Navier–Stokes মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যা নিয়ে

আমরা মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যাগুলোর একটি, Navier–Stokes অস্তিত্ব ও মসৃণতা সমস্যার একটি সমাধান শেয়ার করছি. OpenAI-এর অভ্যন্তরীণ সিস্টেমে তৈরি এই প্রমাণ দেখায় যে তরল গতির Navier–Stokes সমীকরণের গতিবিদ্যা সসীম সময়ে একটি সিংগুলারিটি তৈরি করতে পারে. আমরা প্রমাণটির লিখিত বিবরণ এবং Lean-এ এর ফরমালাইজেশন দুটিই শেয়ার করছি.

মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যাগুলো⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে) গণিতের অত্যাধুনিক সীমানার কিছু গভীরতম প্রশ্নকে প্রতিনিধিত্ব করে. মসৃণ ত্রিমাত্রিক তরল গতি ভেঙে পড়তে পারে কি না, এই প্রশ্ন প্রায় 90 বছর ধরে অমীমাংসিত ছিল.

আমাদের কাজের একটি প্রধান লক্ষ্য হলো বিজ্ঞানীদের এমন গবেষণা ও প্রযুক্তি এগিয়ে নিতে সক্ষম করা, যা সমগ্র মানবতার উপকারে আসে. Navier–Stokes সমস্যা সমাধানে আমরা এমন একটি অভ্যন্তরীণ মডেল ব্যবহার করেছি, যা GPT‑6 Astra-এর তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি সক্ষম. আমরা মনে করি, AI অগ্রগতির গতি এবং আসন্ন মডেলগুলো থেকে কী আশা করা যায় সে বিষয়ে বিশ্বকে জানানো গুরুত্বপূর্ণ.

Navier–Stokes সমীকরণ তরল কীভাবে চলে তা বর্ণনা করতে Newton-এর গতির দ্বিতীয় সূত্র (“F=ma”) ব্যবহার করে. গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, এগুলো পৃথক অণু অনুসরণ না করে তরলকে একটি অবিচ্ছিন্ন মাধ্যম হিসেবে ধরে. এই সমীকরণগুলো উড়োজাহাজ নকশা, আবহাওয়া পূর্বাভাস এবং রক্তপ্রবাহের গবেষণায় ব্যবহৃত হয়.

এই গতিশীল সমীকরণগুলোর ক্ষেত্রে একটি মৌলিক উন্মুক্ত প্রশ্ন ছিল, তরলের ধারাবাহিকতা-অনুমান ভেঙে পড়তে পারে কি না. নির্দিষ্টভাবে, ধ্রুব ঘনত্বের ত্রিমাত্রিক অসংকোচনীয় তরলের Navier–Stokes সমীকরণ কি একটি “সিংগুলারিটি” তৈরি করতে পারে, এমনকি গতি মসৃণভাবে শুরু হলেও? এখানে সিংগুলারিটি বলতে বোঝায়, গতিবিদ্যার ফলে সসীম সময়ের মধ্যে তরলের বেগ সীমাহীনভাবে বাড়তে থাকে. সান্দ্রতা থাকা সত্ত্বেও সিংগুলারিটি তৈরি হতে হবে, যদিও সান্দ্রতা সাধারণত গতিকে মসৃণ করে. বাস্তব কোনো তরল অসীম দ্রুত চলতে পারে না, তাই এটি দেখাবে যে সমীকরণগুলো যেভাবে তরলকে মডেল করে তা ভেঙে পড়ছে. এরপর সিস্টেমটির মডেলিং চালিয়ে যেতে হলে প্রতিটি কণার আচরণ আলাদাভাবে অনুসরণ করতে হবে.

এই সমীকরণগুলোর উৎস ঊনবিংশ শতকে Claude-Louis Navier ও George Gabriel Stokes-এর কাজে. 1934 সালে Jean Leray প্রমাণ করেন যে সাধারণীকৃত অর্থে সমাধানের অস্তিত্ব আছে, কিন্তু সেগুলো সব সময় মসৃণ থাকে কি না তা কেন্দ্রীয় অমীমাংসিত প্রশ্ন হয়ে ওঠে. 2000 সালে Clay Mathematics Institute Navier–Stokes অস্তিত্ব ও মসৃণতা সমস্যাকে সাতটি মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যার একটি হিসেবে ঘোষণা করে.

আমাদের সিস্টেম একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ এবং Lean ফরমালাইজেশন তৈরি করেছে, যা দেখায় যে শুরুতে স্থির ও মসৃণ একটি তরল সসীম সময়ে সিংগুলারিটি তৈরি করতে পারে. তরলটির ওপর একটি মসৃণ বল প্রয়োগ করা হয়, এবং স্থির অবস্থা থেকে সিংগুলারিটি গঠিত হওয়া পর্যন্ত পুরো গতিবিদ্যায় এর শক্তি সসীম থাকে. এটি মিলেনিয়াম প্রাইজের আনুষ্ঠানিক বিন্যাসে⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে) বিবৃতি “C” (এবং “D”)-কে প্রতিষ্ঠা করে Navier–Stokes মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যার সমাধান করে.

সমাধানটি একটি ঘূর্ণি—তরলের ঘুরতে থাকা পাক—যা ভেতরের দিকে সর্পিলভাবে এগোয় এবং স্প্যাগেটির মতো ক্রমে আরও লম্বা হয়. এই কেন্দ্রীয় অঞ্চলটি গতি বাড়ানোর সঙ্গে সঙ্গে এমনভাবে সঙ্কুচিত হয় যে পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র অনুযায়ী এর শক্তি তবু সসীম থাকে. প্রযুক্তিগত চ্যালেঞ্জ হলো, সমীকরণগুলোতে ভাঙনটি যেন তরলের নিজের গতির মাধ্যমে তৈরি হয়, যেমন আমাদের হাতে করে অসীম বল বসানোর মাধ্যমে নয়. আরও গাণিতিকভাবে বললে, Navier–Stokes সমীকরণে গতিকে বর্ণনা করা পদগুলো—ত্বরণ, চাপের গ্রেডিয়েন্ট, ভরবেগ স্থানান্তর, সান্দ্রতা—একদিকে বড় হতে হবে, আবার নির্দিষ্টভাবে একে অন্যকে বাতিলও করতে হবে. এই সূক্ষ্ম ভারসাম্যের ফলে তরলের বেগ সীমাহীনভাবে বাড়লেও বাহ্যিক বল মসৃণ থাকে.

28 আগস্ট থেকে আমরা একটি নতুন অভ্যন্তরীণ মডেল প্রশিক্ষণ দিচ্ছি, যা গণিতসহ আমাদের বেঞ্চমার্কগুলোতে নজিরবিহীন কর্মক্ষমতা দেখিয়েছে. এই মডেলের প্রশিক্ষণ এখনো চলছে এবং এর কর্মক্ষমতা ক্রমেই উন্নত হচ্ছে.

মঙ্গলবার, 1 সেপ্টেম্বর, আমরা গুজব শুনি যে দুটি মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যা সমাধান হয়েছে. এই গুজব এবং আমাদের অভ্যন্তরীণ মডেলের কর্মক্ষমতায় ধাপগত পরিবর্তন থেকে অনুপ্রাণিত হয়ে আমরা সব উন্মুক্ত মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যা এবং আরও কয়েকটি উচ্চ-প্রভাবের সমস্যায় সেটিকে মূল্যায়নের উদ্যোগ নিই.

আমরা আমাদের অভ্যন্তরীণ মডেলচালিত সমন্বয়কারী এজেন্টদের একটি সিস্টেম ব্যবহার করেছি. এজেন্টদের কাছে ইন্টারনেটের ক্যাশ করা সংস্করণ থেকে পড়া এবং কোড চালানোর মতো টুলের অ্যাক্সেস ছিল. এজেন্টদের এমন দলে ভাগ করা হয়েছিল, যেগুলোর দলের ভেতরে যোগাযোগ করার সক্ষমতা ছিল. দলগুলোর আকার ভিন্ন ছিল, এবং যে দলটি Navier–Stokes সমাধান তৈরি করেছিল তাতে প্রায় 10,000 সমসাময়িক এজেন্ট ছিল. আমরা সব সময় একই কঠোর সুরক্ষা ব্যবস্থা বজায় রেখেছি, যা পর্যবেক্ষণ ও বিচ্ছিন্নকরণসহ আমাদের সব অত্যাধুনিক মডেল মূল্যায়নে প্রয়োগ করি.

প্রতিটি সমস্যার জন্য আমরা এজেন্টদের বিভিন্ন দলকে সমস্যার বিবৃতির বিভিন্ন রূপ দিয়ে প্রম্পট করেছি, যাতে সমস্যাটির সব রূপ অন্তর্ভুক্ত হয়. Navier–Stokes সমস্যার জন্য আমরা আলাদা আলাদা এজেন্ট দলের কাছে সংস্করণ “A” ও “B” (Navier–Stokes সমস্যার বিশেষ রূপ, যা প্রমাণে পৌঁছাবে) এবং সংস্করণ “C” ও “D” (যা অপ্রমাণে পৌঁছাবে) প্রস্তাব করেছি.

পূর্ণ মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যাগুলোর পাশাপাশি আমরা আমাদের বহু-এজেন্ট সিস্টেমকে কিছু “সহজতর” সমস্যা চেষ্টা করতে বলেছিলাম. এই সমস্যাগুলোর একটি ছিল Navier–Stokes সমস্যার সেই সীমার জন্য অনুরূপ ব্লোআপ প্রশ্ন, যেখানে সান্দ্রতা পদটি সরিয়ে দেওয়া হয়েছে. এটি Euler সমীকরণের নিয়মিততা সমস্যা নামে পরিচিত, এবং আমাদের এজেন্টরা এই প্রশ্নের সমাধান করে আমাদের বিস্মিত করেছে. তারা যে নির্দিষ্ট রূপটি সমাধান করেছিল তা ছিল বলবিহীন সংস্করণ, যেখানে তরলের ওপর কোনো বাহ্যিক বল প্রয়োগ করা হয় না. প্রায় 100 এজেন্ট আনুমানিক 50 ঘণ্টা একসঙ্গে কাজ করে আমাদের Euler নিয়মিততার অপ্রমাণ তৈরি করেছে¹.

Euler সমাধানটি দেখার পর আমরা মনে করলাম, কাজ করার জন্য Navier–Stokes-ই সবচেয়ে সম্ভাবনাময় সমস্যা. তাই আমরা আমাদের সম্পদ Navier–Stokes-এ নিবেদিত করার সিদ্ধান্ত নিই. এ জন্য আমরা এজেন্টদের অন্য মিলেনিয়াম সমস্যাগুলো থেকে সরিয়ে এনে তাদের Euler সমাধান দিয়ে প্রম্পট করেছি. উদ্যোগ চলাকালে আমাদের অভ্যন্তরীণ মডেলের আরও প্রশিক্ষিত একটি সংস্করণ পাওয়া গেলে আমরা আমাদের এজেন্টদের সেই মডেলে আপডেট করি.

আমরা এজেন্টদের বিভিন্ন দলকে নানা ধরনের পদ্ধতি অনুসন্ধানে উৎসাহিত করেছি. কিছু সময় পর, প্রতিটি এজেন্ট দলের সবচেয়ে উপযোগী অন্তর্দৃষ্টি সংহত করতে Codex ব্যবহার করে আমরা এজেন্ট দলগুলোর মধ্যে ভাবনার আদানপ্রদান ঘটাই. এই পরবর্তী প্রম্পটগুলো এজেন্টদের নিজেদের মধ্যবর্তী ফলাফলের ওপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল. Navier–Stokes-এর সমাধান যে দলটি পেয়েছিল, তাকে এভাবেই দিকনির্দেশনা দেওয়া হয়েছিল.

প্রথম এজেন্ট চালু হওয়ার প্রায় 88 ঘণ্টা পরে, শনিবার 5 সেপ্টেম্বর, এজেন্টরা তাদের সমাধানে পৌঁছায়. Lean ফরমালাইজেশন ও যাচাইয়ে GPT‑6 Astra-এর মাধ্যমে আরও 17 ঘণ্টা লেগেছে.

চেষ্টা করা সব সমস্যাজুড়ে এজেন্টরা 4.9 মিলিয়ন বার্তা পাঠিয়েছে এবং প্রায় 300 বিলিয়ন আউটপুট টোকেন ব্যবহার করেছে. Navier–Stokes সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়ায় এজেন্টরা 2.7 মিলিয়ন বার্তা পাঠিয়েছে এবং প্রায় 130 বিলিয়ন আউটপুট টোকেন ব্যবহার করেছে.

আমাদের উদ্যোগ 1 সেপ্টেম্বর শুরু হয়, একটি গুজব শোনার পর; পরে আমরা বুঝতে পারি সেটি Anthropic-এর কর্মী Levent Alpöge এবং NYU-এর গণিত অধ্যাপক Tristan Buckmaster-এর সঙ্গে সম্পর্কিত ছিল.² আমাদের পূর্ণ প্রকল্প ও Lean যাচাই সম্পন্ন হওয়ার পর (6 সেপ্টেম্বর), গুজব থেকে মনে হয়েছিল তাদেরও Navier–Stokes-এর সমাধান আছে, তাই আমরা তাদের সঙ্গে যোগাযোগ করি আমাদের ফলাফল একসঙ্গে প্রকাশের প্রস্তাব দিতে এবং যৌথ ঘোষণায় তাদের অগ্রাধিকার স্বীকার করতে. সেই সময় আমরা জানতে পারি যে তারা Anthropic-এর একটি অভ্যন্তরীণ মডেল ব্যবহার করে বলপ্রয়োগসহ Euler সমস্যার সমাধান তৈরি করেছেন. এই আলোচনায় আমরা তাদের আমাদের ব্যবহৃত সব প্রম্পট দেখার সুযোগ এবং পরে প্রমাণটি দেখার সুযোগ দেওয়ার প্রস্তাব দিয়েছিলাম. বলপ্রয়োগসহ Euler নিয়ে তাদের কাজের অগ্রাধিকার আমরা স্বীকার করি এবং তাদের অসাধারণ গাণিতিক অর্জনের জন্য অভিনন্দন জানাই.

তারা জনসমক্ষে প্রকাশ করার আগে আমরা (গবেষকরা ও এজেন্টরা) কোনোভাবেই তাদের কাজ দেখিনি — বিশেষ করে, এই সমস্যা সমাধানের জন্য কোনো নির্দিষ্ট ব্যবহারকারীর ডেটায় প্রবেশ করা হয়নি.

একটি তদন্তের পর আমরা নিশ্চিত করেছি যে 8 সেপ্টেম্বর, 2026-এর এই ঘোষণা ও প্রবন্ধের আগের দুই মাসে Buckmaster-এর Codex প্রম্পটগুলো প্রশিক্ষণসহ কোনোভাবেই সিস্টেমকে প্রভাবিত করতে পারেনি. এই ফলাফলের জন্য ব্যবহৃত OpenAI-এর অভ্যন্তরীণ মডেলটি আগে প্রিট্রেইন করা একটি মডেলের ওপর বৃহৎ-পরিসরের রিইনফোর্সমেন্ট লার্নিংয়ের মাধ্যমে তৈরি করা হয়েছে. আমাদের প্রমাণগুলোও উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন. Euler-এর ক্ষেত্রে Alpöge ও Buckmaster বাহ্যিক বলসহ একটি ফলাফল প্রমাণ করেছেন, আর OpenAI-এর সিস্টেম বাহ্যিক বলবিহীন একটি ফলাফল প্রমাণ করেছে.

এই ফলাফল প্রকাশের উদ্দেশ্য হলো আমাদের AI মডেলগুলোর উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি সম্পর্কে জানানো. এই ফলাফলের জন্য আমরা মিলেনিয়াম প্রাইজ দাবি করতে চাই না.

এই মাইলফলক গণিতবিদ ও AI গবেষকদের উল্লেখযোগ্য কাজের প্রতিনিধিত্ব করে. তবে এটি কোনো চূড়ান্ত পরিণতি নয়; বরং AI উন্নয়নের অগ্রগতির একটি সময়চিত্র.

আমরা বিশ্বাস করি, আমরা এখন AI অগ্রগতির পরবর্তী পর্যায়ে আছি⁠, এবং আজকের ফলাফল এর আরও প্রমাণ দেয়. আমরা এই মডেলটি বোঝার ওপর মনোযোগ দিচ্ছি, এবং যা শিখছি তা ব্যবহার করে সক্ষমতার আরও অগ্রগতি কীভাবে অনুসরণ করব ও তার গতি কীভাবে ঠিক করব, তা নির্ধারণে সহায়তা নিচ্ছি. আমাদের মূল লক্ষ্যগুলোর⁠ একটি হলো এমন AI সিস্টেম তৈরি করা, যা পরিচালনাযোগ্য, জবাবদিহিমূলক এবং মানুষের সঙ্গে সংযুক্ত; AGI যেন সমগ্র মানবতার উপকারে আসে তা নিশ্চিত করার মিশন চালিয়ে যেতে যেতে অগ্রগতির গতি নিয়ে এতে আরও বিবেচিত সিদ্ধান্তের প্রয়োজন হতে পারে.