Mười bước tiến trong toán học và khoa học máy tính lý thuyết

Chúng tôi muốn trao cho các nhà khoa học và toán học những công cụ giúp đẩy nhanh quá trình khám phá. Đó là lý do gần đây chúng tôi công bố sáng kiến ChatGPT dành cho các nhà nghiên cứu học thuật⁠, cung cấp cho 100.000 nhà khoa học và toán học quyền truy cập miễn phí vào các mô hình ChatGPT tốt nhất của chúng tôi. Trong quá trình phát triển, chúng tôi cũng tiếp tục đánh giá các mô hình bằng những bài toán nghiên cứu mở.

Vào tháng 5, chúng tôi đã chia sẻ một phản chứng do AI tạo ra⁠ cho giả thuyết khoảng cách đơn vị Erdős, được phát hiện khi đánh giá một mô hình chưa phát hành. Công trình này đã khơi nguồn cho những bước phát triển tiếp theo trong toán học và khoa học máy tính lý thuyết¹. Hôm nay, chúng tôi chia sẻ mười kết quả tiêu biểu, mỗi kết quả đều giải quyết hoặc tạo ra tiến triển đáng kể đối với một bài toán mở lâu năm. Các bài toán này trải rộng từ hình học nhiều chiều, lý thuyết mã hóa, độ phức tạp mạch số học, lý thuyết nhóm, đại số toán tử, độ phức tạp lượng tử, mật mã dựa trên lưới đến tổ hợp cực trị. Tất cả các bài toán này đều nhận được sự quan tâm đáng kể trong những cộng đồng toán học tương ứng; một số còn có ý nghĩa rộng lớn đối với toàn ngành toán học.

Chúng tôi đưa ra các kết quả mới cho những bài toán sau. Các kết quả này do một phiên bản nội bộ của Astra, mô hình lớn tiếp theo của chúng tôi, đạt được. Tổng số token cần thiết để tìm ra lời giải cho các bài toán này có chi phí khoảng 2.000 USD theo mức giá API của Sol. Sau đó, con người sử dụng chính mô hình này để biên soạn các lập luận thành bản thảo. Tiếp theo, mô hình hình thức hóa từng lập luận thành một chứng nhận Lean⁠(mở trong cửa sổ mới). Với mỗi lời giải, chúng tôi cũng công bố bản tường thuật của mô hình về quá trình tư duy của nó.

1. Xếp cầu trong không gian nhiều chiều. Các cận trên mới cho mật độ xếp cầu, giảm đến ngưỡng Cohn–Elkies.
2. Mã nhị phân và mã cầu: Các cận được cải thiện theo cấp số mũ cho kích thước tối đa của mã nhị phân ở mọi khoảng cách tối thiểu cho trước, cùng các kết quả tương tự cho mã cầu nhiều chiều.
3. Các nhóm không sofic. Một phép xây dựng chứng minh sự tồn tại của các nhóm không sofic, qua đó giải quyết một câu hỏi mở trọng tâm trong lý thuyết nhóm.
4. Giả thuyết về tính cứng của Connes. Phản chứng cho một giả thuyết lâu năm rằng một số nhóm nhất định được xác định duy nhất bởi các đại số von Neumann của chúng.
5. Độ phức tạp mạch số học. Các cận dưới mới cho việc tính permanent bằng mạch và công thức số học, trong đó có cận dưới cấp n⁴/log n cho công thức số học.
6. Phép lặp song song lượng tử. Một định lý lặp song song theo cấp số mũ cho các trò chơi lượng tử tổng quát có hai người chơi, mở rộng một nguyên lý nền tảng của lý thuyết độ phức tạp cổ điển.
7. Bài toán vectơ gần nhất. Độ khó xấp xỉ theo hệ số đa thức của bài toán vectơ gần nhất, một bài toán nền tảng về lưới có liên quan đến mật mã hậu lượng tử.
8. Giả thuyết thể tích Ehrhart. Xác định, trong mọi số chiều, thể tích lớn nhất có thể của một vật thể lồi mà trọng tâm là điểm lưới duy nhất nằm trong phần trong của nó.
9. Các số Ramsey nhiều màu. Một cận dưới siêu lũy thừa cho các số Ramsey tam giác nhiều màu, giải quyết bài toán Erdős 183.
10. Các giả thuyết về số cực trị. Các kết quả về giả thuyết tính compact và tính suy biến trong lý thuyết đồ thị cực trị, giải quyết các bài toán Erdős 146 và 180.

Sự xuất hiện của các hệ thống có khả năng đóng góp cho nghiên cứu toán học đặt ra những câu hỏi mà một công ty công nghệ không thể tự mình giải đáp. Có nhiều quan điểm về vai trò của AI trong toán học. Chúng tôi hết sức tôn trọng và thấu hiểu những người lo ngại về tác động của AI, trong đó có những người ký Tuyên bố Leiden về AI và Toán học⁠(mở trong cửa sổ mới). Chúng tôi tin rằng việc ghi nhận đóng góp phải phản ánh trung thực cách tạo ra kết quả: tuyên bố con người là tác giả của một chứng minh hoàn toàn do hệ thống AI tạo ra sẽ xuyên tạc cả đóng góp của hệ thống lẫn bản chất của lao động trí tuệ thực sự do con người thực hiện. Chúng tôi đã hỗ trợ chuẩn bị bản thảo và hình thức hóa các chứng minh trong Lean, đồng thời chịu trách nhiệm về tính đúng đắn của chúng; còn bản thân các lập luận toán học do hệ thống của chúng tôi tạo ra. Chúng tôi hy vọng cộng đồng toán học sẽ nghiên cứu sâu các kết quả này, đặt chúng vào đúng bối cảnh và hiện thực hóa những ý tưởng đằng sau chúng thông qua các nghiên cứu và khám phá mới.

Khi các hệ thống AI phát triển thành những cộng sự nghiên cứu ngày càng tinh vi, việc bảo đảm khả năng tiếp cận rộng rãi là nền tảng để hỗ trợ các nhà khoa học và toán học định hướng cũng như kiến tạo tương lai cho lĩnh vực của mình trong thời đại chuyển đổi này.