OpenAI 模型推翻了離散幾何中的一個核心猜想

近 80 年來，數學家一直在研究一個看似簡單卻暗藏玄機的問題：若在平面上放置 $n$ 個點，最多能有多少對點彼此恰好相距 $1$？

這是平面單位距離問題，由 Paul Erdős 於 1946 年首次提出，堪稱組合幾何中最知名的問題之一，表述容易，卻極難解決。Brass、Moser 與 Pach 合著的 2005 年著作《Research Problems in Discrete Geometry》稱其為「可能是組合幾何中最知名（也最容易解釋）的問題」。普林斯頓大學的頂尖組合數學家 Noga Alon 將其形容為「Erdős 最喜愛的問題之一」。Erdős 甚至提供獎金，要頒發給可解決此問題的人士。

今天，我們分享單位距離問題上的一項突破。 自 Erdős 的原始工作以來，主流看法一直認為，下方所示的「方形網格」構造在最大化單位距離點對數量方面基本上已是最優。 OpenAI 的一個內部模型已推翻這個長久以來的猜想，給出一個無窮例子族，帶來多項式級別的改進。 這份證明已由一組外部數學家檢查。 他們也撰寫了一篇配套論文，解釋論證內容，並進一步提供此結果重要性的背景與脈絡。

這項結果的發現方式同樣值得注意。 這份證明來自一個新的通用推理模型，而非專為數學訓練的系統、經過腳手架式設計以搜尋證明策略的系統，或特別針對單位距離問題打造的系統。 作為更廣泛努力的一部分，為了測試先進模型是否能對前沿研究有所貢獻，我們以一組 Erdős 問題對它進行評估。 在這個案例中，它產生了一份解決該開放問題的證明。

這份證明對數學界與 AI 社群而言都是重要里程碑。 這標誌著 AI 首次自主解決一個知名的開放問題，而且該問題位於數學某個子領域的核心。 它也展現了這些系統如今所支援的推理深度。 數學為推理提供了特別清晰的試驗場：問題精確、潛在證明可被檢查，而一段冗長論證只有在推理從頭到尾都嚴密連貫時才成立。 這個問題被解決的方法同樣引人注目。 這份證明將代數數論中出人意料且精巧的想法，運用到一個初等幾何問題上。

菲爾茲獎得主 Tim Gowers 在配套論文中稱此結果為「AI 數學中的一個里程碑」。頂尖數論學家 Arul Shankar 則表示：「在我看來，這篇論文顯示當前的 AI 模型已不只是人類數學家的助手——它們能提出原創且巧妙的想法，並將其完整實現。」

證明可在此處⁠(在新視窗中開啟)查看。由外部頂尖數學家撰寫的配套論文可在此處⁠(在新視窗中開啟)查看。你可在此處⁠(在新視窗中開啟)找到模型思路鏈的節錄版本。

令 $u(n)$ 表示平面上 $n$ 個點之間，單位距離點對可能達到的最大數量。達到線性成長率的例子很容易構造：將 $n$ 個點排成一直線可得 $n-1$ 對，而方形網格則可得約 $2n$ 對。先前最佳的已知構造來自縮放後的方形網格，事實證明它能給出更多：對某個常數 $C$，可達 $n^{1 + C / \log \log(n)}$。由於 $\log \log(n)$ 會隨 $n$ 趨於無窮，因此指數中的附加項會趨近 $0$，這表示這些構造的成長速度只比線性稍快。數十年來，人們普遍相信這個速率基本上已是最佳可能，沒有任何構造能相較方形網格帶來顯著改進。以技術術語來說，Erdős 猜想其上界為 $n^{1+o(1)}$，其中附加的 $o(1)$ 表示一個會隨 $n$ 趨近 $0$ 的項。我們的新結果推翻了這個猜想。更精確地說，對無窮多個 $n$ 值，該證明構造出由 $n$ 個點組成的配置，其中至少有 $n^{1+\delta}$ 對單位距離點，對某個固定指數 $\delta > 0$。（原始 AI 證明並未給出明確的 $\delta$，但普林斯頓數學教授 Will Sawin 即將發表的改進結果顯示，可取 $\delta=0.014$。）這個問題的歷史背景有助於理解為何這樣的結果令人驚訝。自 Erdős 於 1946 年提出原始構造以來，最佳已知下界幾乎沒有改變。最佳上界 $O(n^{4/3})$ 可追溯至 Spencer、Szemerédi 與 Trotter 在 1984 年的工作；儘管後來 Székely、Katz 與 Silier、Pach、Raz 與 Solymosi 等人以及其他研究者做出進一步改進與相關結構性研究，這個上界仍幾乎未變。作為支持該猜想的證據，Matoušek 與 Alon-Bucić-Sauermann 研究了平面上的非歐幾里得距離版本，並證明這些非歐幾里得距離中的「大多數」在某種意義下符合該猜想。令人驚訝的是，這個構造的關鍵成分來自數學中一個非常不同的分支：代數數論；它研究諸如在稱為代數數域的整數擴張中進行因式分解等概念。

從高層次來看，這份證明始於一個熟悉的幾何想法，並將其推向出人意料的方向。

Erdős 的原始下界可透過高斯整數來理解：形如 $a+bi$ 的數，其中 $a$ 與 $b$ 為整數，而 $i$ 是 $-1$ 的平方根。 高斯整數擴展了普通整數，且與普通整數一樣，具有例如可唯一分解為質數等性質。 這類對普通整數或有理數的擴張，被稱為代數數域。 新的論證以代數數論中更複雜的推廣取代高斯整數；這些推廣具有更豐富的對稱性，能產生更多單位長度差。

精確的論證使用了無窮類域塔與 Golod–Shafarevich 理論等工具，以證明論證所需的數域確實存在。 這些想法對代數數論學家而言早已耳熟能詳，但這些概念竟對歐幾里得平面中的幾何問題具有意涵，仍令人十分驚訝。

這項結果標誌著 AI 與數學互動中的重要時刻：AI 系統自主解決了位於活躍研究領域核心、懸而未決已久的開放問題。 它也讓人初步看見 AI 與人類數學家之間一種新型合作的可能。 在這個案例中，外部數學家的配套工作描繪出比原始解答本身豐富得多的圖景。

正如 Thomas Bloom 在配套說明中所寫：

「在評估一份由 AI 生成的證明的重要性與影響時，我會問自己一個問題：它是否讓我們對這個問題有了新的認識？我們現在是否更理解離散幾何了？我認為答案是有限度的肯定：這顯示數論構造對這類問題能提供的內容，比我們原先懷疑的多得多；此外，所需的數論也可能非常深奧。毫無疑問，未來幾個月裡，許多代數數論學家都會密切關注離散幾何中的其他開放問題。」

這個解答揭示的代數數論與離散幾何之間的意外連結，正是此結果引人注目的部分原因。 它不只是解決了一個特定猜想，也可能為數學家提供一座橋梁，開始探索更多相關問題。

Bloom 也指出一種更廣泛的可能性：

「知識前沿時常出現意想不到的尖峰，毫無疑問，未來幾個月與幾年裡，數學許多其他領域也可能獲致類似成功：長期懸而未決的開放問題，將因 AI 揭示出乎意料的連結並把既有技術工具推到極限而獲得解決。AI 正幫助我們更完整地探索這座數世紀來建立起的數學大教堂；還有什麼未曾看見的奇景正等待登場？」

這項結果提供了一個很有前景的例子：AI 不僅貢獻了解答，也帶來了一項數學發現，而其意義會隨後續的人類理解而變得更清晰、更豐富。

其啟示比這項特定結果更大。 更好的數學推理能讓 AI 成為更強的研究夥伴：它能維持艱深思路的連貫性、連結相距遙遠的知識領域中的想法、浮現專家未必優先考慮的有前景路徑，並幫助研究者在原本過於複雜或耗時的問題上取得進展。

這些能力的重要性不只限於數學。 如果一個模型能讓複雜論證保持連貫、連結相距遙遠的知識領域中的想法，並產出能經得起專家審視的成果，那麼這些能力在生物學、物理學、材料科學、工程與醫學中同樣有用；它們也是我們邁向更自動化研究的長期路徑之一：打造能幫助科學家與工程師探索更多想法、追問更艱難技術問題的系統。

AI 即將在研究中最具創造性的部分扮演非常重要的角色，尤其是 AI 研究本身。 雖然這樣的進展並不令人意外，但它再次凸顯了我們對理解 AI 發展下一階段、讓高度智慧系統與人類目標對齊的挑戰，以及人機協作未來的迫切感。

那樣的未來仍然仰賴人類判斷。 專業能力會變得更有價值，而不是更沒價值。 AI 可以協助搜尋、提出建議與驗證。 真正決定哪些問題重要、如何詮釋結果，以及下一步追問什麼問題的，仍是人。