Về Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ Navier–Stokes

Chúng tôi công bố một lời giải cho bài toán về sự tồn tại và tính trơn của Navier–Stokes, một trong các Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ. Chứng minh này do một hệ thống nội bộ của OpenAI tạo ra, cho thấy động lực học của các phương trình Navier–Stokes mô tả chuyển động chất lưu có thể phát triển một điểm kỳ dị trong thời gian hữu hạn. Chúng tôi công bố cả bản trình bày chứng minh lẫn bản hình thức hóa bằng Lean.

Các Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ⁠(mở trong cửa sổ mới) là một số câu hỏi sâu sắc nhất ở tuyến đầu của toán học. Câu hỏi liệu chuyển động trơn của chất lưu ba chiều có thể bị phá vỡ hay không vẫn chưa có lời giải trong khoảng 90 năm qua.

Một mục tiêu lớn trong công việc của chúng tôi là trao cho các nhà khoa học năng lực thúc đẩy nghiên cứu và công nghệ mang lại lợi ích cho toàn nhân loại. Để giải bài toán Navier–Stokes, chúng tôi đã dùng một mô hình nội bộ có năng lực vượt trội đáng kể so với GPT‑6 Astra. Chúng tôi tin rằng cần thông tin cho thế giới về tốc độ tiến bộ của AI và những điều có thể kỳ vọng ở các mô hình sắp tới.

Các phương trình Navier–Stokes dùng định luật chuyển động thứ hai của Newton (“F=ma”) để mô tả cách chất lưu chuyển động. Điều quan trọng là chúng coi chất lưu như một môi trường liên tục thay vì theo dõi từng phân tử. Các phương trình này được dùng trong thiết kế máy bay, dự báo thời tiết và nghiên cứu dòng máu.

Một câu hỏi mở nền tảng đối với các phương trình động lực học này là liệu phép xấp xỉ liên tục của chất lưu có thể bị phá vỡ hay không. Cụ thể, các phương trình Navier–Stokes cho một chất lưu ba chiều không nén được, có mật độ không đổi, có thể phát triển một “điểm kỳ dị” ngay cả khi chuyển động ban đầu trơn hay không? Ở đây, điểm kỳ dị có nghĩa là động lực học khiến tốc độ trong chất lưu tăng không giới hạn trong một khoảng thời gian hữu hạn. Điểm kỳ dị sẽ phải hình thành bất chấp sự hiện diện của độ nhớt, vốn có xu hướng làm chuyển động trở nên trơn hơn. Vì chất lưu thực không thể chuyển động nhanh vô hạn, điều này sẽ đánh dấu sự thất bại trong cách các phương trình mô hình hóa chất lưu. Để tiếp tục mô hình hóa hệ thống, khi đó cần theo dõi riêng hành vi của từng hạt.

Các phương trình bắt nguồn từ công trình thế kỷ 19 của Claude-Louis Navier và George Gabriel Stokes. Năm 1934, Jean Leray chứng minh rằng nghiệm tồn tại theo nghĩa suy rộng, nhưng liệu chúng có luôn duy trì tính trơn hay không đã trở thành một câu hỏi trọng tâm chưa có lời giải. Năm 2000, Viện Toán học Clay đưa bài toán về sự tồn tại và tính trơn của Navier–Stokes vào danh sách bảy Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ.

Hệ thống của chúng tôi đã tạo ra một chứng minh giải tích và một bản hình thức hóa bằng Lean, cho thấy chất lưu ban đầu đứng yên và trơn có thể phát triển một điểm kỳ dị trong thời gian hữu hạn. Một lực trơn được tác dụng lên chất lưu, còn năng lượng của nó vẫn hữu hạn trong toàn bộ quá trình động lực học, từ trạng thái đứng yên đến khi hình thành điểm kỳ dị. Kết quả này giải quyết Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ Navier–Stokes bằng cách xác lập mệnh đề “C” (và cả “D”) trong phát biểu chính thức của Giải thưởng Thiên niên kỷ⁠(mở trong cửa sổ mới).

Lời giải là một xoáy, một vùng chất lưu quay cuộn, xoắn vào trong và ngày càng kéo dài như sợi mì spaghetti. Vùng trung tâm này co lại đồng thời tăng tốc theo cách khiến năng lượng của nó vẫn hữu hạn, đúng như các định luật vật lý yêu cầu. Thách thức kỹ thuật là các phương trình phải tự phát triển sự phá vỡ thông qua chuyển động của chính chất lưu, thay vì chẳng hạn như ta chủ động đưa vào một lực vô hạn. Nói chính xác hơn về mặt toán học, các số hạng mô tả chuyển động trong phương trình Navier–Stokes—gia tốc, gradient áp suất, truyền động lượng, độ nhớt—phải đồng thời trở nên lớn nhưng lại triệt tiêu nhau một cách chính xác. Sự cân bằng tinh tế này duy trì một ngoại lực trơn ngay cả khi vận tốc của chất lưu tăng không giới hạn.

Kể từ ngày 28 tháng 8, chúng tôi đã huấn luyện một mô hình nội bộ mới, thể hiện hiệu suất chưa từng có trên các bộ chuẩn của mình, bao gồm cả toán học. Quá trình huấn luyện mô hình này vẫn đang tiếp diễn và hiệu suất của nó tiếp tục cải thiện.

Vào thứ Ba, ngày 1 tháng 9, chúng tôi nghe tin đồn rằng hai Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ đã được giải quyết. Lấy cảm hứng từ những tin đồn này và bước nhảy vọt về hiệu suất của mô hình nội bộ, chúng tôi bắt đầu đánh giá mô hình trên tất cả Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ còn bỏ ngỏ cùng một số bài toán có tác động lớn khác.

Chúng tôi sử dụng một hệ thống gồm các tác nhân phối hợp với nhau, vận hành bằng mô hình nội bộ. Các tác nhân có quyền truy cập những công cụ như đọc phiên bản Internet được lưu vào bộ nhớ đệm và chạy mã. Các tác nhân được chia thành những nhóm có khả năng giao tiếp nội bộ. Các nhóm có quy mô khác nhau; nhóm đưa ra lời giải Navier–Stokes gồm khoảng 10.000 tác nhân hoạt động đồng thời. Trong toàn bộ quá trình, chúng tôi duy trì các biện pháp bảo vệ nghiêm ngặt như khi đánh giá mọi mô hình tiên phong, bao gồm giám sát và cô lập.

Với mỗi bài toán, chúng tôi đưa các biến thể khác nhau của đề bài cho nhiều nhóm tác nhân, bao quát mọi biến thể của bài toán. Đối với bài toán Navier–Stokes, chúng tôi giao các phiên bản “A” và “B” (những dạng cụ thể của bài toán Navier–Stokes mà nếu giải được sẽ tạo thành chứng minh) cùng các phiên bản “C” và “D” (mà nếu giải được sẽ tạo thành kết quả bác bỏ) cho những nhóm tác nhân riêng biệt.

Ngoài toàn bộ các Bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ, chúng tôi còn yêu cầu hệ thống đa tác nhân thử giải một nhóm bài toán “dễ hơn”. Một trong số đó là câu hỏi tương tự về sự bùng nổ đối với giới hạn của bài toán Navier–Stokes khi loại bỏ số hạng độ nhớt. Đây được gọi là bài toán về tính chính quy của các phương trình Euler, và các tác nhân đã khiến chúng tôi bất ngờ khi giải quyết được câu hỏi này. Biến thể cụ thể mà chúng giải quyết là phiên bản không có ngoại lực, trong đó không có lực bên ngoài nào tác dụng lên chất lưu. Gần 100 tác nhân đã phối hợp trong khoảng 50 giờ để tạo ra kết quả bác bỏ của chúng tôi về tính chính quy Euler¹.

Sau khi thấy lời giải Euler, chúng tôi cho rằng Navier–Stokes là bài toán triển vọng nhất để tiếp tục nghiên cứu. Vì vậy, chúng tôi quyết định tập trung nguồn lực vào Navier–Stokes. Để làm vậy, chúng tôi chuyển các tác nhân khỏi những Bài toán Thiên niên kỷ khác và cung cấp cho chúng lời giải Euler. Khi một phiên bản được huấn luyện thêm của mô hình nội bộ ra mắt trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã cập nhật các tác nhân sang mô hình đó.

Chúng tôi khuyến khích các nhóm tác nhân khác nhau khám phá nhiều phương pháp đa dạng. Sau một thời gian, chúng tôi cho các nhóm tác nhân trao đổi ý tưởng bằng cách dùng Codex để tổng hợp những nhận định hữu ích nhất từ mỗi nhóm. Các câu lệnh tiếp nối này dựa trên kết quả trung gian của chính các tác nhân. Nhóm tìm ra lời giải Navier–Stokes đã được định hướng theo cách này.

Các tác nhân đi đến lời giải vào thứ Bảy, ngày 5 tháng 9, khoảng 88 giờ sau khi những tác nhân đầu tiên được khởi chạy. Việc hình thức hóa và xác minh bằng Lean mất thêm 17 giờ thông qua GPT‑6 Astra.

Trên tất cả bài toán được thử nghiệm, các tác nhân đã gửi 4,9 triệu tin nhắn và dùng khoảng 300 tỷ token đầu ra. Trong quá trình giải bài toán Navier–Stokes, các tác nhân đã gửi 2,7 triệu tin nhắn và dùng khoảng 130 tỷ token đầu ra.

Nỗ lực của chúng tôi bắt đầu vào ngày 1 tháng 9 sau khi nghe một tin đồn mà về sau chúng tôi nhận ra có liên quan đến Levent Alpöge, một nhân viên Anthropic, và Tristan Buckmaster, giáo sư toán tại NYU.² Sau khi hoàn thành toàn bộ dự án và việc xác minh bằng Lean (ngày 6 tháng 9), do tin đồn khiến chúng tôi tin rằng họ cũng đã có lời giải Navier–Stokes, chúng tôi đã liên hệ để đề nghị công bố kết quả đồng thời và ghi nhận quyền ưu tiên của họ trong một thông báo chung. Khi đó, chúng tôi mới biết họ đã dùng một mô hình nội bộ của Anthropic để đưa ra lời giải cho bài toán Euler có ngoại lực. Trong các cuộc trao đổi này, chúng tôi đề nghị cho họ xem toàn bộ câu lệnh đã dùng và sau đó là cả bản chứng minh. Chúng tôi ghi nhận quyền ưu tiên của công trình về Euler có ngoại lực và chúc mừng họ về thành tựu toán học xuất sắc này.

Chúng tôi (các nhà nghiên cứu và các tác nhân) không hề tiếp cận công trình của họ bằng bất kỳ cách nào cho đến khi nó được công bố. Đặc biệt, không có dữ liệu cụ thể nào của người dùng được truy cập để giải bài toán này.

Sau khi điều tra, chúng tôi xác nhận rằng các câu lệnh Codex của Buckmaster trong hai tháng trước thông báo này và bài báo ngày 8 tháng 9 năm 2026 không thể ảnh hưởng đến hệ thống theo bất kỳ cách nào, kể cả thông qua quá trình huấn luyện. Mô hình nội bộ của OpenAI dùng để tạo ra kết quả này được phát triển bằng học tăng cường quy mô lớn trên nền một mô hình đã được tiền huấn luyện trước đó. Các chứng minh của chúng tôi cũng khác biệt đáng kể. Trong trường hợp Euler, Alpöge và Buckmaster chứng minh một kết quả có ngoại lực, còn hệ thống của OpenAI chứng minh một kết quả không có ngoại lực.

Mục tiêu của chúng tôi khi công bố kết quả này là báo cáo bước tiến đáng kể của các mô hình AI. Chúng tôi không có ý định nhận Giải thưởng Thiên niên kỷ cho kết quả này.

Cột mốc này là thành quả từ khối lượng công việc đáng kể của các nhà toán học và nhà nghiên cứu AI. Tuy nhiên, đây không phải đích đến mà chỉ là lát cắt tại một thời điểm trong tiến trình phát triển AI.

Chúng tôi tin rằng mình hiện đã bước vào giai đoạn tiến bộ tiếp theo của AI⁠, và các kết quả hôm nay cung cấp thêm bằng chứng cho điều đó. Chúng tôi đang tập trung tìm hiểu mô hình này và dùng những điều học được để định hướng cũng như điều tiết tốc độ theo đuổi các bước tiến xa hơn về năng lực. Một trong những mục tiêu chính⁠ của chúng tôi là xây dựng các hệ thống AI có thể định hướng, có trách nhiệm giải trình và gắn kết với con người. Điều này có thể đòi hỏi những lựa chọn thận trọng hơn về tốc độ tiến bộ khi chúng tôi tiếp tục sứ mệnh bảo đảm AGI mang lại lợi ích cho toàn nhân loại.