গণিত ও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে দশটি অগ্রগতি

আমরা বিজ্ঞানী ও গণিতবিদদের এমন সরঞ্জাম দিয়ে সক্ষম করতে চাই, যা আবিষ্কারকে ত্বরান্বিত করে. এ কারণেই আমরা সম্প্রতি একাডেমিক গবেষকদের জন্য ChatGPT⁠ ঘোষণা করেছি, এমন একটি উদ্যোগ যার মাধ্যমে 1,00,000 বিজ্ঞানী ও গণিতবিদকে আমাদের সেরা ChatGPT মডেলগুলোতে বিনামূল্যে প্রবেশাধিকার দেওয়া হচ্ছে. উন্নয়ন চলাকালে আমরা উন্মুক্ত গবেষণা সমস্যার ওপর আমাদের মডেলগুলোর মূল্যায়নও অব্যাহত রেখেছি.

মে মাসে, আমরা Erdős unit-distance conjecture-এর একটি কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা-উৎপন্ন খণ্ডন⁠ শেয়ার করেছি, যা অপ্রকাশিত একটি মডেল মূল্যায়নের সময় আবিষ্কৃত হয়েছিল. এই কাজ ইতিমধ্যেই গণিত ও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে আরও অগ্রগতির অনুপ্রেরণা দিয়েছে¹. আজ আমরা দশটি ফলাফলের একটি নির্বাচন শেয়ার করছি, যার প্রতিটিই দীর্ঘদিনের কোনো উন্মুক্ত সমস্যার সমাধান করেছে বা তাতে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি এনেছে. এই সমস্যাগুলো উচ্চ-মাত্রিক জ্যামিতি, কোডিং তত্ত্ব, অ্যারিথমেটিক সার্কিট কমপ্লেক্সিটি, গ্রুপ তত্ত্ব, অপারেটর বীজগণিত, কোয়ান্টাম কমপ্লেক্সিটি, ল্যাটিস ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং এক্সট্রিমাল কম্বিনেটরিক্স জুড়ে বিস্তৃত. এই সব সমস্যাই তাদের নিজ নিজ গাণিতিক সম্প্রদায়ের কাছে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, এবং কয়েকটি সামগ্রিকভাবে গণিতজুড়ে ব্যাপক আগ্রহের বিষয়.

নিম্নলিখিত সমস্যাগুলোর জন্য আমরা নতুন ফলাফল দিচ্ছি. ফলাফলগুলো অর্জন করেছে Astra-এর একটি অভ্যন্তরীণ সংস্করণ, যা আমাদের পরবর্তী বড় মডেল. এই সমস্যাগুলোর সমাধান খুঁজতে যত টোকেন দরকার হয়েছে, Sol API-এর দরে তার খরচ আনুমানিক 2,000 ডলার. এরপর একই মডেলের সহায়তায় মানুষ এসব যুক্তি পাণ্ডুলিপি হিসেবে প্রস্তুত করেছে. পরে মডেলটি প্রতিটি যুক্তিকে একটি Lean certificate⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে)-এ ফরমালাইজ করেছে. প্রতিটি সমাধানের জন্য মডেলটির চিন্তাপ্রক্রিয়ার বর্ণনাও আমরা প্রকাশ করছি.

1. উচ্চ-মাত্রিক গোলক প্যাকিং. গোলক-প্যাকিং ঘনত্বের জন্য Cohn–Elkies সীমা পর্যন্ত নতুন ঊর্ধ্বসীমা.
2. বাইনারি ও স্ফেরিক্যাল কোড: নির্দিষ্ট যেকোনো ন্যূনতম দূরত্বে বাইনারি কোডের সর্বোচ্চ আকারের ওপর সূচকীয়ভাবে উন্নত সীমা, এবং উচ্চ-মাত্রিক স্ফেরিক্যাল কোডের জন্য অনুরূপ ফলাফল.
3. নন-সোফিক গ্রুপ. নন-সোফিক গ্রুপের অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠা করে এমন একটি নির্মাণ, যা গ্রুপ তত্ত্বের একটি কেন্দ্রীয় উন্মুক্ত প্রশ্নের উত্তর দেয়.
4. Connes-এর rigidity conjecture. দীর্ঘদিনের একটি conjecture-এর খণ্ডন, যেখানে বলা হয়েছিল নির্দিষ্ট কিছু গ্রুপ তাদের von Neumann algebra দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়.
5. অ্যারিথমেটিক সার্কিট কমপ্লেক্সিটি. অ্যারিথমেটিক সার্কিট ও সূত্র ব্যবহার করে permanent গণনার জন্য নতুন নিম্নসীমা, যার মধ্যে n⁴/log n ক্রমের একটি অ্যারিথমেটিক-সূত্র নিম্নসীমা রয়েছে.
6. কোয়ান্টাম প্যারালাল রিপিটিশন. সাধারণ দুই-খেলোয়াড় কোয়ান্টাম গেমের জন্য একটি সূচকীয় প্যারালাল রিপিটিশন উপপাদ্য, যা ধ্রুপদি কমপ্লেক্সিটি তত্ত্বের একটি ভিত্তিগত নীতিকে সম্প্রসারিত করে.
7. Closest vector problem. closest vector problem-এর আনুমানিক সমাধানের polynomial-factor hardness, যা post-quantum cryptography-সম্পর্কিত একটি ভিত্তিগত ল্যাটিস প্রশ্ন.
8. Ehrhart-এর আয়তন conjecture. প্রতিটি মাত্রায় এমন একটি উত্তল বস্তুর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য আয়তন নির্ধারণ, যার centroid-ই তার একমাত্র অভ্যন্তরীণ ল্যাটিস বিন্দু.
9. মাল্টিকালার Ramsey সংখ্যা. মাল্টিকালার triangle Ramsey সংখ্যার জন্য একটি সুপারএক্সপোনেনশিয়াল নিম্নসীমা, যা Erdős problem 183-এর সমাধান করে.
10. Extremal number conjectures. এক্সট্রিমাল গ্রাফ তত্ত্বে compactness ও degeneracy conjecture নিয়ে ফলাফল, যা Erdős problem 146 ও 180-এর সমাধান করে.

গাণিতিক গবেষণায় অবদান রাখতে সক্ষম সিস্টেমের আবির্ভাব এমন প্রশ্ন তোলে, যেগুলোর উত্তর কোনো প্রযুক্তি কোম্পানি একা দিতে পারে না. গণিতে কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার ভূমিকা নিয়ে নানা মত রয়েছে, এবং এর প্রভাব নিয়ে যারা উদ্বিগ্ন, কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা ও গণিত বিষয়ে Leiden declaration⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে)-এর স্বাক্ষরকারীদেরসহ তাদের সবার প্রতি আমাদের গভীর শ্রদ্ধা ও সহমর্মিতা রয়েছে. আমরা বিশ্বাস করি, কোনো ফল কীভাবে তৈরি হয়েছে তা অ্যাট্রিবিউশনে সৎভাবে প্রতিফলিত হওয়া উচিত: সম্পূর্ণভাবে কোনো কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা সিস্টেমের তৈরি প্রমাণকে মানুষের রচনা বলে দাবি করলে সিস্টেমটির অবদান এবং প্রকৃত মানবিক বৌদ্ধিক কাজের স্বরূপ—দুটিই ভুলভাবে উপস্থাপিত হয়. আমরা পাণ্ডুলিপি প্রস্তুত করতে এবং Lean-এ প্রমাণগুলো ফরমালাইজ করতে সাহায্য করেছি, এবং সেগুলোর শুদ্ধতার দায়িত্ব নিচ্ছি; তবে গাণিতিক যুক্তিগুলো আমাদের সিস্টেমই তৈরি করেছে. আমরা আশা করি, গাণিতিক সম্প্রদায় এই ফলাফলগুলো নিয়ে গভীরভাবে কাজ করবে, সেগুলোকে প্রাসঙ্গিক অবস্থানে বসাবে, এবং এগুলোর অন্তর্নিহিত ধারণাগুলোকে নতুন গবেষণা ও আবিষ্কারের মাধ্যমে জীবন্ত করে তুলবে.

কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা সিস্টেম আরও পরিশীলিত গবেষণা-সহযোগীতে পরিণত হওয়ার সঙ্গে সঙ্গে, এই রূপান্তরমূলক যুগে বিজ্ঞানী ও গণিতবিদরা যখন নিজেদের শাস্ত্রের ভবিষ্যৎ নির্ধারণ ও পথনির্দেশ করছেন, তখন তাদের সহায়তা করতে বিস্তৃত প্রবেশাধিকার নিশ্চিত করা মৌলিকভাবে জরুরি.