একটি OpenAI মডেল বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির একটি কেন্দ্রীয় অনুমানকে ভুল প্রমাণ করেছে

প্রায় ৮০ বছর ধরে, গণিতবিদরা একটি বিভ্রান্তিকরভাবে সহজ প্রশ্ন নিয়ে গবেষণা করেছেন: যদি আপনি সমতলে $n$টি বিন্দু বসান, তবে কত জোড়া বিন্দুর মধ্যে ঠিক $1$ দূরত্ব থাকতে পারে?

এটি সমতলীয় একক দূরত্ব সমস্যা, যা 1946 সালে Paul Erdős প্রথম উত্থাপন করেন. এটি সমাবেশিক জ্যামিতির সবচেয়ে পরিচিত প্রশ্নগুলোর একটি, বলা সহজ কিন্তু সমাধান করা অত্যন্ত কঠিন. ব্রাস, মোজার এবং প্যাকের লেখা 2005 সালের বই ‘রিসার্চ প্রবলেমস ইন ডিসক্রিট জিওমেট্রি’-তে এটিকে “সম্ভবত কম্বিনেটোরিয়াল জ্যামিতির সবচেয়ে পরিচিত (এবং ব্যাখ্যা করতে সবচেয়ে সহজ) সমস্যা” বলা হয়েছে. নোগা আলন, প্রিন্সটনের একজন প্রখ্যাত সমাবেশতত্ত্ববিদ, একে “Erdős-এর প্রিয় সমস্যাগুলোর একটি” বলে বর্ণনা করেন. Erdős এমনকি এই সমস্যার সমাধানের জন্য একটি আর্থিক পুরস্কারও ঘোষণা করেছিলেন.

আজ আমরা একক দূরত্ব সমস্যা নিয়ে একটি অগ্রগতি ভাগ করছি। এরদশের মূল কাজের পর থেকে প্রচলিত বিশ্বাস ছিল যে নিচে দেখানো “বর্গাকার গ্রিড” নির্মাণগুলো একক-দূরত্ব জোড়ার সংখ্যা সর্বাধিক করার ক্ষেত্রে মূলত সর্বোত্তম। একটি অভ্যন্তরীণ OpenAI মডেল এই দীর্ঘদিনের অনুমানকে ভুল প্রমাণ করেছে, এমন উদাহরণের একটি অসীম পরিবার দিয়েছে যা বহুপদী উন্নতি দেয়। প্রমাণটি বহিরাগত গণিতবিদদের একটি দল পরীক্ষা করেছেন। তাঁরা একটি সহযোগী প্রবন্ধও লিখেছেন, যেখানে যুক্তিটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে এবং ফলাফলের গুরুত্ব সম্পর্কে আরও পটভূমি ও প্রেক্ষাপট দেওয়া হয়েছে।

ফলাফলটি কীভাবে পাওয়া গেছে, সে কারণেও এটি উল্লেখযোগ্য। প্রমাণটি এসেছে একটি নতুন সাধারণ-উদ্দেশ্যযুক্ত রিজনিং মডেল থেকে, এমন কোনো সিস্টেম থেকে নয় যা বিশেষভাবে গণিতের জন্য প্রশিক্ষিত, প্রমাণ-কৌশল খুঁজতে কাঠামোবদ্ধ, বা বিশেষভাবে একক দূরত্ব সমস্যাকে লক্ষ্য করে তৈরি। উন্নত মডেলগুলো সীমান্তবর্তী গবেষণায় অবদান রাখতে পারে কি না তা পরীক্ষা করার বৃহত্তর প্রচেষ্টার অংশ হিসেবে, আমরা এটিকে এরদশ সমস্যার একটি সংগ্রহে মূল্যায়ন করেছি। এই ক্ষেত্রে, এটি উন্মুক্ত সমস্যাটির সমাধানকারী একটি প্রমাণ তৈরি করেছে।

এই প্রমাণ গণিত ও AI সম্প্রদায়ের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ মাইলফলক। এটি প্রথমবারের মতো দেখাল যে গণিতের একটি উপক্ষেত্রের কেন্দ্রীয়, বিশিষ্ট উন্মুক্ত সমস্যা AI স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমাধান করেছে। এটি আরও দেখায় যে এই সিস্টেমগুলো এখন কত গভীর রিজনিং সমর্থন করে। রিজনিং পরীক্ষার জন্য গণিত একটি বিশেষভাবে স্পষ্ট ক্ষেত্র: সমস্যাগুলো নির্ভুল, সম্ভাব্য প্রমাণ যাচাই করা যায়, এবং দীর্ঘ যুক্তি তখনই কাজ করে যখন শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত রিজনিং অটুট থাকে। যে পদ্ধতিতে সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে, সেটিও উল্লেখযোগ্য। প্রমাণটি একটি প্রাথমিক জ্যামিতিক প্রশ্নে বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের অপ্রত্যাশিত, পরিশীলিত ধারণাগুলো প্রয়োগ করেছে।

ফিল্ডস পদকজয়ী টিম গাওয়ার্স সহযোগী প্রবন্ধে লিখেছেন, এই ফলাফল “AI গণিতে একটি মাইলফলক।” শীর্ষ সংখ্যা তত্ত্ববিদ অরুল শংকরের মতে, “আমার মতে এই প্রবন্ধটি দেখায় যে বর্তমান AI মডেলগুলো মানব গণিতবিদদের শুধু সহায়ক নয় – তারা মৌলিক উদ্ভাবনী ধারণা দিতে সক্ষম, এবং তারপর সেগুলো সফল পরিণতিতে নিয়ে যেতে পারে”.

প্রমাণটি এখানে⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে) পাওয়া যাবে. শীর্ষ বহিরাগত গণিতবিদদের লেখা সহযোগী প্রবন্ধটি এখানে⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে) পাওয়া যাবে. মডেলের চিন্তার ধারার সংক্ষিপ্ত সংস্করণ এখানে⁠(একটি নতুন উইন্ডোতে খোলে) পাওয়া যাবে.

ধরা যাক, $u(n)$ হলো সমতলে $n$-টি বিন্দুর মধ্যে একক-দূরত্ব জোড়ার সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা. রৈখিক বৃদ্ধির হার অর্জনকারী উদাহরণ তৈরি করা সহজ: $n$-টি বিন্দু এক সরলরেখায় বসালে $n-1$ জোড়া পাওয়া যায়, আর একটি বর্গাকার গ্রিডে প্রায় $2n$ জোড়া পাওয়া যায়. পূর্বে পরিচিত সর্বোত্তম নির্মাণটি, যা একটি পুনর্মাপিত বর্গাকার গ্রিড থেকে আসে, আসলে আরও বেশি দেয়: একটি ধ্রুবক $C$-এর জন্য $n^{1 + C / \log \log(n)}$. যেহেতু $\log \log(n)$, $n$-এর সাথে অসীমের দিকে যায়, তাই সূচকের অতিরিক্ত পদটি $0$-এর দিকে যায়, অর্থাৎ এই নির্মাণগুলো কেবল রৈখিকের চেয়ে সামান্য দ্রুত বৃদ্ধি অর্জন করে. দশকের পর দশক ধরে ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হতো যে এই হারই মূলত সর্বোত্তম এবং কোনো নির্মাণই বর্গাকার গ্রিডের তুলনায় উল্লেখযোগ্য উন্নতি করতে পারবে না. কারিগরি ভাষায়, Erdős $n^{1+o(1)}$ আকারের একটি ঊর্ধ্বসীমা অনুমান করেছিলেন, যেখানে অতিরিক্ত $o(1)$ দ্বারা বোঝায় এমন একটি পদ যা $n$-এর সাথে $0$-এর দিকে যায়.

আমাদের নতুন ফলাফল এই অনুমানকে ভুল প্রমাণ করে. আরও নির্দিষ্টভাবে, অসীমসংখ্যক $n$-এর মানের জন্য, প্রমাণটি $n$টি বিন্দুর এমন বিন্যাস নির্মাণ করে যাতে অন্তত $n^{1+\delta}$ একক-দূরত্ব জোড়া থাকে, কোনো স্থির সূচক $\delta > 0$-এর জন্য. (মূল AI প্রমাণটি স্পষ্ট $\delta$ দেয় না, কিন্তু প্রিন্সটনের গণিতের অধ্যাপক উইল সউইনের আসন্ন পরিমার্জন দেখিয়েছে যে $\delta=0.014$ নেওয়া যায়.)

সমস্যাটির ইতিহাস বুঝতে সাহায্য করে কেন ফলাফলটি বিস্ময়কর. সবচেয়ে ভালো পরিচিত নিম্নসীমা Erdős-এর 1946 সালের মূল নির্মাণের পর থেকে প্রায় অপরিবর্তিত ছিল. সবচেয়ে ভালো পরিচিত ঊর্ধ্বসীমা, $O(n^{4/3})$, 1984 সালে স্পেন্সার, সেমেরেদি ও ট্রটারের কাজ থেকে এসেছে এবং পরে সেজেকেইলি, ক্যাটজ ও সিলিয়ের, পাচ, রাজ ও সলিমোসি এবং অন্যদের পরিমার্জন ও সংশ্লিষ্ট কাঠামোগত কাজ সত্ত্বেও, ঊর্ধ্বসীমাটি মূলত অপরিবর্তিত রয়েছে. অনুমানের পক্ষে প্রমাণ হিসেবে, Matoušek এবং Alon-Bucić-Sauermann সমতলে ইউক্লিডীয় নয় এমন দূরত্ব নিয়ে সমস্যাটি অধ্যয়ন করেন, এবং প্রমাণ করেন যে এই ইউক্লিডীয় নয় এমন দূরত্বগুলোর “অধিকাংশ” কোনো না কোনো অর্থে অনুমানটি মেনে চলে.

বিস্ময়করভাবে, নির্মাণটির মূল উপাদানগুলো এসেছে গণিতের একেবারে ভিন্ন একটি শাখা থেকে, যা বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব নামে পরিচিত; এটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র নামে পরিচিত পূর্ণসংখ্যার সম্প্রসারণে গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মতো ধারণা নিয়ে কাজ করে.

উচ্চস্তরে, প্রমাণটি একটি পরিচিত জ্যামিতিক ধারণা দিয়ে শুরু হয় এবং সেটিকে অপ্রত্যাশিত দিকে এগিয়ে নিয়ে যায়।

এরদশের মূল নিম্নসীমা গাউসীয় পূর্ণসংখ্যার মাধ্যমে বোঝা যায়: $a+bi$ আকারের সংখ্যা, যেখানে $a$ ও $b$ পূর্ণসংখ্যা এবং $i$ হলো $-1$-এর বর্গমূল। গাউসীয় পূর্ণসংখ্যা সাধারণ পূর্ণসংখ্যাকে সম্প্রসারিত করে এবং সেগুলোর মতোই মৌলিক সংখ্যায় একক গুণনীয়ক বিশ্লেষণের মতো বৈশিষ্ট্য ভোগ করে। সাধারণ পূর্ণসংখ্যা বা মূলদ সংখ্যার এমন সম্প্রসারণগুলোকে বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র বলা হয়। নতুন যুক্তিটি গাউসীয় পূর্ণসংখ্যার বদলে বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের আরও জটিল সাধারণীকরণ ব্যবহার করে, যেগুলোর সমৃদ্ধতর প্রতিসাম্য অনেক বেশি একক-দৈর্ঘ্যের পার্থক্য তৈরি করতে পারে।

সুনির্দিষ্ট যুক্তিটি অসীম ক্লাস ফিল্ড টাওয়ার এবং গোলদ–শাফারেভিচ তত্ত্বের মতো উপকরণ ব্যবহার করে দেখায় যে যুক্তিটির জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা ক্ষেত্রগুলো বাস্তবেই বিদ্যমান। এই ধারণাগুলো বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ববিদদের কাছে সুপরিচিত ছিল, কিন্তু এই ধারণাগুলোর ইউক্লিডীয় সমতলের জ্যামিতিক প্রশ্নে প্রভাব আছে—এটি ছিল বড় বিস্ময়।

এই ফলাফল AI ও গণিতের পারস্পরিক ক্রিয়ায় একটি গুরুত্বপূর্ণ মুহূর্ত চিহ্নিত করে: একটি AI সিস্টেম সক্রিয় একটি ক্ষেত্রের কেন্দ্রে থাকা দীর্ঘদিনের উন্মুক্ত সমস্যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমাধান করেছে। এটি AI ও মানব গণিতবিদদের মধ্যে নতুন ধরনের সহযোগিতারও একটি প্রাথমিক ঝলক দেয়। এই ক্ষেত্রে, বহিরাগত গণিতবিদদের সহযোগী কাজটি শুধু মূল সমাধানের তুলনায় অনেক বেশি সমৃদ্ধ চিত্র তুলে ধরে।

থমাস ব্লুম সহযোগী নোটে লিখেছেন:

“AI-উৎপাদিত একটি প্রমাণের গুরুত্ব ও প্রভাব মূল্যায়ন করার সময় আমি নিজেকে যে প্রশ্নটি করি তা হলো: এটি কি আমাদের সমস্যাটি সম্পর্কে নতুন কিছু শিখিয়েছে? আমরা কি এখন বিচ্ছিন্ন জ্যামিতি আরও ভালো বুঝি? আমার মনে হয় উত্তরটি সংযতভাবে হ্যাঁ: এটি দেখায় যে এই ধরনের প্রশ্ন সম্পর্কে সংখ্যা তাত্ত্বিক নির্মাণগুলোর বলার মতো বিষয় আমাদের ধারণার চেয়ে দুঅনেক বেশি; তপরি, প্রয়োজনীয় সংখ্যা তত্ত্বটি খুবই গভীর হতে পারে। সন্দেহ নেই, আগামী মাসগুলোতে অনেক বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ববিদ বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির অন্যান্য উন্মুক্ত সমস্যার দিকে গভীর নজর দেবেন।”

সমাধানটি যে বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব ও বিচ্ছিন্ন জ্যামিতির মধ্যে অপ্রত্যাশিত সংযোগ উন্মোচন করেছে, সেটিই ফলাফলটিকে উল্লেখযোগ্য করে তোলে। এটি শুধু একটি নির্দিষ্ট অনুমান নিষ্পত্তি করে না, বরং গণিতবিদদের আরও সংশ্লিষ্ট সমস্যা অনুসন্ধান শুরু করার জন্য একটি সেতুও দিতে পারে।

ব্লুম আরও বিস্তৃত একটি সম্ভাবনার দিকেও ইঙ্গিত করেন:

“জ্ঞানসীমার প্রান্তর খুবই খাঁজকাটা, এবং সন্দেহ নেই যে আগামী মাস ও বছরগুলোতে গণিতের আরও বহু ক্ষেত্রে একই ধরনের সাফল্য দেখা যাবে, যেখানে দীর্ঘদিনের উন্মুক্ত সমস্যাগুলো AI-এর মাধ্যমে সমাধান হবে, যা অপ্রত্যাশিত সংযোগ উন্মোচন করবে এবং বিদ্যমান প্রযুক্তিগত কাঠামোকে তার সীমা পর্যন্ত ঠেলে দেবে। AI আমাদের শতাব্দীর পর শতাব্দী ধরে নির্মিত গণিতের ক্যাথেড্রালকে আরও পূর্ণভাবে অন্বেষণ করতে সাহায্য করছে; মঞ্চের আড়ালে আর কী অদেখা বিস্ময় অপেক্ষা করছে?”

এই ফলাফল একটি আশাব্যঞ্জক উদাহরণ দেয়: AI শুধু একটি সমাধানই নয়, এমন একটি গাণিতিক আবিষ্কারেও অবদান রাখছে যার গুরুত্ব পরবর্তী মানবীয় বোঝাপড়ার মাধ্যমে আরও স্পষ্ট ও সমৃদ্ধ হয়।

মূল শিক্ষা এই নির্দিষ্ট ফলাফলের চেয়েও বড়। উন্নত গাণিতিক রিজনিং AI-কে আরও শক্তিশালী গবেষণা-সহযোগী করতে পারে: এমন কিছু, যা কঠিন চিন্তার ধারা ধরে রাখতে পারে, জ্ঞানের দূরবর্তী ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে ধারণা যুক্ত করতে পারে, বিশেষজ্ঞরা অগ্রাধিকার না-দেওয়া সম্ভাবনাময় পথ সামনে আনতে পারে, এবং গবেষকদের এমন সমস্যায় অগ্রগতি করতে সাহায্য করতে পারে যা অন্যথায় মোকাবিলা করা খুব জটিল বা সময়সাপেক্ষ হতো।

এই সক্ষমতাগুলোর গুরুত্ব গণিতের বাইরেও আছে। যদি একটি মডেল জটিল যুক্তিকে সুসংগত রাখতে পারে, জ্ঞানের দূরবর্তী ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে ধারণা যুক্ত করতে পারে, এবং বিশেষজ্ঞদের কঠোর পর্যালোচনা টিকে থাকা কাজ তৈরি করতে পারে, তবে এগুলো জীববিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, উপাদানবিজ্ঞান, প্রকৌশল ও চিকিৎসাবিদ্যাতেও উপযোগী ক্ষমতা; এবং এগুলো আরও স্বয়ংক্রিয় গবেষণার দিকে আমাদের দীর্ঘমেয়াদি পথের অংশ: এমন সিস্টেম, যা বিজ্ঞানী ও প্রকৌশলীদের আরও বেশি ধারণা অনুসন্ধান করতে এবং আরও কঠিন প্রযুক্তিগত প্রশ্ন অনুসরণ করতে সাহায্য করতে পারে।

AI গবেষণার সৃজনশীল অংশে, এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে AI গবেষণাতেই, খুব শিগগিরই অত্যন্ত গুরুতর ভূমিকা নিতে শুরু করবে। এই অগ্রগতি অপ্রত্যাশিত নয়, তবু এটি AI বিকাশের এই পরবর্তী ধাপ, অত্যন্ত বুদ্ধিমান সিস্টেমকে সামঞ্জস্যপূর্ণ করার চ্যালেঞ্জ, এবং মানব-AI সহযোগিতার ভবিষ্যৎ বোঝার বিষয়ে আমাদের জরুরিতাকে আরও জোরদার করে।

সেই ভবিষ্যৎ এখনও মানবীয় বিচারের ওপর নির্ভরশীল। দক্ষতার মূল্য কমে না, বরং বাড়ে। AI অনুসন্ধান, পরামর্শ ও যাচাইয়ে সাহায্য করতে পারে। মানুষই গুরুত্বপূর্ণ সমস্যাগুলো বেছে নেয়, ফলাফল ব্যাখ্যা করে, এবং পরবর্তী কোন প্রশ্ন অনুসরণ করা হবে তা ঠিক করে।