عشرة تطورات في الرياضيات وعلوم الحاسوب النظرية

نريد تمكين العلماء وعلماء الرياضيات بأدوات تسرّع وتيرة الاكتشاف. لذلك أعلنا مؤخرًا عن مبادرة ChatGPT للباحثين الأكاديميين⁠، التي تتيح لـ100,000 عالم وعالم رياضيات الوصول مجانًا إلى أفضل نماذج ChatGPT لدينا. كما نواصل، خلال مرحلة التطوير، تقييم نماذجنا باستخدام مسائل بحثية مفتوحة.

في مايو، نشرنا دحضًا ولّده الذكاء الاصطناعي⁠ لحدسية إردوش للمسافات الوحدية، اكتُشف أثناء تقييم نموذج لم يُطرح بعد. وقد ألهم هذا العمل بالفعل تطورات إضافية في الرياضيات وعلوم الحاسوب النظرية¹. نشارك اليوم مجموعة مختارة من عشر نتائج، تحل كل منها مسألة مفتوحة مطروحة منذ زمن طويل أو تحرز تقدمًا كبيرًا نحو حلها. تشمل هذه المسائل الهندسة عالية الأبعاد، ونظرية الترميز، وتعقيد الدوائر الحسابية، ونظرية الزمر، وجبر المؤثرات، والتعقيد الكمومي، وتشفير الشبكات، والتوافقيات القصوى. تحظى كل هذه المسائل باهتمام كبير داخل مجتمعاتها الرياضية المعنية، كما أن عددًا منها يحظى باهتمام واسع في مختلف فروع الرياضيات.

نقدم نتائج جديدة للمسائل التالية. توصلت إلى النتائج نسخة داخلية من Astra، نموذجنا الرئيسي القادم. تبلغ تكلفة إجمالي عدد الرموز اللازمة لإيجاد حلول لهذه المسائل نحو 2,000 دولار وفق أسعار واجهة Sol API. ثم حوّل باحثون هذه الحجج إلى مخطوطات بمساعدة النموذج نفسه. بعد ذلك، صاغ النموذج كل حجة رسميًا في شهادة Lean⁠(يفتح في نافذة جديدة). وننشر أيضًا لكل حل سردًا من النموذج لعملية تفكيره.

1. تعبئة الكرات في الأبعاد العالية. حدود عليا جديدة لكثافة تعبئة الكرات وصولًا إلى عتبة كون–إلكيس.
2. الشفرات الثنائية والكروية: تحسينات أسية للحدود على الحجم الأقصى للشفرات الثنائية عند أي مسافة دنيا محددة، مع نتائج مماثلة للشفرات الكروية عالية الأبعاد.
3. الزمر غير السوفيكية. بناء يثبت وجود زمر غير سوفيكية، ويعالج سؤالًا مفتوحًا محوريًا في نظرية الزمر.
4. حدسية كون للصلابة. دحض حدسية قديمة تفترض أن بعض الزمر تتحدد بصورة فريدة من خلال جبر فون نيومان الخاص بها.
5. تعقيد الدوائر الحسابية. حدود دنيا جديدة لحساب الدائم باستخدام الدوائر والصيغ الحسابية، ومنها حد أدنى للصيغ الحسابية من رتبة n⁴/log n.
6. التكرار المتوازي الكمومي. مبرهنة أسية للتكرار المتوازي في الألعاب الكمومية العامة ذات اللاعبين، توسّع نطاق مبدأ أساسي من نظرية التعقيد الكلاسيكية.
7. مسألة المتجه الأقرب. إثبات صعوبة تقريب مسألة المتجه الأقرب ضمن عامل كثير الحدود، وهي مسألة أساسية في الشبكات ترتبط بالتشفير ما بعد الكمومي.
8. حدسية إيرهارت للحجم. تحديد أكبر حجم ممكن، في كل بُعد، لجسم محدب تكون نقطة مركزه هي نقطة الشبكة الداخلية الوحيدة فيه.
9. أعداد رامزي متعددة الألوان. حد أدنى فائق الأسية لأعداد رامزي للمثلثات متعددة الألوان، يحل مسألة إردوش 183.
10. حدسيات الأعداد القصوى. نتائج بشأن حدسيتي التراص والانحلال في نظرية الرسوم البيانية القصوى، تحل مسألتي إردوش 146 و180.

يثير ظهور أنظمة قادرة على الإسهام في الأبحاث الرياضية أسئلة لا يمكن لشركة تقنية أن تجيب عنها بمفردها. تتعدد الآراء بشأن دور الذكاء الاصطناعي في الرياضيات، ونحن نحترم بشدة مخاوف القلقين من أثره ونتفهمها، ومنهم الموقّعون على إعلان لايدن بشأن الذكاء الاصطناعي والرياضيات⁠(يفتح في نافذة جديدة). نرى أن نسب الفضل ينبغي أن يعكس بصدق كيفية التوصل إلى النتيجة؛ فنسبة برهان ولّده نظام ذكاء اصطناعي بالكامل إلى مؤلف بشري تشوّه حقيقة إسهام النظام وطبيعة العمل الفكري البشري الأصيل معًا. ساعدنا في إعداد المخطوطات وصياغة البراهين رسميًا في Lean، ونتحمل مسؤولية صحتها، بينما ولّد نظامنا الحجج الرياضية نفسها. نأمل أن يتفاعل مجتمع الرياضيات بعمق مع هذه النتائج، ويضعها في سياقها، ويحوّل الأفكار الكامنة وراءها إلى واقع عبر أبحاث واكتشافات جديدة.

مع تطور أنظمة الذكاء الاصطناعي لتصبح شركاء أكثر تقدمًا في البحث، يظل ضمان إتاحتها على نطاق واسع أساسيًا لدعم العلماء وعلماء الرياضيات وهم يستكشفون مستقبل تخصصاتهم ويحددون ملامحه في هذا العصر التحولي.