16. aprill 2025

Introducing OpenAI o3 and o4-mini

Laadimine…

Värskendus 10. juunil 2025: OpenAI o3‑pro on nüüd kättesaadav Pro-kasutajatele nii ChatGPT‑s kui ka meie API-s. Nagu OpenAI o1‑pro, on ka o3‑pro versioon meie kõige intelligentsemast mudelist OpenAI o3, mis on loodud kauem mõtlema ja pakkuma kõige usaldusväärsemaid vastuseid. Täpsemat infot leiab meie väljalaskemärkmetest⁠(avaneb uues aknas).

Täna laseme välja OpenAI o3 ja o4-mini - uusimad mudelid meie o-seerias, mis on treenitud enne vastamist kauem mõtlema. Need on targimad mudelid, mille oleme seni välja lasknud, kujutades endast hüppelist muutust ChatGPT võimekuses kõigi jaoks, alates uudishimulikest kasutajatest kuni edasijõudnud teadlasteni. Esimest korda suudavad meie arutlevad mudelid agentselt kasutada ja kombineerida kõiki tööriistu ChatGPT sees—see hõlmab veebiotsingut, üleslaaditud failide ja muude andmete analüüsimist Pythoniga, süvitsi arutlemist visuaalsete sisendite üle ja isegi piltide genereerimist. Kriitilise tähtsusega on see, et need mudelid on treenitud arutlema selle üle, millal ja kuidas tööriistu kasutada, et luua detailseid ja läbimõeldud vastuseid õiges vormingus, lahendades keerukamaid probleeme tavaliselt vähem kui minutiga. See võimaldab neil tõhusamalt käsitleda mitmetahulisi küsimusi - see on samm agentsema ChatGPT suunas, mis suudab sinu nimel iseseisvalt ülesandeid täita. Tipptasemel arutlusvõime ja täieliku tööriistadele ligipääsu ühendatud jõud väljendub oluliselt tugevamas soorituses nii akadeemilistes testides kui ka reaalmaailma ülesannetes, seades uue standardi nii intelligentsuses kui ka kasulikkuses.

Mis on muutunud?

OpenAI o3 on meie võimsaim arutlev mudel, mis nihutab piire programmeerimises, matemaatikas, teaduses, visuaalses tajus ja mujal. See seab uue tipptaseme (SOTA) sellistes testides nagu Codeforces, SWE-bench (ilma spetsiaalselt mudelile kohandatud karkassita) ja MMMU. See on ideaalne keerukate päringute jaoks, mis nõuavad mitmekülgset analüüsi ja mille vastused ei pruugi olla kohe ilmsed. Eriti tugev on see visuaalsetes ülesannetes, nagu piltide, graafikute ja jooniste analüüsimine. Väliste ekspertide hinnangutes teeb o3 rasketes reaalmaailma ülesannetes 20 protsenti vähem suuri vigu kui OpenAI o1—paistes eriti silma valdkondades nagu programmeerimine, äri/konsultatsioon ja loov ideestamine. Esmased testijad tõstsid esile selle analüütilist täpsust mõttepartnerina ning rõhutasid selle võimet koostada ja kriitiliselt hinnata uudseid hüpoteese—eriti bioloogia, matemaatika ja inseneriteabe kontekstis.

OpenAI o4-mini on väiksem mudel, mis on optimeeritud kiireks ja kuluefektiivseks arutluseks—see saavutab oma suuruse ja hinna kohta märkimisväärse jõudluse, eriti matemaatikas, programmeerimises ja visuaalsetes ülesannetes. See on parima tulemusega testitud mudel AIME 2024 ja 2025 võistlustel. Kuigi ligipääs arvutile vähendab oluliselt AIME eksami raskust, on siiski tähelepanuväärne, et o4-mini saavutab AIME 2025-s tulemuse 99,5% pass@1 (100% consensus@8), kui talle antakse ligipääs Pythoni interpretaatorile. Kuigi neid tulemusi ei tohiks võrrelda mudelitega, millel puudub ligipääs tööriistadele, on need üheks näiteks sellest, kui tõhusalt o4-mini kättesaadavaid tööriistu ära kasutab; o3 näitab AIME 2025 puhul tööriistakasutusega sarnaseid paranemisi (98,4% pass@1, 100% consensus@8).

Eksperthinnangutes ületab o4-mini oma eelkäijat o3‑minit ka väljaspool reaalteadusi (non-STEM) ning valdkondades nagu andmeteadus. Tänu oma tõhususele võimaldab o4-mini oluliselt kõrgemaid kasutuslimiite kui o3, olles seega tugev valik suure mahuga ja kiiret läbilaskevõimet nõudvateks ülesanneteks, kus on kasu arutlusvõimest. Välised eksperdid leidsid, et mõlemad mudelid järgivad juhiseid paremini ning annavad oma eelkäijatest kasulikumaid ja kontrollitavamaid vastuseid - seda tänu suuremale intelligentsusele ja veebiallikate kasutamisele. Võrreldes meie varasemate arutlevate mudelitega peaksid need kaks mudelit mõjuma ka loomulikuma ja vestluslikumana, eriti kuna need kasutavad mälu ja varasemaid vestlusi, et muuta vastused sinu jaoks isikupärasemaks ja asjakohasemaks.

Multimodaalne

Kodeerimine

Kõik SWE-bench hindamiskäigud kasutavad fikseeritud alamhulka n=477 kinnitatud ülesannetest, mis on valideeritud meie sisemises infrastruktuuris.

Juhiste järgimine ja agentlike tööriistade kasutamine

Kõiki mudeleid hinnatakse kõrge „arutluspingutuse“ (reasoning effort) seadetega—sarnaselt variantidele nagu „o4-mini-high“ ChatGPT‑s.

Stiimulõppe laiendamise jätkamine

OpenAI o3 arendamise käigus oleme täheldanud, et suuremahuline stiimulõpe (reinforcement learning) näitab sama „rohkem arvutusvõimsust = parem sooritus“ trendi, mida märkasime GPT‑seeria eeltreeningul. Järgides taas skaleerimisrada—seekord stiimulõppes—oleme suurendanud nii treeningu arvutusmahtu kui ka järeldamise ajal toimuvat arutlemist (inference-time reasoning) suurusjärgu võrra, kuid näeme siiski selget jõudluse kasvu, mis kinnitab, et mudelite sooritus paraneb jätkuvalt, mida rohkem neil lastakse mõelda. Sama latentsusaja ja kulu juures nagu OpenAI o1, pakub o3 ChatGPT‑s paremat jõudlust—ning oleme kinnitanud, et kui laseme sel kauem mõelda, paraneb selle sooritus veelgi.

Treenisime mõlemat mudelit kasutama tööriistu läbi stiimulõppe—õpetades neile mitte ainult seda, kuidas tööriistu kasutada, vaid ka arutlema selle üle, millal neid kasutada. Nende võime rakendada tööriistu vastavalt soovitud tulemustele teeb nad võimekamaks avatud loomuga olukordades—eriti nendes, mis hõlmavad visuaalset arutlust ja mitmeastmelisi töövooge. See paranemine kajastub nii akadeemilistes testides kui ka reaalmaailma ülesannetes, nagu teatasid varajased testijad.

Piltidega mõtlemine

Esimest korda suudavad need mudelid integreerida pilte otse oma arutluskäiku. Need ei näe lihtsalt pilti—need mõtlevad koos sellega. See avab uue klassi probleemilahendusi, mis põimib visuaalse ja tekstilise arutluse, kajastudes nende tipptasemel tulemustes mitmemodaalsetes testides.

Inimesed saavad üles laadida foto tahvlist, õpiku diagrammist või käsitsi tehtud visandist ning mudel suudab seda tõlgendada—isegi kui pilt on udune, peegelpildis või madala kvaliteediga. Tööriistu kasutades saavad mudelid pilte käigu pealt manipuleerida—neid pöörates, suumides või muundades osana oma arutlusprotsessist.

Need mudelid pakuvad visuaalse taju ülesannetes oma klassi parimat täpsust, võimaldades lahendada küsimusi, mis varem olid kättesaamatud. Loe lähemalt visuaalse arutluse teadusblogist⁠.

Teel agentse tööriistakasutuse poole

OpenAI o3‑l ja o4-minil on täielik ligipääs tööriistadele nii ChatGPT‑s kui ka sinu enda loodud tööriistadele API funktsioonikutsete (function calling) kaudu. Need mudelid on treenitud arutlema probleemide lahendamise üle, valides millal ja kuidas kasutada tööriistu, et anda kiiresti—tavaliselt vähem kui minutiga—üksikasjalikke ja läbimõeldud vastuseid õiges vormingus.

Näiteks võib kasutaja küsida: „Kuidas on California suvine energiatarbimine võrreldav eelmise aastaga?“ Mudel võib otsida veebist avalikke kommunaalteenuste andmeid, kirjutada prognoosi koostamiseks Pythoni koodi, genereerida graafiku või pildi ning selgitada ennustuse peamisi tegureid, aheldades selleks mitu tööriistakutset. Arutlusvõime võimaldab mudelitel reageerida ja leitud info põhjal vajadusel oma tegevust kohandada. Näiteks saavad need otsingupakkujate abil veebist mitu korda otsida, tulemusi vaadata ja vajadusel uusi otsinguid teha, kui vajavad rohkem infot.

See paindlik ja strateegiline lähenemine võimaldab mudelitel lahendada ülesandeid, mis nõuavad ligipääsu värskele infole (mis jääb väljapoole mudeli treeningteadmisi), pikemat arutluskäiku, sünteesi ja väljundi loomist eri meediumites.

Kõik näited on tehtud OpenAI o3‑ga.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Arutles polünoomi konstrueerimise üle 55 sekundit

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Mõtles 1 min 19 s

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 saab vastuse õigesti ilma otsingut kasutamata, samas kui o1 ei suuda õiget vastust anda.

Kulusäästliku arutlusvõime edendamine

Kulu vs jõudlus: o3‑mini ja o4-mini

OpenAI o3-mini ja o4-mini AIME hindamised

OpenAI o3-mini ja o4-mini GPQA hindamised

Kulud vs. jõudlus: o1 ja o3

OpenAI o3 ja o4-mini on kõige intelligentsemad mudelid, mille oleme eales avaldanud, ning sageli on need ka tõhusamad kui nende eelkäijad, OpenAI o1 ja o3‑mini. Näiteks 2025. aasta AIME matemaatikavõistlusel on o3 kulu ja jõudluse piir (cost-performance frontier) selgelt parem kui o1‑l, ja samamoodi ületab o4-mini piir kindlalt o3‑mini oma. Üldisemalt eeldame, et enamiku reaalse maailma kasutusjuhtude puhul on o3 ja o4-mini vastavalt nii targemad kui ka soodsamad kui o1 ja o3‑mini.

Ohutus

Iga paranemine mudeli võimekuses nõuab vastavaid parandusi ohutuses. OpenAI o3 ja o4-mini jaoks ehitasime täielikult uuesti üles oma ohutustreeningu andmed, lisades uusi keeldumisviipasid valdkondades nagu bioloogilised ohud (biorisk), pahavara genereerimine ja piirangutest möödahiilimine (jailbreaks). See värskendatud andmestik on viinud o3 ja o4-mini tugeva soorituseni meie sisemistes keeldumistestides (nt juhiste hierarhia⁠, jailbreakid). Lisaks mudeli keeldumiste tugevale sooritusele oleme välja töötanud süsteemitasandi leevendusmeetmed, et märgistada ohtlikke viipasid uutes riskivaldkondades. Sarnaselt meie varasemale tööle piltide genereerimisel⁠, treenisime arutleva LLM-põhise jälgija, mis töötab inimese kirjutatud ja tõlgendatavate ohutusspetsifikatsioonide alusel. Bioriskile rakendatuna märgistas see jälgija edukalt ~99% vestlustest meie inimeste poolt läbi viidud ründesimulatsiooni (red-teaming) kampaanias.

Panime mõlemad mudelid proovile oma seni kõige rangema ohutusprogrammi raames. Kooskõlas meie värskendatud valmisolekuraamistikuga⁠ hindasime o3 ja o4-minit kolmes raamistikuga kaetud võimekuse valdkonnas: bioloogiline ja keemiline, küberturvalisus ning AI enesetäiustamine. Nende hindamiste tulemuste põhjal tegime kindlaks, et nii o3 kui ka o4-mini jäävad kõigis kolmes kategoorias allapoole raamistiku „kõrge“ (High) läve. Oleme avaldanud nende hindamiste üksikasjalikud tulemused lisatud süsteemikaardil⁠.

Codex CLI: tipptasemel arutlusvõime terminalis

Jagame ka uut eksperimenti: Codex CLI, mis on kergekaaluline programmeerimisagent, mida saad käivitada oma terminalist. See töötab otse sinu arvutis ja on loodud maksimeerima mudelite nagu o3 ja o4-mini arutlusvõimet, pakkudes peagi tuge ka teistele API mudelitele, nagu GPT‑4.1⁠.

Saad käsurealt kasu lõigata multimodaalsest arutlusvõimest, edastades mudelile ekraanipilte või madala kvaliteediga visandeid, kombineerides seda ligipääsuga oma kohalikule koodile. Meie jaoks on see minimalistlik liides, mis ühendab meie mudelid kasutajate ja nende arvutitega. Codex CLI on täielikult avatud lähtekoodiga aadressil github.com/openai/codex⁠(avaneb uues aknas) tänasest.

Sellega paralleelselt käivitame 1 miljoni dollari suuruse algatuse, et toetada projekte, mis kasutavad Codex CLI-d ja OpenAI mudeleid. Hindame taotlusi ja jagame toetusi 25 000 USA dollari suuruste osadena API krediidi kujul. Ettepanekuid saab esitada siin.

Juurdepääs

Alates tänasest näevad ChatGPT Plusi, Pro ja Teami kasutajad mudelivalikus mudeleid o3, o4-mini ja o4-mini-high, mis asendavad mudeleid o1, o3‑mini ja o3‑mini‑high. ChatGPT Enterprise’i ja Edu kasutajad saavad ligipääsu nädala jooksul. Tasuta kasutajad saavad o4-minit proovida, valides enne päringu saatmist sisestusalas „Think“ (Mõtle). Kiiruspiirangud jäävad kõigis pakettides samaks, mis olid varasematel mudelitel.

Loodame mõne nädala jooksul välja lasta OpenAI o3‑pro koos täieliku tööriistatoega. Seni saavad Pro-kasutajad endiselt kasutada o1‑prod.

Nii o3 kui ka o4-mini on arendajatele tänasest kättesaadavad ka Chat Completions API ja Responses API kaudu (mõned arendajad peavad nendele mudelitele ligipääsuks oma organisatsiooni verifitseerima⁠(avaneb uues aknas)). Responses API toetab arutluskäikude kokkuvõtteid ja võimalust säilitada parema jõudluse tagamiseks funktsioonikutsete ümber arutlusmärke (reasoning tokens). Peagi lisandub mudeli arutluskäiku ka sisseehitatud tööriistade, nagu veebiotsingu, failiotsingu ja koodiinterpretaatori tugi. Alustamiseks tutvu meie dokumentatsiooniga⁠(avaneb uues aknas) ja hoia end värskendustega kursis.

Mis järgmiseks

Tänased värskendused peegeldavad suunda, kuhu meie mudelid liiguvad: me ühendame o-seeria spetsialiseeritud arutlusvõime GPT‑seeria loomulikumate vestlusoskuste ja tööriistakasutusega. Neid tugevusi ühendades toetavad meie tulevased mudelid sujuvaid ja loomulikke vestlusi koos ennetava tööriistakasutuse ja arenenud probleemilahendusega.

Värskendus 28. juulil 2025: SWE-Lanceri andmestik ja tulemused on värskendatud seisuga 17. juuli 2025, saadaval aadressil: https://github.com/openai/preparedness⁠(avaneb uues aknas) ja meie süsteemikaartidel. See värskendus lahendab mitu probleemi, mis mõjutasid teenitud tulu tulemusi, ja eemaldab käitamise ajal internetiühenduse nõude, kõrvaldades mudeli soorituse varieeruvuse peamise allika.

Värskendus 16. aprillil 2025: o3 tulemusi Charxiv-r ja Mathvista testides värskendati, et kajastada süsteemiviiba muudatust, mida algses hindamises ei olnud.

Livestream kordus

Autor

OpenAI

Joonealused märkused

tau-bench hindamistulemused on keskmistatud 5 käituse põhjal, et vähendada varieeruvust, ning testid on tehtud ilma kohandatud tööriistade või viipadeta. Leidsime, et tau-bench jaemüügi simulatsioonid on kasutajamudeli vigadele vastuvõtlikumad.Viirutatud tulba numbrid on saadud kasutades GPT-4.1 kasutajamudelina, kuna see järgib juhiseid oluliselt paremini kui GPT-4o.

* SWE-bench kasutab maksimaalselt 256k konteksti pikkust, mis parandab o4-mini lahendusmäära umbes 3% ja mõjutab o3 lahendusmäära vähem kui 1%. Samuti jätame välja 23 näidist, mis pole meie sisemisel taristul käivitatavad.

** Sirvimise võimaldamisel võib mudel mõnikord leida täpseid vastuseid internetist, näiteks lugedes blogipostitusi, kus on näidisküsimused andmekogumist. Me vähendame muret mudeli petmise pärast sirvimise ajal kahe strateegia abil:

Blokeeritud domeenid, mille puhul oleme täheldanud, et mudel on minevikus petnud.
Kasutati arutlusmudelit monitorina, et uurida kõiki märke igal katsel, eesmärgiga tuvastada kahtlast käitumist. Kahtlane käitumine on määratletud kui „lehekülg, fail või lõik, mille peamine eesmärk on anda täpne vastus sellele konkreetsele küsimusele — nt ametlik hindamisvõti, lekkinud „lahenduste” gist või arutelu, mis tsiteerib sõna-sõnalt valmis vastust.” Healoomuline käitumine on määratletud kui „iga autoriteetne allikas, mida hoolas inimene võiks kasutada (dokumentatsioon, käsiraamatud, teaduslikud artiklid, mainekad väljaanded), isegi kui see juhuslikult sisaldab õiget vastust.” Kõik katsed, mille puhul monitor pidas kasutuselevõttu kahtlaseks, loetakse valeks. Enamik selle kontrolli käigus läbikukkunud näidetest olid probleemid, mille täpne lahendus oli kättesaadav mitmest HLEga mitteseotud internetiallikast

Lõpetuseks: meie hindamised veebilehitsemisega ei pruugi olla OpenAI API-s täiuslikult korratavad, kuna ChatGPT ja OpenAI API otsingumootori taustasüsteemid on erinevad. Need tulemused on mõeldud peegeldama ChatGPT kasutajakogemust, kuid sõltuvalt nõudlusest võib otsingu konfiguratsioon aja jooksul muutuda.

Kaastöötajad

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang