16. april 2025

Præsentation af OpenAI o3 og o4-mini

Vores hidtil mest intelligente og kompetente modeller med fuld værktøjsadgang

Indlæser ...

Opdatering den 10. juni 2025: OpenAI o3‑pro er nu tilgængelig til Pro-brugere i ChatGPT samt i vores API. Ligesom OpenAI o1‑pro er o3‑pro en version af vores mest intelligente model, OpenAI o3, der er designet til at tænke længere og give det mest pålidelige svar. De fulde oplysninger kan findes i vores produktbemærkninger⁠(åbner i et nyt vindue).

I dag lancerer vi OpenAI o3 and o4-mini, det seneste i vores o-serie af modeller, der er trænet til at tænke længere, før de reagerer. De er de mest intelligente modeller, vi har lanceret til dato, og de repræsenterer et vendepunkt for ChatGPT's evner for alle fra nysgerrige brugere til avancerede researchere. For første gang kan vores ræsonneringsmodel selv bruge og kombinere ethvert værktøj inden for ChatGPT - dette inkluderer søgning på internettet, analyse af uploadede filer og andre data med Python, ræsonnere dybt over visuelle input, og den kan endda generere billeder. I bund og grund er disse modeller trænet til at ræsonnere over, hvornår og hvordan man bruger værktøjer til at producere detaljerede og velovervejede svar i de rigtige outputformater, typisk på under et minut, til at løse mere komplekse problemer. Dette giver dem mulighed for at tackle mangesidede spørgsmål mere effektivt, et skridt hen imod en mere selvtænkende ChatGPT, der selvstændigt kan udføre opgaver på dine vegne. Den samlede styrke fra avanceret tænkning med fuld værktøjsadgang resulterer i en markant bedre præstation på tværs af akademiske benchmarks og opgaver i den virkelige verden, hvilket sætter en ny standard inden for både intelligens og brugbarhed.

Hvad er nyt?

OpenAI o3 er vores mest kraftfulde ræsonneringsmodel, der skubber grænsen for kodning, matematik, videnskab, visuel perception mm. Det sætter en ny SOTA på benchmarks, inklusive Codeforces, SWE-Bench (uden at bygge et brugerdefineret model-specifikt stillads) og MMMU. Det er ideelt til komplicerede forespørgsler, der kræver mangesidet analyse, og hvis svar muligvis ikke er umiddelbart indlysende. Det fungerer især godt ved visuelle opgaver som at analysere billeder, diagrammer og grafik. I evalueringer udført af eksterne eksperter laver o3 20 procent færre store fejl end OpenAI o1 på vanskelige opgaver fra den virkelige verden—udemærker sig særligt på områder som programmering, forretning/rådgivning og kreativitet. Tidlige testere fremhævede dens analytiske stringens som en tankepartner og understregede dens evne til at generere og kritisk evaluere nye hypoteser—især inden for biologi-, matematik- og ingeniørkontekster.

OpenAI o4-mini er en mindre model, der er optimeret til hurtig og omkostningseffektiv avanceret tænkning, og den opnår bemærkelsesværdige resultater i forhold til sin størrelse og pris, især inden for matematik, kodning og visuelle opgaver. Det er den bedst præsterende benchmarkede model på AIME 2024 og 2025. Selvom adgangen til en computer reducerer vanskeligheden ved AIME-eksamen, fandt vi det også bemærkelsesværdigt, at o4-mini opnår 99,5 % Pass@1 (100 % konsensus@8) på AIME 2025 med adgang til en Python-tolk. Selvom disse resultater ikke bør sammenlignes med ydeevnen fra modeller uden værktøjsadgang, er de et eksempel på, hvor effektivt o4-mini udnytter tilgængelige værktøjer. o3 viser lignende forbedringer på AIME 2025 fra værktøjsbrug (98,4 % Pass@1, 100 % konsensus@8).

I ekspertevalueringer overgår o4-mini også sin forgænger, o3‑mini, på ikke-STEM-opgaver såvel som domæner som datavidenskab. Takket være dens effektivitet understøtter o4-mini betydeligt højere brugsgrænser end o3, hvilket gør den stærk, når det kommer til store mænger og stort gennemløb for spørgsmål, der drager fordel af ræsonnering. Eksterne ekspertevaluatorer vurderede, at begge modeller viste en forbedring i at følge instruktioner og give mere nyttige, verificerbare svar end deres forgænger takket være forbedret intelligens og brug af webkilder. Sammenlignet med tidligere iterationer af vores ræsonneringsmodeller skulle disse to modeller også føles mere naturlige og konverserende, især når de refererer til hukommelse og tidligere samtaler, for at gøre svarene mere personlige og relevante.

Multimodal

Kodning

All SWE-bench evaluation runs use a fixed subset of n=477 verified tasks which have been validated on our internal infrastructure.

Instruktionsfølgning og handlende værktøjsbrug

Alle modeller er evalueret ved høje indstillinger for "ræsonneringsindsats", svarende til varianter som f.eks. "o4-mini-high" i ChatGPT.

Fortsat skalering af forstærkende læring

Gennem udviklingen af OpenAI o3 har vi observeret, at storstilet forstærkende læring udviser den samme "mere computer = bedre ydeevne"-tendens, der er observeret i prætræning af GPT‑serien. Ved at følge skaleringsstien – denne gang i RL – har vi tilføjet et ekstra størrelsesforhold i træning af både forståelses- og inferenstidsræsonnering, men ser stadig klare præstationsgevinster, hvilket bekræfter, at modellernes præstationer fortsætter med at forbedre sig, jo mere de får lov til at tænke. Til den samme latens og omkostninger som OpenAI o1, leverer o3 højere ydeevne i ChatGPT—og vi har bekræftet, at hvis vi lader den tænke i længere tid, stiger dens ydeevne fortsat.

Vi trænede også begge modeller til at bruge værktøjer gennem forstærkende læring—så de ikke bare lærte, hvordan man bruger værktøjer, men også lærte at ræsonnere over, hvornår de skal bruge dem. Deres evne til at implementere værktøjer baseret på ønskede resultater gør dem mere kompetente i åbne situationer—især dem, der involverer visuel ræsonnement og flertrin-arbejdsgange. Denne forbedring afspejles både i akademiske benchmarks og opgaver fra den virkelige verden, som rapporteret af tidlige testere.

Tænke med billeder

For første gang kan disse modeller integrere billeder direkte ind i deres tankeproces. De ser ikke bare et billede—de tænker med det. Dette låser op for en ny klasse af problemløsning, der blander visuel og tekstuel ræsonnement, der afspejles i deres avancerede præstation på tværs af multimodale benchmarks.

Folk kan overføre et billede af et whiteboard, et diagram fra en lærebog eller en håndtegnet skitse, og modellen kan fortolke det –også selvom billedet er sløret, omvendt eller i lav kvalitet. Med værktøjsbrug kan modellerne hurtigt manipulere billeder og kan rotere, zoome eller forvandle dem som en del af deres ræsonneringsproces.

Disse modeller leverer nøjagtighed i topklasse på visuelle opfattelsesopgaver, hvilket gør det muligt for dem at opklare spørgsmål, der tidligere var uden for rækkevidde. Se bloggen om research om visuel ræsonnering⁠ for at få mere at vide.

Mod handlende brug af værktøjer

OpenAI o3 og o4-mini har fuld adgang til værktøjer i ChatGPT såvel som til dine egne brugerdefinerede værktøjer via funktionskald i API. Disse modeller er trænet til at ræsonnere over, hvornår man bruger værktøjer til at producere detaljerede og velovervejede svar i de rigtige outputformater, typisk på under et minut, til at løse mere komplekse problemer.

F.eks. kan en bruger spørge: "Hvordan bliver sommerens energiforbrug i Californien sammenlignet med sidste år?" Modellen kan søge på internettet efter i offentlig forsyningsdata, skrive Python-kode til at lave en prognose, generere en graf eller et billede og forklare de vigtigste faktorer bag forudsigelsen og dermed kæde flere værktøjsopkald sammen. Avanceret tænkning giver modellerne mulighed for at reagere og justere sig efter behov til information, de finder. De kan f.eks. søge på internettet adskillige gange ved hjælp af søgeudbydere, se på resultater og prøve nye søgninger, hvis de behøver yderligere oplysninger.

Denne fleksible, strategiske tilgang gør det muligt for modellerne at håndtere opgaver, der kræver adgang til opdaterede oplysninger udover modellens indbyggede viden, udvidet avanceret tænkning, syntese og outputgenerering på tværs af modaliteter.

Alle eksempler er blevet fuldført med OpenAI o3.

OpenAI o3

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Construct a degree 19 polynomial \ (p(x)) \ in \ mathbb{C}[x] such that \ (X := \ {\, p(x) = p(y) \, \} \ subset \ mathbb{P}^{1} \ times \ mathbb{P}^{1}\ ) has at least 3 (but not all linear) irreducible components over \ mathbb{C}. Choose \ (p(x)\ ) to be odd, monic, have real coefficients and linear coefficient \ (-19\ ) and calculate \ (p(19)\ ).

Tænkte over polynomisk konstruktion i 55 sekunder

The curve defined by p(x) = p(y) factors if p(x) is decomposable or has repeated factors. Actually, p(x)-p(y) always factors, and it’s divisible by (x-y). This gives one factor, and the rest is a degree d-1 polynomial in x and y. For the curve to have at least three irreducible components, p(x)-p(y) must factor into at least three nontrivial factors. Each factor corresponds to a component in projective space, and at least one must be nonlinear.
I’m checking the Dickson polynomials D_n(x,a) and focusing on their coefficients. With a=1, it seems the leading coefficient is always 1, confirming that Dickson polynomials are monic. The linear coefficient for odd n is following a predictable sign pattern: for n=19, it gives a coefficient of -19, which is exactly what I need. So the Dickson polynomial D_n(x,1) with odd n fits nicely with the linear coefficient I was looking for.
I've confirmed that the linear coefficient for p(x)=D19(x)p(x) = D_{19}(x)p(x)=D19(x) is correct, with the necessary scaling factor to match. Now for the next step, I need to compute D19(19)D_{19}(19)D19(19). Since Tn(z)T_n(z)Tn(z) grows quickly for real z>1z > 1z>1, I plan to compute this value using Python, leveraging the recurrence to avoid mistakes—it's going to be a big number. I'll make sure to present the numeric result neatly so it's understandable since the coefficients are integers.
The Dickson polynomial D_{19}(x,1) is confirmed to have the required properties: monic, odd, real coefficients, and a linear coefficient of -19. The factorization of D_{19}(x) into irreducible components is also verified and satisfies the condition of having at least 10 components (1 linear + 9 quadratics). To compute p(19), we'll use the recurrence relation for Dickson polynomials, but there's also a closed-form expression involving cosine that could be handy here. I'll proceed accordingly!
I confirmed the linear coefficient is working correctly, which means now I need to calculate p(19)=D19(19)p(19) = D_{19}(19)p(19)=D19(19). This involves evaluating T19(9.5)T_{19}(9.5)T19(9.5), which grows rapidly. To ensure I get an accurate result, I'll compute this using recurrence in Python. The result is a large number: 1,876,572,071,974,094,803,391,179. I'll use the commas to make it easier to read: p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19) = 1,876,572,071,974,094,803,391,179p(19)=1,876,572,071,974,094,803,391,179.
For a = 1, there’s a relationship between Dickson polynomials and Chebyshev polynomials: D_n(x, 1) = 2^(n-1) T_n(x/2). Checking this, we see that the definition of D_n(u + 1/u) aligns well with Chebyshev’s formula. By setting x = 2 cos(θ), we find that D_n(x) equals 2 T_n(x/2). Importantly, the leading coefficient works out to 1, confirming the identity holds. This is nice!
Now, I need to verify that p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) factors as desired, relying on the known Dickson polynomial factorization. According to the literature (like Fried and Jarden), the difference Dn(x)−Dn(y)D_n(x) - D_n(y)Dn(x)−Dn(y) factors into a product involving (x−y)(x - y)(x−y) and other expressions. I'll provide the explicit polynomial D19(x,1)D_{19}(x, 1)D19(x,1), list the coefficients, and explain how it satisfies the desired properties: monic, odd, etc. Lastly, I'll compute p(19)p(19)p(19).

Analyzed

Python

1from math import comb, cos, acos
2# Let's compute Dickson D_n(x,a=1) recursively
3def dickson(n,x,a=1):
4    if n==0:
5        return 2
6    if n==1:
7        return x
8    Dm2=2
9    Dm1=x
10    for k in range(2,n+1):
11        D= x*Dm1 - a*Dm2
12        Dm2, Dm1 = Dm1, D
13    return Dm1
14
15d19 = dickson(19,19,1)
16d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1d19

1876572071974094803391179

Analyzed

Python

1import locale, sys, math, json, textwrap, re, decimal

Analyzed

Python

1"{:,}".format(d19)

'1,876,572,071,974,094,803,391,179'

Analyzed

Python

1# compute coefficients of Dickson polynomial D_n(x,1) via recurrence polynomial representation
2from sympy import symbols, Poly
3
4x = symbols('x')
5def dickson_poly(n):

Poly(x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x, x,

Analyzed

Python

1poly19.as_expr()

x**19 - 19*x**17 + 152*x**15 - 665*x**13 + 1729*x**11 - 2717*x**9 + 2508*x**7 - 1254*x**5 + 285*x**3 - 19*x

Done

A convenient way to force many factors in
$p(x) \;-\; p(y)$ is to use a Dickson polynomial of the first kind.
For a parameter $a \in \mathbb{C}$ in math these are defined by

$D_0\!\left(x,\, a\right) = 2,\; D_1\!\left(x,\, a\right) = x,\; D_n\!\left(x,\, a\right) = x\,D_{n-1}\!\left(x,\, a\right) - a\,D_{n-2}\!\left(x,\, a\right)\quad (n \ge 2),$

and satisfy the functional identity

$D_n\!\left(u + \frac{a}{u},\, a\right) = u^{n} + \frac{a^{n}}{u^{n}}.$

1. Choosing the polynomial

Take $a = 1$ and $n=19$ .
Because $n$ is odd, $D_{19}\!\left(x,\, 1\right)$ is an odd polynomial; the recurrence immediately shows it is monic and has integer (hence real) coefficients.
The coefficient of $x$ is $x = (-1)^{\frac{n-1}{2}}\,n = -19,$ so all requested normalisations are satisfied.

Writing it out gives

$\boxed{% p(x) = D_{19}\!\left(x,1\right) = x^{19} - 19x^{17} + 152x^{15} - 665x^{13} + 1729x^{11} - 2717x^{9} + 2508x^{7} - 1254x^{5} + 285x^{3} - 19x% }\,.$

2. Irreducible components of $fX \;=\; \bigl\{\, p(x) = p(y) \,\bigr\}$

For Dickson polynomials one has the classical factorisation

$D_n\!\left(x,1\right) \;-\; D_n\!\left(y,1\right) \;=\; (x - y)\, \prod_{j=1}^{\frac{n-1}{2}} \Bigl( x^{2} + y^{2} - 2\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi j}{n}\bigr)\,xy - 4\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi j}{n}\bigr) \Bigr),$

where each quadratic factor is irreducible over $\mathbb{C}$ (see, e.g., Lidl–Niederreiter, Finite Fields, §3.6).
For $n=19$ this gives

one linear component $x=y;$
nine quadratic components (corresponding to $\bigl(j = 1,\,\ldots,\,9\bigr).$

Hence $X \subset \mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ has $10$ irreducible components, at least three of them and not all linear, as required.

3. Evaluating $p(19)$

Using the recurrence (or the identity $D_n\!\left(x,\,1\right) \;=\; 2\,T_n\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)$ with Chebyshev $T_n$ one obtains

$p(19) \;=\; D_{19}\!\left(19,\,1\right) \;=\; 1\,876\,572\,071\,974\,094\,803\,391\,179.$

Thus the polynomial above fulfils every condition, and

$\boxed{% p(19) \;=\; 1{,}876{,}572{,}071{,}974{,}094{,}803{,}391{,}179 }.$

OpenAI o1

Solve the following very hard math problem using your in-built knowledge of the literature:

Tænkte i 1 minut 19 sekunder

I’m piecing together a degree 19 polynomial with only odd powers and a linear coefficient of -19, like: p(x)=x19+a17x17+…+a1xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_1xp(x)=x19+a17x17+…+a1x.

I'm examining if the polynomial p(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19xp(x) = x^{19} + a_{17}x^{17} + \ldots + a_3x^3 - 19xp(x)=x19+a17x17+…+a3x3−19x has a notable classical form, considering symmetry or factorization for multiple irreducible components.

To ensure p(x)p(x)p(x) has three or more irreducible components, I’m considering the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into at least three irreducible factors in C[x,y]\mathbb{C}[x,y]C[x,y].

I'm working through x19−y19x^{19} - y^{19}x19−y19 to ensure it balances linear and nonlinear factors, aiming for a polynomial with at least three irreducible components that aren't all linear.

Taking a closer look at how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) can be factored into three distinct polynomials in xxx, aiming to achieve the desired irreducible components.

I'm thinking about how composing ppp with simpler polynomials, like xm−cx^m - cxm−c, could result in multiple irreducible components, achieving at least three distinct factors.

I’m exploring the factorization of p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with cyclotomic polynomials. This method generates nnn linear irreducible factors, which might not achieve the required three distinct components.

I'm focusing on constructing an "odd" and monic polynomial, ensuring all exponents are odd and the leading term is x19x^{19}x19. This approach aims to achieve the desired factorization.

I'm working with the Chebyshev polynomials to ensure p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) has at least three irreducible components, leveraging their even or odd properties to manage coefficients.

Considering the odd Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) for potential factorization, while also examining composite polynomials of lower degrees to enhance factorization properties.

I'm analyzing how a polynomial composed of lower-degree polynomials, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, could yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components.

Piecing together polynomials with integer coefficients, like (x3−3x)k(x^3 - 3x)^k(x3−3x)k, to achieve factorization in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with at least three irreducible components, aiming for degree 19.

I’m examining how p(x)=(x3−3x)kp(x) = (x^3 - 3x)^kp(x)=(x3−3x)k or p(x)=x19−19xp(x) = x^19 - 19xp(x)=x19−19x might yield p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) with three irreducible components, focusing on ensuring the polynomial is of degree 19.

I’m analyzing p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) into (x−y)(x18+x17y+…+y18−19)(x-y)(x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19)(x−y)(x18+x17y+…+y18−19) to identify irreducible components. The polynomial factor x18+x17y+…+y18−19x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18} - 19x18+x17y+…+y18−19 remains challenging to factor further.

I’m thinking through a new approach: adjusting the Chebyshev polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) to make it monic, aiming to achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

OK, let's think through. I’m tweaking T19(x)T_{19}(x)T19(x)'s coefficients to keep the polynomial monic and check if it simplifies into multiple irreducible components.

I'm thinking over various factorization strategies for a monic polynomial of degree 19. The goal is to ensure at least one non-linear factor and achieve at least three irreducible components in p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y).

I’m updating my approach to factor x2+xy+y2−1x^2 + xy + y^2 - 1x2+xy+y2−1 over complex numbers by exploring change of variables and third roots of unity. This helps in achieving the desired polynomial structure.

I'm combining x3−xx^3 - xx3−x with x19−19xx^{19} - 19xx19−19x to tweak the polynomial's coefficients and complexity, aiming to include more non-linear factors for the desired irreducibility.

Piecing together p(x)=x19−x3−19xp(x) = x^{19} - x^3 - 19xp(x)=x19−x3−19x to ensure it’s odd, monic, and has the required linear coefficient. This targets the desired irreducible factorizations.

I’m mapping out the second factor x18+…+y18−x2−xy−y2−19x^{18} + \ldots + y^{18} - x^2 - xy - y^2 - 19x18+…+y18−x2−xy−y2−19 to see if it can split into three irreducible components.

I’m considering methods to factorize the polynomial by making it divisible by x−yx - yx−y and ensuring the remaining factor splits into exactly two irreducible components, aiming for a less complex factorization.

I’m examining the polynomial x18+x17y+…+y18x^{18} + x^{17}y + \ldots + y^{18}x18+x17y+…+y18 and noting it simplifies to x19−y19x−y\frac{x^{19} - y^{19}}{x - y}x−yx19−y19, which might reveal further irreducible factors.

I’m mapping out the polynomial x(x18−1)−y(y18−1)x−y\frac{x(x^{18}-1) - y(y^{18}-1)}{x-y}x−yx(x18−1)−y(y18−1) for further factorization. This might yield just two irreducible components, which falls short of three.

I’m exploring whether the polynomial p(x)=x19−(x3)p(x) = x^19 - (x^3)p(x)=x19−(x3) can be expressed as the composition of a smaller polynomial with xkx^kxk, potentially revealing multiple irreducible components.

I'm examining if the polynomial T19(x)T_{19}(x)T19(x) can be factored using trigonometric identities, seeking partial factorization without fully linearizing, to gain multiple irreducible components.

OK, let me see. Trigonometric identities show multiple solutions for θ\thetaθ and ϕ\phiϕ, likely leading to 19 or 38 linear factors for T19(x)T_{19}(x)T19(x).

I’m examining how the equation arccos⁡x=±arccos⁡y+2kπ19\arccos x = \pm \arccos y + \frac{2k\pi}{19}arccosx=±arccosy+192kπ leads to possible multiple branches, potentially irreducible in the algebraic sense, and needing an example with at least three non-linear irreducible components.

OK, let me see. I’m pulling together details on the polynomial x3(x2−1)8+xx^3 (x^2 - 1)^8 + xx3(x2−1)8+x. It’s monic, with x19x^{19}x19 as the leading term, ensuring it meets key criteria.

I’m noting that the polynomial p(x)=x3(x2−1)8+xp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + xp(x)=x3(x2−1)8+x is odd, with its linear coefficient patterning to -19.

I’m figuring out how to adjust the linear coefficient of polynomial p(x)p(x)p(x) to -19 by adding a constant factor ccc in front of xxx to ensure it’s adequately modified.

By tweaking the linear coefficient of p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to -19, it ensures the polynomial remains monic, odd, and real.

I’m working on adding a constant factor ccc to xxx in p(x)=x3(x2−1)8+cxp(x) = x^3 (x^2 - 1)^8 + c xp(x)=x3(x2−1)8+cx to ensure the linear coefficient is -19, making the polynomial monic, odd, and real.

I'm piecing together the polynomial p(x)=x3(x−1)8(x+1)8p(x) = x^3 (x-1)^8 (x+1)^8p(x)=x3(x−1)8(x+1)8 and considering how p(x)−p(y)p(x) - p(y)p(x)−p(y) might factor with factors like x−yx-yx−y.

I’m confirming p(x)p(x)p(x) is monic, odd, and real, with a linear coefficient of -19, by expanding x3(x2−1)8x^3 (x^2 -1)^8x3(x2−1)8 to set the constant ccc.

I found that for p(x) to have a coefficient of -19 for the x term, c must be -19. The polynomial, p(x), incorporates this constant and preserves the original polynomial's structure.

Below is one concrete example (over the reals) of an odd, monic, degree 19 polynomial with linear coefficient $-19$ whose zero-locus relation $\{\,p(x)=p(y)\,\}\ \text{in }\mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$ splits into at least three irreducible components (and not all components are linear). We then compute $p(19)$ .

1. The polynomial

Consider

$p(x) \;=\; x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;-\; 19x.$

We can expand

$x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8} \;=\; x^{19}\;-\;8x^{17}\;+\;28x^{15}\;-\;56x^{13}\;+\;70x^{11} \;-\;56x^{9}\;+\;28x^{7}\;-\;8x^{5}\;+\;x^{3}.$

Hence

$p(x) \;=\; x^{19} \;-\; 8x^{17} \;+\; 28x^{15} \;-\; 56x^{13} \;+\; 70x^{11} \;-\; 56x^{9} \;+\; 28x^{7} \;-\; 8x^{5} \;+\; x^{3} \;-\; 19x.$

Checking the required properties

Degree 19, monic:
The leading term is $x^{19}$ with coefficient $1$ .

Odd polynomial:
All exponents are odd $\bigl(19,\,17,\,\ldots,\,3,\,1\bigr),$ and the constant term is $0$ . Indeed,

$p(-x) \;=\; -\,p(x),$

which makes $p$ an odd polynomial.

Real coefficients:
All coefficients are real integers.

Linear coefficient $-19$ :
The coefficient of $x$ is clearly $-19$ .

At least three irreducible components, not all linear:
Over $\mathbb{C}$ , the locus

$X \;=\; \bigl\{\, (x,y) : p(x)=p(y) \,\bigr\} \;\subset\; \mathbb{P}^{1}\times\mathbb{P}^{1}$

factors in part because $p(x)$ has (for instance) the repeated factors $\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ in the big piece $x^{3}\,\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}$ . One sees that $\{\,p(x)=p(y)\,\}$ contains (at least) the divisor $${x=y\}$$ plus further factors coming from the roots $x = 0 \;\text{or}\; x = \pm 1,$ ensuring multiple irreducible components (and not all of them are hyperplanes).

2. Computing $p(19)$

A direct substitution $x=19$ gives a large integer. Symbolic expansion or a computer algebra system yields

$p(19) \;=\; 1934999285524070399999639.$

Hence the required value is

\boxed{\,p(19) \;=\; 1934999285524070399999639\,}. \] :contentReference[oaicite:0]{index=0}

OpenAI o3 svarer korrekt uden at bruge søgning, mens o1 ikke kan give et korrekt svar.

Avanceret omkostningseffektiv tænkning

Pris vs. præstation: o3‑mini og o4-mini

AIME-evalueringer af OpenAI o3-mini og o4-mini

GPQA-evalueringer af OpenAI o3-mini og o4-mini

Pris vs. præstation: o1 og o3

OpenAI o3 og o4-mini er de mest intelligente modeller, vi nogensinde har udgivet, og de er også meget mere effektive end deres forgængere, OpenAI o1 og o3‑mini. F.eks. i 2025 AIME-matematikkonkurrencen var forholdet mellem pris-præstation væsentlig forbedret for o3 sammenlignet med o1, og på samme måde forbedrer o4-mini forholdet tydeligt sammenlignet med o3‑mini. Mere generelt forventer vi, at når de bruges i det virkelige liv, så vil både o3 og o4-mini være både smartere og billigere end henholdsvis o1 og o3‑mini.

Sikkerhed

Hver forbedring i modellens funktioner kræver tilsvarende forbedringer af sikkerheden. For OpenAI o3 og o4-mini har vi helt ombygget vores sikkerhedstræningsdata og tilføjet nye afvisningsprompts inden for områder som f.eks. biologiske trusler (biorisiko), generering af malware og jailbreaks. Disse opdaterede data har medført, at o3 og o4-mini opnår kraftig ydeevne på vores interne benchmarks for afvisning (f.eks. instruktionshierarki⁠, jailbreaks). Udover kraftig ydeevne inden for modelafvisninger har vi også udviklet afbødende foranstaltninger på systemniveau for at markere farlige forespørgsler inden for nye risikoområder. På samme måde som vores tidligere arbejde i forbindelse med billedgenerering⁠ har vi trænet en LLM-monitor med avanceret tænkning, som arbejder ud fra sikkerhedsspecifikationer, som mennesker kan skrive og fortolke. Ved anvendelse af monitoren på biorisiko markerede den ~99 % af samtaler korrekt i vores menneskelige red teaming-kampagne.

Vi har stresstestet begge modeller med vores til dato mest omfattende sikkerhedsprogram. I overensstemmelse med vores opdaterede beredskabsramme⁠ har vi evalueret o3 og o4-mini på tværs af tre sporede funktionsområder, der er dækket af rammen: biologiske og kemiske trusler, cybersikkerhed og AI-selvforbedring. Baseret på resultaterne af disse evalueringer har vi fastslået, at både o3 og o4‑mini forbliver under rammens "høje" tærskel i alle tre kategorier. Vi har offentliggjort de detaljerede resultater fra evalueringerne i det medfølgende systemkort⁠.⁠

Codex CLI: ny avanceret tænkning i terminalen

Vi deler også et nyt eksperiment: Codex CLI, en simpel kodningsagent, du kan køre fra din terminal. Den fungerer direkte på din computer og er designet til at maksimere ræsonnementsfunktionerne i modeller som f.eks. o3 og o4-mini med kommende understøttelse for yderligere API-modeller som f.eks. GPT‑4.1⁠.

Du kan få fordelene af multimodal avanceret tænkning fra kommandolinjen ved at give modellen skærmbilleder eller skitser med lav opløsning kombineret med adgang til din kode lokalt. Vi ser det som en minimal grænseflade til at forbinde vores modeller til brugere og deres computere. Codex CLI er helt open-source på github.com/openai/codex⁠(åbner i et nyt vindue) i dag.

Vi er også ved at lancere et initiativ til 1 million USD til at støtte projekter, der bruger Codex CLI og OpenAI-modeller. Vi vil evaluere og acceptere ansøgninger om tilskud i trin på 25.000 USD i form af API-kreditter. Forslag kan indsendes her.

Adgang

ChatGPT Plus-, Pro- og Team-brugere vil se o3, o4-mini og o4-mini-high i modelvælgeren fra og med i dag, som erstatter o1, o3‑mini og o3‑mini‑high. ChatGPT Enterprise- og Edu-brugere vil få adgang om en uge. Free-brugere kan prøve o4-mini ved at vælge "Think" i skrivefeltet, før de indsender deres forespørgsel. Prisgrænser på tværs af alle planer forbliver uændrede fra det forrige sæt med modeller.

Vi forventer at udgive OpenAI o3‑pro inden for nogle få uger med fuld værktøjsunderstøttelse. Indtil da kan Pro-brugere stadig tilgå o1‑pro.

Både o3 og o4-mini er også tilgængelig for udviklere i dag via Chat Completions API og Responses API (nogle udviklere skal verificere deres organisationer⁠(åbner i et nyt vindue) for at få adgang til disse modeller). Responses API'en understøtter sammenfatninger af avanceret tænkning, muligheden for at beholde tokens for avanceret tænkning omkring funktionskald for bedre ydeevne, og vil snart understøtte indbyggede værktøjer som f.eks. internetsøgning, filsøgning og kodefortolker i modellens avanceret tænkning. For at komme i gang kan du udforske vores dokumenter⁠⁠(åbner i et nyt vindue) og følge med for flere opdateringer.

Kommende tiltag

Dagens opdateringer afspejler retningen for vores modeller: Vi samler de specialiserede funktioner inden for avanceret tænkning i o-serien med flere af de mere naturlige samtalefunktioner og værktøjsbrug i GPT‑serien. Ved at samle disse styrker vil vores fremtidige modeller understøtte problemfrie, naturlige samtaler sammen med proaktiv værktøjsbrug og avanceret problemløsning.

Opdatering 16. april: Resultater for o3 på Charxiv-r og Mathvista er blevet opdateret til at afspejle en ændring af systemprompt, der ikke var til stede i den oprindelige evaluering.

Genafspilning af livestream

Skrevet af

OpenAI

Fodnoter

* tau-bench-evalueringstallene er gennemsnittet af 5 kørsler for at reducere varians og er kørt uden nogen brugerdefinerede værktøjer eller forespørgsler. Vi fandt, at tau-bench-udrulninger til detailhandlen er mere tilføjelige til brugermodelfejl. Tallene for den skraverede søjle er kørt med GPT-4.1 som brugermodel, fordi den er væsentlig bedre end GPT-4o til at følge instruktioner.

* SWE-bench bruger en kontekstlængde på maks. 256.000, hvilket forbedrer løsningsraten for o4-mini med cirka 3 % og påvirker o3’s løsningsrate med <1 %. Vi udelukker også 23 prøver, der ikke kan køres på vores interne infrastruktur.

** Når browsing aktiveres, kan modellen somme tider finde nøjagtige svar online f.eks. ved at læse blogopslag med prøveproblemer fra et datasæt. For at modellen ikke snyder under browsingen, bruger vi to strategier:

Vi har blokeret domæner, hvorfra vi tidligere har observeret, at modellen snyder.
Vi har brugt en ræsonneringsmodel som en monitor til at undersøge alle tokens i hvert forsøg for at identificere mistænkelig adfærd. Mistænkelig adfærd er defineret som "en side, en fil eller et uddrag, hvis hovedformål er at give det nøjagtige svar på dette specifikke spørgsmål, f.eks. en officiel bedømmelsesnøgle, lækkede "løsninger" eller en debat, som citerer svaret ordret". Godartet adfærd er defineret som "enhver autoritativ ressource, en omhyggelig person kan konsultere (dokumentation, manualer, videnskabelige afhandlinger, anerkendte artikler), selv om den tilfældigvis indeholder det korrekte svar". Alle forsøg, hvor monitoren skønnede resultatet som mistænkeligt, blev medregnet som forkerte. De fleste prøver, der ikke bestod denne kontrol, var problemer, hvis præcise løsning var tilgængelig på flere forskellige internetkilder urelateret til HLE.

Endelig er det muligt, at vores evalueringer med browsing muligvis ikke er helt reproducerbare i OpenAI's API på grund af en forskel i søgemaskine-backends mellem ChatGPT og OpenAI's API. Disse resultater er beregnet til at være repræsentative for ChatGPT-brugeroplevelsen, men afhængig af efterspørgsel kan søgekonfigurationen ændres med tiden.

Contributors

Aaditya Singh, Aaron Schlesinger, Adam Fry, Adam Lerer, Adam Perelman, Adam Walker, Ahmed El-Kishky, Aidan Clark, Aidan McLaughlin, Aiden Low, Akila Welihinda, Akshay Nathan, Aleksander Madry, Aleksandra Spyra, Alex Karpenko, Alex Neitz, Alex Tachard Passos, Alex Wei, Alexander Prokofiev, Alexander Zielenski, Alexandra Barr, Alexey Ivanov, Alexi Christakis, Alfred Xue, Allison Tam, Ally Bennett, Ally Bennett , Amelia Liu, Amy McDonald Sandjideh, Ananya Kumar, Andre Saraiva, Andrea Vallone, Andrew Chen, Andrew Duberstein, Andrew Gibiansky, Andrew Kondrich, Andrew Tulloch, Andrey Mishchenko, Andy Applebaum, Andy Wang, Angela Baek, Annie Wei, Anting Shen, Antoine Pelisse, Anuj Saharan, Arun Vijayvergiya, Ashley Tyra, Ashvin Nair, Avi Nayak, Avital Oliver, Behrooz Ghorbani, Belinda Truong, Ben Sokolowsky, Beth Hoover, Bo Xu, Boaz Barak, Bohan Zhang, Borys Minaiev, Botao Hao, Bowen Baker, Bowen Cheng, Brandon McKinzie, Brandon Wang, Brian Hsu, Brian Yang, Brian Yu, Brian Zhang, Camillo Lugaresi, Carolina Paz, Carpus Chang, Cary Bassin , Cary Hudson, Casey Chu, Chak Li, Charles Zhao, Charlie Jatt, Charlotte Cole, Chelsea Voss, Chen Shen, Chengxu Zhuang, Chris Colby, Chris Hallacy , Chris Koch, Christina Kaplan, Christina Kim, Colin Reid, Colin Wei, Cristina Scheau, D. Sculley, Damien Deville, Dan Roberts, Dana Palmie, Dane Stuckey, Daniel Levine, David Hu, David Martin, David Robinson, David Sasaki, Davis Wu, Derek Chen, Dibya Bhattacharjee, Dimitris Tsipras, Dinghua Li, DJ Strouse, dmed Medina, Drew Hintz, Eddie Zhang, Edmund Wong, Elaine Ya Le, Eli Yani , Elizabeth Proehl, Emily Sokolova, Enoch Cheung, Eri Schwartz, Eric Mitchell, Eric Ning, Eric Sigler, Eric Wallace, Eugenio Panero, Evan Mays, Evgenii Nikishin, Fan Wang, Fangyuan Li, Filippo Raso, Foivos Tsimpourlas, Fouad Matin, Francis Song, Francis Zhang, Gary Yang, Gene Oden, Giambattista Parascandolo, Gildas Chabot, Grace Kim, Grace Zhao, Greg Brockman, Gregory Valiant, Guillaume Leclerc, Hadi Salman, Haitang Hu, Hannah Sheahan, Hao Sheng, Haoyu Wang, Henrique Ponde de Oliveira Pinto, Henry Aspegren, Heqing Yan, Hessam Bagherinezhad, Hongyu Ren, Hunter Lightman, Hyeonwoo Noh, Ian Kivlichan, Ian Sohl, Ignasi Clavera, Ikai Lan, Ilge Akkaya, Ilya Kostrikov, Irina Kofman, Isa Fulford, Jake Brill, Jakub Pachocki, James Betker, James Lee, James Qin, Jamie Kiros, Jason Ai, Jay Wang, Jean Harb, Jeff Mickey, Jeffrey Han, Jeffrey Wang, Jeremy Chen, Jerry Tworek, Jessica Liang, Jessica Shieh, Ji Lin, Jiahui Yu, Jianfeng Wang, Jie Tang, Jihan Yin, Jing Li, Joanne Jang, Joel Morris, Johannes Ferstad, Johannes Heidecke, John Fishbein, Jon Okun, Jonathan Gordon, Joost Huizinga, Jos Kraaijeveld, Joseph Mo, Josh Lawson , Josh Tobin, Junhua Mao, Kai Chen, Kai Hayashi, Karan Singhal, Karina Nguyen, Katy Shi, Kelly Stirman, Kenji Hata, Kenny Nguyen, Keren Gu-Lemberg, Kevin Gladstone, Kevin King, Kevin Liu, Kevin Lu, Kevin Park, Kevin Stone, Kevin Weil, Kevin Whinnery, Kevin Yu, Kote Mushegiani, Kristen Ying, Kristian Georgiev, Kshitij Gupta, Kyle Kosic, Lama Ahmad, Larry Lv, Lauren Itow, Lauren Yang, Lee Byron, Leo Chen, Leo Liu, Leon Maksin, Leyton Ho, Li Jing, Liang Xiong, Lin Yang, Linden Li, Lorenz Kuhn, Louis Feuvrier, Lu Zhang, Łukasz Kaiser, Mahmoud Eariby, Maja Trębacz, Manas Joglekar, Manoli Liodakis, Manuka Stratta, Mark Chen, Mark Hudnall, Mark Sun, Mark Wang, Martin Li, Marvin Zhang, Mateusz Litwin, Matt Jones, Matt Lim, Max Johnson, Max Schwarzer, Mayank Gupta, Meghan Shah, Mengqing Wang, Mengyuan Yan, Mia Glaese, Michael Bolin, Michael Lampe, Michael Malek, Michael Sharman, Michael Zhang, Michele Wang, Michelle Pokrass, Miguel Oom Temudo de Castro, Mihai Florian, Mike McClay, Mike Trpcic, Miki Habryn, Miles Wang, Ming Chen, Mingxuan Wang, Minnia Feng, Mitchell Gordon, Mo Bavarian, Mostafa Rohaninejad, Nacho Soto, Nakul Khanna, Nat McAleese, Natalie Staudacher, Natan LaFontaine, Neel Ajjarapu, Nick Felt, Nick Turley, Nikil Pancha, Nikita Mikhaylin, Niko Felix, Nikunj Handa, Ning Liu, Nishant Rai, Noah Jorgensen, Noam Brown, Oleg Boiko, Oleg Murk, Olivia Watkins, Olivier Godement, Oona Gleeson, Paul Ashbourne, Pavel Belov, Peter Flockhart, Peter Hoeschele, Peter Zhokhov, Philip Pronin, Phillip Guo, Phoebe Thacker, Prafulla Dhariwal, Prashanth R, Rachel Dias, Rahul Arora, Rajkumar Samuel, Rasmus Rygaard, Ravi Teja Mullapudi, Raymond Li, Raz Gaon, Reah Miyara, Reiichiro Nakano, Reimar Leike, Rennie Song, Rhythm Garg, RJ Marsan, Robert Xiong, Robin Brown, Roman Tsiupa, Rui Shu, Ruslan Nigmatullin, Saachi Jain, Saagar Patel, Sam Altman, Sam Toizer, Sam Toyer, Samir Ahmed, Samuel Miserendino, Samuel Wolrich , Sandhini Agarwal, Santiago Hernández, Sarah Dong, Savannah Heon, Scott Ethersmith, Scott Mayer McKinney, Sean Fitzgerald, Sever Banesiu, Shamez Hemani, Shengjia Zhao, Shengli Hu, Shibani Santurkar, Shreyas Krishnaswamy, Shuchao Bi, Shunyu Yao, Shuyuan Zhang, Simón Posada Fishman, Spencer Papay, Spug Golden, Srinivas Narayanan, Stanley Hsieh, Stephen Logsdon, Sundeep Tirumalareddy, Tal Stramer, Tao Wang, Tao Xin, Taylor Gordon, Tejal Patwardhan, Thibault Sottiaux, Tina Sriskandarajah, Tony Casparro, Tony Zhao, Trapit Bansal, Trevor Creech, Uzair Navid Iftikhar, Valerie Qi, Vineet Kosaraju, Vishal Kuo, Vitchyr Pong, Vivek Verma, Vlad Petrov, Wenda Zhou, Wenlei Xie, Wenting Zhan, Will DePue, Will Ellsworth, William Sheu, Wyatt Thompson, Yaming Lin, Yann Dubois, Yaodong Yu, Yara Khakbaz, Yash Patil, Yifan Wu, Yilong Qin, Yining Chen, Yirui Zhang, Yo Shavit , Young Cha, Yunyun Wang, Yushi Wang, Zack Sultan, Zehao Dou, Zewei Chu, Zheng Shao, Zhigang Wang, Zhishuai Zhang, Zihao Zhang