંઈક નવું શીખવ્યું છે? શું હવે આપણે વિભાજિત ભૂમિતિને વધુ સારી રીતે સમજીએ છીએ? મને લાગે છે કે જવાબ થોડા અંશે હા છે: આ બતાવે છે કે આ પ્રકારના પ્રશ્નો વિશે સંખ્યા-સિદ્ધાંત આધારિત રચનાઓ પાસે અમારી ધારણા કરતાં ઘણું વધુ કહેવાનું છે; વધુમાં, જરૂરી સંખ્યા સિદ્ધાંત ખૂબ ઊંડો હોઈ શકે છે. નિશ્ચિતપણે ઘણા બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંતકારો આવનારા મહિનાઓમાં વિભાજિત ભૂમિતિની અન્ય ઉકેલાયા વગરની સમસ્યાઓને નજીકથી જોશે.”

ઉકેલે ઉજાગર કરેલો બીજગણિતીય સંખ્યા સિદ્ધાંત અને વિભાજિત ભૂમિતિ વચ્ચેનો અનપેક્ષિત સંબંધ આ પરિણામને નોંધપાત્ર બનાવે છે. તેનાથી માત્ર એક ચોક્કસ અનુમાનનો અંત નથી આવતો, પરંતુ ગણિતજ્ઞોને વધુ સંબંધિત પ્રશ્નોની શોધ શરૂ કરવા માટે એક સમૂહ પણ આપી શકે છે.

બ્લૂમ વધુ વ્યાપક સંભાવના તરફ પણ ઈશારો કરે છે:

“જ્ઞાનની સીમાઓ ખૂબ અસમાન છે અને નિશ્ચિતપણે આવનારા મહિના અને વર્ષોમાં ગણિતના અનેક અન્ય ક્ષેત્રોમાં સમાન સફળતાઓ જોવા મળશે, જ્યાં લાંબા સમયથી ઉકેલાયા વગરની સમસ્યાઓ AI દ્વારા ઉકેલાશે, જે અનપેક્ષિત જોડાણો ખુલ્લા કરશે અને હાલની તકનીકી વ્યવસ્થાને તેની મર્યાદા સુધી આગળ વધારશે. AI આપણને સદીઓમાં બનાવેલા ગણિતના ભવ્ય મંદિરને વધુ સંપૂર્ણ રીતે શોધવામાં મદદ કરી રહ્યું છે; પડદા પાછળ હજુ કયા અજાણ્યા ચમત્કારો રાહ જોઈ રહ્યા છે?”

આ પરિણામ એક આશાસ્પદ ઉદાહરણ આપે છે: AI માત્ર ઉકેલ જ નહીં, પરંતુ એવી ગણિતીય શોધમાં યોગદાન આપે છે જેના મહત્ત્વને અનુગામી માનવીય સમજણ વધુ સ્પષ્ટ અને સમૃદ્ધ બનાવે છે.

મુખ્ય શીખ આ ખાસ પરિણામ કરતાં મોટી છે. વધુ સારું ગણિતીય રિઝનિંગ AIને વધુ મજબૂત સંશોધન ભાગીદાર બનાવી શકે છે: એવું કંઈક જે મુશ્કેલ વિચારશ્રેણીઓને એકસાથે જાળવી શકે, જ્ઞાનના દૂરના ક્ષેત્રોમાં વિચારોને જોડે, નિષ્ણાતોએ કદાચ પ્રાથમિકતા ન આપેલા આશાસ્પદ માર્ગો દેખાડે અને સંશોધકોને એવી સમસ્યાઓમાં પ્રગતિ કરવામાં મદદ કરે જે અન્યથા બહુ જટિલ અથવા સમય લાગે તેવી હોત.

આ ક્ષમતાઓનું મહત્ત્વ ગણિતથી આગળ પણ છે. જો કોઈ મોડલ જટિલ દલીલને સુસંગત રાખી શકે, જ્ઞાનના દૂરના ક્ષેત્રોમાં વિચારોને જોડે અને નિષ્ણાતોની કડક તપાસમાં ટકી રહે એવું કાર્ય ઉત્પન્ન કરી શકે, તો આવી ક્ષમતાઓ જીવવિજ્ઞાન, ભૌતિકશાસ્ત્ર, પદાર્થ વિજ્ઞાન, ઇજનેરી અને ચિકિત્સામાં પણ ઉપયોગી છે અને વધુ સ્વચાલિત સંશોધન તરફના આપણા લાંબા ગાળાના માર્ગનો ભાગ છે: એવી સિસ્ટમો જે વૈજ્ઞાનિકો અને ઇજનેરોને વધુ વિચારો શોધવામાં અને વધુ કઠિન તકનીકી પ્રશ્નો આગળ ધપાવવામાં મદદ કરી શકે.

AI હવે સંશોધનના સર્જનાત્મક ભાગોમાં અને સૌથી મહત્ત્વપૂર્ણ રીતે AI સંશોધનમાં જ, ખૂબ ગંભીર ભૂમિકા ભજવવા જઈ રહ્યું છે. જ્યારે આ પ્રગતિ અનપેક્ષિત નથી, ત્યારે તે AI વિકાસના આ આગામી તબક્કાને સમજવાની, અત્યંત બુદ્ધિશાળી સિસ્ટમોને સુસંગત બનાવવાના પડકારોની અને માનવ-AI સહકારના ભવિષ્યની તાત્કાલિકતાને વધુ મજબૂત બનાવે છે.

તે ભવિષ્ય હજી પણ માનવીય નિર્ણય પર આધાર રાખે છે. નિપુણતા ઓછી નહીં, વધુ મૂલ્યવાન બને છે. AI શોધવામાં, સૂચવવામાં અને ચકાસવામાં મદદ કરી શકે છે. લોકો નક્કી કરે છે કે કયા પ્રશ્નો મહત્ત્વના છે, પરિણામોનું અર્થઘટન કરે છે અને આગળ કયા પ્રશ્નોનો ઉકેલ લાવવા માટે તેમાં આગળ વધવું તે નક્કી કરે છે.