حول مسألة نافييه–ستوكس من مسائل جائزة الألفية

نشارك حلًا لمسألة وجود حلول معادلات نافييه–ستوكس ونعومتها، وهي إحدى مسائل جائزة الألفية. يُظهر هذا البرهان، الذي أنتجه نظام داخلي لدى OpenAI، أن ديناميكيات معادلات نافييه–ستوكس لحركة الموائع يمكن أن تُنشئ تفردًا خلال زمن منتهٍ. ونشارك عرضًا مكتوبًا للبرهان وصياغة صورية له في Lean.

تمثل مسائل جائزة الألفية⁠(يفتح في نافذة جديدة) بعضًا من أعمق الأسئلة في طليعة علم الرياضيات. ظل السؤال عما إذا كان من الممكن أن تنهار حركة مائع ثلاثية الأبعاد وملساء بلا حل طوال نحو 90 عامًا.

من أبرز أهداف عملنا تمكين العلماء من تطوير الأبحاث والتقنيات التي تعود بالنفع على البشرية جمعاء. لحل مسألة نافييه–ستوكس، استخدمنا نموذجًا داخليًا تفوق قدراته بدرجة كبيرة قدرات GPT‑6 Astra. نعتقد أنه من المهم إطلاع العالم على وتيرة تقدم الذكاء الاصطناعي وما يمكن توقعه من النماذج المقبلة.

تستخدم معادلات نافييه–ستوكس قانون نيوتن الثاني للحركة («F=ma») لوصف كيفية حركة الموائع. والأهم أنها تتعامل مع المائع بوصفه وسطًا متصلًا بدلًا من تتبع كل جزيء على حدة. تُستخدم هذه المعادلات في تصميم الطائرات والتنبؤ بالطقس ودراسة تدفق الدم.

ظل من الأسئلة الأساسية المفتوحة بشأن هذه المعادلات الديناميكية ما إذا كان تقريب الوسط المتصل للمائع يمكن أن ينهار. وتحديدًا، هل يمكن لمعادلات نافييه–ستوكس الخاصة بمائع ثلاثي الأبعاد غير قابل للانضغاط وثابت الكثافة أن تُنشئ «تفردًا»، حتى إذا بدأت الحركة بسلاسة؟ يعني التفرد هنا أن الديناميكيات تؤدي إلى تزايد سرعات المائع بلا حد خلال مدة زمنية منتهية. ولا بد أن ينشأ التفرد رغم وجود اللزوجة التي تميل إلى تنعيم الحركة. ولأن المائع الحقيقي لا يمكنه التحرك بسرعة لا نهائية، فإن ذلك يعني انهيار الطريقة التي تمثل بها المعادلات المائع. ولمواصلة نمذجة النظام، سيلزم عندئذ تتبع سلوك كل جسيم على حدة.

ترجع هذه المعادلات إلى أعمال كلود لوي نافييه وجورج غابرييل ستوكس في القرن التاسع عشر. في عام 1934، أثبت جان ليراي وجود حلول بمعنى معمّم، لكن مسألة بقائها ملساء دائمًا أصبحت سؤالًا محوريًا بلا إجابة. في عام 2000، صنّف معهد كلاي للرياضيات مسألة وجود حلول معادلات نافييه–ستوكس ونعومتها ضمن مسائل جائزة الألفية السبع.

أنتج نظامنا برهانًا تحليليًا وصياغة صورية في Lean تثبتان أن مائعًا ساكنًا وأملس في البداية يمكن أن يُنشئ تفردًا خلال زمن منتهٍ. تؤثر في المائع قوة ملساء، وتظل طاقته منتهية طوال الديناميكيات، منذ السكون وحتى تشكّل التفرد. يحل هذا مسألة نافييه–ستوكس من مسائل جائزة الألفية بإثبات العبارة «C» (وكذلك «D») الواردة في الصياغة الرسمية لجائزة الألفية⁠(يفتح في نافذة جديدة).

الحل عبارة عن دوامة، أي حركة دورانية للمائع، تلتف إلى الداخل وتزداد استطالةً على نحو يشبه السباغيتي. تنكمش هذه المنطقة المركزية مع تسارعها بطريقة تُبقي طاقتها منتهية، وفق ما تقتضيه قوانين الفيزياء. يكمن التحدي التقني في أن تُحدث المعادلات الانهيار من خلال حركة المائع نفسه، لا عبر إدخال قوة لا نهائية يدويًا مثلًا. وبصياغة رياضية أدق، يجب أن تصبح الحدود التي تصف الحركة في معادلات نافييه–ستوكس—أي التسارع وتدرجات الضغط وانتقال الزخم واللزوجة—كبيرة، وأن يلغي بعضها بعضًا في الوقت نفسه بطريقة دقيقة. يُبقي هذا التوازن الدقيق القوة الخارجية ملساء، حتى مع تزايد سرعة المائع بلا حد.

منذ 28 أغسطس، ندرّب نموذجًا داخليًا جديدًا أظهر أداءً غير مسبوق في اختباراتنا المعيارية، بما فيها اختبارات الرياضيات. لا يزال تدريب هذا النموذج مستمرًا، ويواصل أداؤه التحسن.

يوم الثلاثاء 1 سبتمبر، سمعنا شائعات تفيد بحل مسألتين من مسائل جائزة الألفية. وبدافع من هذه الشائعات والقفزة النوعية في أداء نموذجنا الداخلي، أطلقنا جهدًا لتقييمه على جميع مسائل جائزة الألفية المفتوحة وعدد من المسائل الأخرى ذات الأثر الكبير.

استخدمنا نظامًا من الوكلاء المنسقين يعمل بنموذجنا الداخلي. تمكن الوكلاء من استخدام أدوات، مثل قراءة نسخة مخزنة مؤقتًا من الإنترنت وتشغيل التعليمات البرمجية. قُسّم الوكلاء إلى مجموعات مع إمكانية التواصل داخل كل مجموعة. اختلفت أحجام المجموعات، وشارك نحو 10,000 وكيل يعملون بالتزامن في المجموعة التي توصلت إلى حل مسألة نافييه–ستوكس. حافظنا طوال الوقت على إجراءات الحماية الصارمة نفسها التي نطبقها على جميع تقييمات نماذجنا الرائدة، بما في ذلك المراقبة والعزل.

لكل مسألة، زودنا مجموعات مختلفة من الوكلاء بصيغ مختلفة لنص المسألة، بحيث تغطي جميع تنويعاتها. في مسألة نافييه–ستوكس، قدمنا إلى مجموعات منفصلة من الوكلاء النسختين «A» و«B» (وهما صيغتان محددتان للمسألة تؤديان إلى برهان)، والنسختين «C» و«D» (وتؤديان إلى دحض).

إلى جانب مسائل جائزة الألفية الكاملة، طلبنا من نظامنا متعدد الوكلاء محاولة حل مجموعة من المسائل «الأسهل». كانت إحداها سؤالًا مشابهًا عن الانفجار في نهاية مسألة نافييه–ستوكس بعد حذف حد اللزوجة. تُعرف هذه بمسألة الانتظام لمعادلات أويلر، وقد فاجأنا وكلاؤنا بحلها. كانت الصيغة المحددة التي حلوها هي النسخة غير القسرية، التي لا تُطبّق فيها أي قوة خارجية على المائع. عمل نحو 100 وكيل معًا على مدى قرابة 50 ساعة لإنتاج دحضنا لانتظام أويلر¹.

حين رأينا حل أويلر، اعتقدنا أن مسألة نافييه–ستوكس هي الأكثر جدوى للعمل عليها. لذلك قررنا تخصيص مواردنا لمسألة نافييه–ستوكس. ولتحقيق ذلك، نقلنا الوكلاء من مسائل الألفية الأخرى وزودناهم بحل مسألة أويلر. عندما أتيحت خلال هذا الجهد نسخة من نموذجنا الداخلي خضعت لمزيد من التدريب، حدّثنا وكلاءنا لاستخدامها.

شجعنا مجموعات الوكلاء المختلفة على استكشاف طيف متنوع من المناهج. وبعد مدة، تبادلنا الأفكار بين مجموعات الوكلاء باستخدام Codex لدمج أكثر الرؤى فائدة من كل مجموعة. استندت المطالبات اللاحقة إلى النتائج المرحلية التي توصل إليها الوكلاء أنفسهم. وُجّهت المجموعة التي وجدت حل نافييه–ستوكس بهذه الطريقة.

توصل الوكلاء إلى الحل يوم السبت 5 سبتمبر، بعد نحو 88 ساعة من تشغيل أول مجموعة من الوكلاء. استغرقت الصياغة الصورية في Lean والتحقق منها 17 ساعة إضافية باستخدام GPT‑6 Astra.

في جميع المسائل التي جرت محاولة حلها، أرسل الوكلاء 4.9 مليون رسالة واستخدموا نحو 300 مليار رمز مخرجات. وخلال حل مسألة نافييه–ستوكس، أرسل الوكلاء 2.7 مليون رسالة واستخدموا قرابة 130 مليار رمز مخرجات.

بدأ جهدنا في 1 سبتمبر بعد سماع شائعة أدركنا لاحقًا أنها تتعلق بليفنت ألبوغه، الموظف لدى Anthropic، وتريستان باكماستر، أستاذ الرياضيات في جامعة نيويورك.² وبعد إكمال مشروعنا بالكامل والتحقق باستخدام Lean (في 6 سبتمبر)، تواصلنا معهما لأن الشائعة جعلتنا نعتقد أن لديهما أيضًا حلًا لنافييه–ستوكس، وعرضنا نشر نتيجتنا بالتزامن معهما والإقرار بأسبقيتهما في إعلان مشترك. وعندها علمنا أنهما استخدما نموذجًا داخليًا من Anthropic للتوصل إلى حل لمسألة أويلر القسرية. خلال هذه المناقشات، عرضنا عليهما الاطلاع على جميع المطالبات التي استخدمناها، ثم الاطلاع على البرهان لاحقًا. نقر بأسبقية عملهما على مسألة أويلر القسرية ونهنئهما على إنجازهما الرياضي اللافت.

لم نطّلع نحن (الباحثون والوكلاء) بأي وسيلة على أي من أعمالهما قبل نشرها علنًا—وعلى وجه الخصوص، لم يجر الوصول إلى أي بيانات محددة للمستخدمين بغرض حل هذه المسألة.

بعد إجراء تحقيق، تأكدنا من أن مطالبات باكماستر في Codex خلال الشهرين السابقين لهذا الإعلان والورقة المنشورة في 8 سبتمبر 2026 لم يكن بوسعها التأثير في النظام بأي شكل، بما في ذلك عن طريق التدريب. طُوّر نموذج OpenAI الداخلي المستخدم للوصول إلى هذه النتيجة من خلال التعلم بالتعزيز واسع النطاق فوق نموذج سبق تدريبه مسبقًا. كما تختلف براهيننا اختلافًا كبيرًا. في حالة أويلر، أثبت ألبوغه وباكماستر نتيجة بوجود قوة خارجية، بينما أثبت نظام OpenAI نتيجة من دون قوة خارجية.

هدفنا من نشر هذه النتيجة هو عرض التقدم الكبير الذي أحرزته نماذج الذكاء الاصطناعي لدينا. لا نعتزم المطالبة بجائزة الألفية عن هذه النتيجة.

تمثل هذه المحطة ثمرة عمل كبير من علماء الرياضيات وباحثي الذكاء الاصطناعي. لكنها ليست تتويجًا نهائيًا، بل مجرد لقطة في لحظة زمنية من مسيرة تطوير الذكاء الاصطناعي.

نعتقد أننا دخلنا الآن المرحلة التالية من تقدم الذكاء الاصطناعي⁠، وتقدم نتائج اليوم دليلًا إضافيًا على ذلك. نركز على فهم هذا النموذج والاستفادة مما نتعلمه لتوجيه وتيرة سعينا إلى تحقيق مزيد من التقدم في القدرات. من أهدافنا الرئيسية⁠ بناء أنظمة ذكاء اصطناعي قابلة للتوجيه وخاضعة للمساءلة ومرتبطة بالناس، وقد يتطلب ذلك اتخاذ خيارات أكثر ترويًا بشأن وتيرة التقدم، بينما نواصل مهمتنا لضمان أن يعود الذكاء الاصطناعي العام (AGI) بالنفع على البشرية جمعاء.